运筹学练习题（付答案）

练习题（博弈论部分）：

1、化简下面的矩阵对策问题：

?2?3?A??2??2??31423?5142??6324?

?3436?4052??2、列出下列矩阵对策的线性规划表达式

?3?1?3??

A???33?1?????4?33??3、用线性方程组解 “齐王赛马”的纳什均衡。

解：已知齐王的赢得矩阵为

11?11??31?1?3111?1???1?13111?A=??

?111311???111?131???1?1113???1??400?24634643??***4、已知对策A?008的最优解为：X?(,,),Y?(,,)，对策值V?，求以

??13131313131313??060??下矩阵对策的最优解和对策值

?322020??

A'??202044????203820???353???5、设矩阵对策的支付矩阵为：A?4?32，求其策略和策略的值。 ????323??6、求解下列矩阵对策的解：

?123??

A??312????231??

练习题（多属性决策部分）：

1、拟在6所学校中扩建一所，经过调研和分析，得到目标属性值如下表（费用和学生就读距离越小越好） 方案序号 费用（万元） 就读距离（KM） 1 60 1 25 50 0.8 3 44 1.2 4 36 2.0 5 44 1.5 6 30 2.4 试用加权和法分析应扩建那所学校？讨论权重的选择对决策的影响！

2、拟选择一款洗衣机，其性能参数（在洗5Kg衣物的消耗）如下表，设各目标的重要性相同，采用折中法选择合适的洗衣机 序号 1 2 3 4 5 6 T3、六方案四目标决策问题的决策矩阵如下表,各目标的属性值越大越好，W?0.3,0.2,0.4,0.1}

价格（元） 1018 850 892 1128 1094 1190 耗时（分） 74 80 72 63 53 50 耗电（度） 0.8 0.75 0.8 0.8 0.9 0.9 用水（升） 342 330 405 354 420 405 ?请用ELECTRE法求解，折中法，加权法求解 序号 1 2 3 4 5 6

y1 20 13 15 30 5 40 y2 0.3 0.5 0.1 0.7 0.9 0.0 y3 1.3?106 4?10 2.2?10 66y4 3 3 5 2 7 1 1?10 4?106 1?106 6

排队论练习：

例1：在某单人理发馆，顾客到达为普阿松流，平均到达间隔为20分钟，理发时间服从负指数分布，平均时间为15分钟。求：

(1)顾客来理发不必等待的概率；(2)理发馆内顾客平均数；

(3)顾客在理发馆内平均逗留时间；(4)如果顾客在店内平均逗留时间超过1.25小时，则店主将考虑增加设备及人员。问平均到达率提高多少时店主才能做这样考虑呢？

例2：某机关接待室只有一位对外接待人员，每天工作10小时，来访人员和接待时间都是随机的。若来访人员按普阿松流到达，其到达速率?=7人/小时，接待时间服从负指数分布，其服务速率?=7.5人/小时。现在问：

(1)来访者需要在接待室逗留多久？等待多长时间？ (2)排队等待接待的人数。

(3)若希望来放者逗留时间减少一半，则接待人数应提高到多少？

例3：某电话亭有一部电话，打来电话的顾客数服从泊松分布，相继两个人到达时间的平均时间为10分钟，通话时间服从指数分布，平均数为3分钟。求： （1）顾客到达电话亭要等待的概率； （2）等待打电话的平均顾客数；

（3）当一个顾客至少要等3分钟才能打电话时，电信局打算增设一台电话机，问到达速度增加到多少时，装第二台电话机才是合理的？

（4）打一次电话要等10分钟以上的概率是多少？

例4：单人理发馆有6把椅子接待人们排队等待理发。当6把椅子都坐满时，后来到的顾客不进店就离开。顾客平均到达率为3人/小时，理发需时平均15分钟。求系统各运行指标。

例5：某一个美容店系私人开办并自理业务，由于店内面积有限，只能安置3个座位供顾客等候，一旦满座则后来者不再进店等候。已知顾客到达间隔与美容时间均为指数分布，平均到达间隔80min，平均美容时间为50min。试求任一顾客期望等候时间及该店潜在顾客的损失率。

例6：病人以平均每小时8人的速率来到只有一名医生的诊所，候诊室有9把座椅供病人等候，对每名病人诊断时间平均6min。计算：

（1）开诊时间内候诊室满员占的时间比例； （2）求下述情况的概率 a.有一个病人；

b.有2个病人在候诊室外排队。

例7：某车间有5台机器，每台机器的连续运转时间服从负指数分布，平均连续运转时间15分钟，有一个修理工，每次修理时间服从负指数分布，平均每次12分钟。

求： (1)修理工空闲的概率；(2)五台机器都出故障的概率；(3)出故障的平均台数；

(4)等待修理的平均台数；(5)平均停工时间；（6）平均等待修理时间； （7）评价这些结果。

例8：一个机修工人负责3台机器的维修工作，设每台机器在维修之后平均可运行5天，而平均修理一台机器的时间为2天，试求稳态下的各运行指标。

例9：一个工人负责照管6太自动机床，当机床需要加料、发生故障或刀具磨损时就自动停车，等待工人照管。设每台机床平均每小时停车一次，每次需要工人照管的平均时间为0.1h。试分析该系统的运行情况。

例10：某售票厅有三个窗口，顾客的到达服从普阿松过程，平均到达率每分钟=0.9人，服务（售票）时间服从负指数分布，平均服务率每分钟=0.4人。现设顾客到达后排成一队，依次向空闲的窗口购票，求系统的运行指标。

例11：某商店收款台有3名收款员，顾客到达为每小时504人，每名收款员服务率为每小时240人，设顾客到达为泊松输入，收款服务时间服从负指数分布，求解。

例12：某银行有3个出纳员，顾客以平均速度为4人/分钟的泊松流到达，所有的顾客排成一队，出纳员与顾客的交易时间服从平均数为0.5分钟的负指数分布，试求：

（1）银行内空闲时间的概率；（2）银行内顾客数为n时的稳态概率；

（3）平均队列长；（4）银行内的顾客平均数；（5）在银行内的平均逗留时间； （6）等待服务的平均时间。

[考研真题]

例1：为开办一个小型理发店，目前只招聘了一个服务员，需要决定等待理发的顾客的位子应设立多少。假设需要理发的顾客到来的规律服从泊松流，平均每4分钟来一个，而理发的时间服从指数分布，平均3分钟一个人，如果要求理发的顾客因没有等待的位子而转向其他理发店的人数占理发的人数的7%时，应该安放几个供顾客等待的位子？

例2：工件按泊松流到达服务台，平均间隔时间为10分钟，假设对每一工件的服务所需时间服从负指数分布，平均服务时间8分钟。求：

1.工件在系统内等待服务的平均数和工件在系统内平均逗留时间；

2.若要求在90%的把握使工件在系统内的逗留时间不超过30分钟，则工件的平均服务时间最多是多

少？

3.若每一工件的服务分两段，每段所需时间都服从负指数分布，平均都为4分钟，在这种情况下，工

件在系统内的平均数是多少？

例3：某机关接待室，接待人员每天工作10小时。来访人员的到来服从泊松分布，每天平均有90人到来，接待时间服从指数分布，平均速度为10人/小时。试求排队等待接待的平均人数；等待接待的多于2人的概率，如果使等待接待的人平均为两人，接待速度应提高多少？

例4：经观察，某海关入关检查的顾客平均每小时到达10人，顾客到达服从泊松分布，关口检查服务时间服从负指数分布，平均时间是5分钟，试求： 1．顾客来海边不用等待的概率； 2．海关内顾客的平均数； 3．顾客在海关内平均逗留时间；

4．当顾客逗留时间超过1.2小时时，则应考虑增加海关窗口及人数，问平均到达率提高多少时，管理者才作这样的打算。

?3y1?y2?y3?y4?y5?y6?V?y?3y?y?y?y?y?V23456?1?y1?y2?3y3?y4?y5?y6?V???y1?y2?y3?3y4?y5?y6?V ?y?y?y?y?3y?y?V23456?1?y1?y2?y3?y4?y5?3y6?V??y1?y2?y3?y4?y5?y6?1解之得：xi*?1,(i?1,2,?6)；yi*?1,(i?1,2,?6)，V?1。

由于xi*?0,yi*?0所得的解为最优解（当其中有0或小于0的解时，方法不可用，解不正确）

?322020???'4、A?202044

????203820??根据相应定理： 如果有矩阵对策

G1?{s1,s2;A1}G2?{s1,s2;?A}则VG2??VG1,T(G1)?T(G2)；

如果有矩阵对策??G1?{s1,s2;A1}，其中，A1?(?ij),A2?(?ij?L)则VG2?VG1?L,T(G1)?T(G2)

?G2?{s1,s2;A2}根据上述定理可得：

?322020??1200??400????0024???008?

A'??202044????????203820????0180????060??所以最优解为：X?(*6346432472,,),Y*?(,,)，对策值V*?*3?20??20 13131313131313135、略

6、根据对偶问题的松弛互补定理（如果对应某一约束条件的对偶变量值为非零，则该约束条件取严格等式，如果约束条件取严格等式，则其对应的对偶变量一定为零） 在保证没有零解的情况下，可以采用线性方程组来解： 采用线性方程组的方法，得到线性方程组：

?1x1?2x2?3x3?v?3x?x?2x?v?223 ?2x?3x?x?v23?1??x1?x2?x3?1解上式，得到：X??,,?,v?2，同理可求Y??,,?,v?2

*?111??333?*?111??333?

多属性决策部分

1、 解：

由于各自的量纲不同，所以无法直接比较，首先消除量纲的影响：分别以60为分子和以2.4为分子进行计算得到下表： 方案序号 费用（万元） 就读距离（KM） 方案序号 权值 所以采用方案2 2、首先确定 序号 1 2 3 4 5 6 序号 1 2 3 4 5 6 价格（元） 1018 850 892 1128 1094 1190 价格（元） 1.168959 1.4 1.334081 1.054965 1.087751 1 耗时（分） 74 80 72 63 53 50 耗时（分） 1.081081 1 1.111111 1.269841 1.509434 1.6 耗电（度） 0.8 0.75 0.8 0.8 0.9 0.9 耗电（度） 1.125 1.2 1.125 1.125 1 1 用水（升） 342 330 405 354 420 405 用水（升） 1.22807 1.272727 1.037037 1.186441 1 1.037037 1 1 2.4 1 3.4 2 1.2 3 2 4.2 3 1.4 2 3 3.4 4 1.6 1.2 4 2.8 5 1.4 1.6 5 3.0 6 2 1 6 3 所以其权值分别为： 首先规范化各个参数：

计算理想解和反理想解 A??(1.334,1.509,1.125,1.273)A?(1,1,1,1)?

各个选择距离理想解和反理想解的距离是：

?????d1??0.574697,d2?0.6,d3?0.551845,d4?0.491044,d5?0.469129,d6?0.505519 ?????d1??0.320565,d2?0.523813,d3?0.375436,d4?0.355275,d5?0.516936,d6?0.601142

所以，u1?0.358069,u2?0.466103,u3?0.404879,u4?0.419789,u5?0.475758,u6?0.456797 选择最大值为：0.475758，所以选择第五个方案。 3、

排队论部分

1、解：依题意知题设排队系统属M/M/1/?/?/FCFS模型

且：

1??2011?3?（小时/人），?4（人/小时），则??? 603??43?0.25 4(1)P0?1???1? (2) Ls??????3

(3)Ws?L1?s?1小时=60分钟 ????1?1.25（小时）及??4（人/小时）， ???(4)由Ws?知??3.2（人/小时），平均到达率至少提高3.2－3=0.2（人/小时）。 2、解：依题意，用于M/M/1/?/?/FCFS排队模型 已知??7,??7.5，系统运行指标如下：

(1)Ws?11??2（h）=120（分钟） ???7.5?7 Wq??7??1.867（小时）=112（分钟）

?(???)7.5(7.5?7)?272(2)Lq???13（人）

?(???)7.5(7.5?7)(3)若要求Ws?1小时，即逗留时间比原来减少一半，则：

由Ws?一半。

3、解：由题意知，模型为M/M/1，客源、容量不限的排队系统，且：

11?1,??8每小时若能平均接待8人，可使来访者平均逗留的时间比原来减少得

?????7 ??0.1（人/分），??1??0.33（人/分），.于是???0.3 3?（1）顾客到达必须等待的概率为：

P(n?1)?1?P(n?1)?1?P0?1?(1??)?0.3

（2）等待用电话的平均顾客数：

?2?2 Lq???0.13

?(???)1??

（3）到达速度即为平均到达率，由题意知： Wq???(1??)???3

?(???) 从而，??

1

（人/分）。 6

??（4）打一次电话的时间即为顾客逗留的时间T： P(T?10)???10(???)e?(???)xdx?0.03（分）。

=3，

=60/15=4

4、解：N=7为系统最大的顾客数，

某顾客一到达就能理发，这种情形相当于理发馆内没有顾客，所求概率为：

??P0?1?1?N?1?1?3/4?0.2778

1?(3/4)8(1)理发馆中平均顾客数期望值：

(N?1)?N?1Ls???2.11 N?1(1??)1???(2)理发馆中排队等待服务的平均顾客数期望值：

Lq?m?(???)?(1?P0)?Ls?(1?P0)?2.11?(1?0.2778)?1.39

(3)顾客在理发馆内逗留的期望值：

Ws?Ls?0.73（小时）=43.8（分钟）

?(1?P0)(4)顾客在理发馆内排队等待时间的期望值：

Wq?Ws?1??0.73?1?0.48（小时） 4(5)在可能到来的顾客中有百分之几不等待就离开，这就是求系统中有7个顾客的概率：

??7?)?3.7%，这也是理发馆的损失率。 P7?()(?1?(?)8?1?5、解：这是一个M/M/1/r系统，由题意知：

r?3?1?4（min/人），

1??50（min/人）

故服务强度为：P0?则：

1??1?0.625??0.4145 r?151??1?0.625

(r?1)?r?1L???1.1396人

1??1??r?1?Lq?L?(1?P0)?1.1396?(1?0.4145)?0.5541人

?e??(1?P0)?

1(1?0.4145)?0.01171人 50故任一顾客期望等待时间为：Wq?Lq?e?0.5541min?47min

0.01171该店潜在顾客的损失率即系统满员的概率为：

44 P4??P0?(0.625)?0.4145?0.06?6%

6、解：（1）这个系统包含候诊室与诊断室，所以当候诊室刚好满员时，

n=1+9=10， ??8?0.8 10P(10)?(1?0.8)?0.810?0.021

即占开诊时间的2.1%

（2） a．系统已扩展到n=1+9+1+11

P(11)?(1?0.8)?0.811?0.0172

b.乘上0.8得到新的概率为： 0.8×0.0172＝0.0138

7、解：m=5，

??11?,??,?0.8 1512?（1）P0?1?1/136.8?0.0073 mm!?i()?i?0(m?i)!?5!50.8P0?0.287 0!1(1?0.0073)?3.76（台） （3）Ls?5?0.8（2）P5?（4）Lq?3.76?0.993?2.77（台） （5）Ws?51(1?0.0073)12?15?46（分钟）

（6）Wq?46?12?34（分钟）

（7）机器停工时间过长，修理工几乎没有空闲时间，应当提高服务率减少修理时间或增加工人。

8、解：依题意，用于M/M/1/m/m/FCFS排队模型

已知，N=3 ??11?,??,?0.4 52?P0?1?0.282； 33!?n()?(3?n)!?n?0???P?1.205（台） ??0???Lq?N?(1?P0)?0.487（台）

?Ls?N?Ws?L?3.36（天）

?(N?L)Wq?Lq?(N?L)?1.36（天）

9、解：由题意知，这是一个M/M/1/6/6系统，有：

m=6， ??1台/h，??工人空闲的概率为：

1?台/h=10台/h，???0.1 0.1?6!(0.1)k]?1?[1?6?0.1?6?5(0.1)2?6?5?4?3(0.1)3?6?5?3(0.1)4?6!(0.1)5?6!(0.1)6]?1P0?[?(6?k)!k?0?0.48456

停车的机床（包括正在照管和等待照管）的平均数为：

L?6?10?(1?0.4845)?0.845台

等待照管的机床平均数为：

Lq?0.845?(1?0.4845)?0.3295

平均停车时间为： =9.83min

平均等待时间为：

W?L0.845??0.1639h

?(1?P0)10?(1?0.4845)L0.845??0.141?14.1% m6生产损失率（即停车机床所占比例）为：??机床利用率：??1???1?0.141?85.9%

10、解：这是一个多服务台排队模型。

C=3，

???2.25,???0.75?1，代入公式得： ?c?(1) 整个售票所空闲概率： (2) P0?[1?k11?c?1()?()]?0.0748 ?c!1???k?0k!?c?1?(c?)c?(2)平均队长：Lq??(n?1)Pn?，=3.95 L?L?P?1.70sq20?c!(1??)n?c?1?(3)平均等待时间和逗留时间：

Wq?Lq?=1.7/0.9=1.89分钟，Ws?Ls?=1.89+1/0.4=4.39分钟

2.253?0.0748?0.57 顾客到达后必须等待的概率为： P(n?3)?13!411、解：依题意c=3， ??240,??504=240，???240??0.159，于是： c?3?504P0?[??1?k11?c?1()?()]?0.628

c!1???k?0k!?c?1(c?)c?Lq??(n?1)Pn?P=0.0025， 20c!(1??)n?c?1Ls?Lq?Lq?=0.0025+30.159=0.4795, ?0.0025?0.00001 (小时) 2401?0.00001?1?00.00199 504Wq??Ls?Ws???Wq??12、解：这是M/M/3模型，顾客源、容量均无限，单队3个服务台并联的情形。

此时：??4,??2,c?3,???42??. c?3?23（1）银行内空闲时间的概率即没有顾客时的概率：

1?k11?c?112233?2?11P0?[?()?()]?[1?2?2?]?

k!?c!1???2!3!3.2?49k?0c?1；

1?n12n （2）n?3时,P ()P0?n?n!?n!9n?3时,Pn?1?n()P0 c!cn?c?

（3）平均队列长：

(c?)c?8 Lq??(n?1)Pn?P?20c!(1??)9n?c?1?

（4）银行内顾客的平均数：

Ls?Lq??8?Lq?C???2 ?9（5）银行内顾客的平均逗留时间：

8L13 Ws?s?9?

?4182（6）顾客等待服务的平均时间： Wq?考研题解答：

1、解：

Lq812??? ?949??4,??,??13?3? ?4N?1Ls??1???(N?1)?1??N?13(N?1)()N?14. ?3?3N?11?()411??4 Lq?Ls?(1?P0)?Ls?(1?)?Ls?1?N?13N?11??1?()4令：2、解：

LqLs?7%，解得：N=1.67

1．??11?,??,???0.8 108?

?4（人）

11?81011Ws???40（分钟）

11????81091912．Ws?90%?30???30???30

110???10??10Lq??????110得??7.7，故工件的平均服务时间最多是7.7分钟。 3．模型已变为M/M/2/?/?，其中。c?2

?1??2?,??14??0.2，则： 2???(c?)c21Ls??Lq??P??P0 20??c!(1??)540P0?[?1?k11?c?12()?()]? k!?c!1???3k?0c?1所以：Ls?3、解：?212???0.42 5403?9,??10,????0.9,P0?1???0.1 ?1．Lq???0.9?9??8.1 ???10?922．P(n?2)?1?(P?P?P)?1?(1??)?(1??)??(1??)??0.729 012

3．2?Lq?

解得??1.23，故接待速度应提高??10?12.3?10?2.3

4、解：???????99?? ???9??10,??12,????0.833 ?1．P0?1???0.167

2．Ls?3．Ws?????1?5（人）

?Ls?0.5（小时）

4．Ws?1.2,1?1.2得??11.17 ???，即??11.17人/h时要增开窗口。

同理得到：X(2)?(0,0)?T120012(0,0)T?(0,0)T，计算终止，得到最优解X?(0,0)T

当用最佳步长时：

由P(k)??H(X(k))?1?f(X(k)) X(k?1)?X(k)??kP(k) ?k：minf(X(k)??kP由上面的计算得到：

(k)）

H(X)?1?120012，?f(X)?(2x1,2x2)T，将初始点X(0)?(4,0)T带入得到：

TX(1)?X(0)??0P(0) (4,0)???0(8,0)T.

将X(1)带入表达式f(X)'?16(4?8?)?0?0，并对?1求导得到：?1??1，带入得到 21TX(1)?X(0)??0P(0) (4,0)??(8,0)T?(0,0)T

227、 max f(X)?4x1?x12?8x2?x2x1?x2?2 x1,x2?0

用K-T条件求解；

写出等价的线性规划问题并求解。

22解：首先将目标函数最小化为：minf(X)?x1?8x2?x2?4x1

??T目标函数正定，设K-T点为X??(x1,x2)，则函数变为：

??x1?x2?2???????2x1?4??1?0，和约束条件联立得到：?2x1?4??1?0，从而得到解 ???????2x2?8??1?0?2x2?8??1?0等价的线性规划问题为： 根据二次规划定理：

??2D??AAT0?I0?X???0?????CT??????? ?isi??jxj?0 （对于一切的i和j） I???b????S??,?,X,S?0

10得到：D?,A?(1,1),C?(?4,?8),b?(2)带入上式得到：

01x1101?1011110000001x2?10??1?2s?4??8 2列出线性规划表达式为：

cj CB -1 -1 0 ?j

XB R1 R2 s1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 x1 x2 ? T1 T2 s1 R1 R2 4 2 1 -1 0 0 1 0 2 4 2 0 -1 0 0 1 1 2 0 0 0 1 0 0 b -4 -8 2

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