2019-2020学年高考数学一轮复习 专题七 指数及指数函数、对数及

2019-2020学年高考数学一轮复习 专题七 指数及指数函数、对数及

对数函数、幂函数学案

识要点梳理

知识点一：指数及指数幂的运算1.根式的概念

的次方根的定义：一般地，如果

，那么叫做的次方根，其中

当为奇数时，正数的次方根为正数，负数的次方根是负数，表示为偶数时，正数的次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0. 式子

2.n次方根的性质：

叫做根式，叫做根指数，叫做被开方数.

.

；当为

(1)当为奇数时， (2)

3.分数指数幂的意义：

；当为偶数时，

；

注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义.

4.有理数指数幂的运算性质： (1)

知识点二：指数函数及其性质1.指数函数概念

(2)

(3)

一般地，函数为

2.指数函数函数性质：函数 名称 定义 函数[ .

叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域

指数函数 且叫做指数函数 图象 定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 在上是增函数 图象过定点，即当非奇非偶 时，. 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小. 函数值的 变化情况 变化对图象的影响

注：如图所示，是指数函数（1）y=a,（2）y=b（3）,y=c（4）,y=d的图象，如何确定底数a,b,c,d与1之间的大小关系？

x

x,

x

x

在第一象限内，从逆时针方向看图象，逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，逐渐减小.

提示：在图中作直线x=1，与它们图象交点的纵坐标即为它们各自底数的值，即c>d>1>a>b,∴c>d>1>a>b。即无论在轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大。 巩固训练

题型一、指数幂的化简与求值

1

1

1

1

）］的结果为（ ）A、5 例1、化简［（?5变式：1、64的6次方根是( )

3234B、5 C、－5

D、－5

A．2 B．－2 C．±2 D．以上都不对 2．下列各式正确的是( )

4

A.(－3)2＝－3 B.a4＝a C.22＝2 D．a0＝1

??3?4[(3)3(5)0.5?(0.008)3?(0.02)2?(0.32)2]?0.06250.2589例2、（1）计算：；

2211

a?8ab3（2）化简：4b?2ab?a23234313?(a?2323ba?3a2?)?5aa?3a

变式：化简下列各式（其中各字母均为正数）:

(a?b)?a?b?123?121213（1）

6a?b5;

211?513?2?3232?1a?b?(?3ab)?(4a?b).（2）6

2700.25423631.5?(?)?8?2?(2?3)?()63 (3)

?13

题型二、指数函数的图象及应用

1a1b()?()，下列五个关系式：①0＜b＜a;②a＜b＜0;③例3.已知实数a、b满足等式230＜a＜b;④b＜a＜0;⑤a=b.其中不可能成立的关系式有 （ ）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

x变式：若直线y?2a与函数y?|a?1|(a?0 且a?1)的图象有两个公共点，则a的取值

范围是_______.

例4、 函数y?3与y??3的图象关于下列那种图形对称( ) A. x轴 B. y轴 C. 直线y?x D. 原点中心对称

例5、如果函数f（x）＝（a－1）在R上是减函数，那么实数a的取值范围是（ ）

A．｜a｜＞1 B．｜a｜＜2 C．｜a｜＞3 D．1＜｜a｜＜2

x－2

2

x?xx例6、函数y＝a

＋1（a＞0，a≠1）的图象必经过点（ ）

B．（1，1） C．（2，0）

D．（2，2）

A．（0，1）

x例7、函数y＝a在［0，1］上的最大值与最小值和为3，则函数y＝3ax－1在［0，1］上

的最大值是（ ） A．6 B．1 C．3 D．

3 2例8、设f（x）＝()，x∈R，那么f（x）是（ ）

A．奇函数且在（0，＋∞）上是增函数 B．偶函数且在（0，＋∞）上是增函数 C．函数且在（0，＋∞）上是减函数 D．偶函数且在（0，＋∞）上是减函数

例9、在图中，二次函数y＝ax＋bx与指数函数y＝（

2

12xbx）的图象只可为（ ） a

题型三：指数函数的性质 例10.已知定义域为R的函数（Ⅰ）求b的值；

（Ⅱ）判断函数f?x?的单调性;

（Ⅲ）若对任意的t?R，不等式f(t?2t)?f(2t?k)?0恒成立，求k的取值范围．

22?2x?bf(x)?x?1是奇函数。

2?2exa?变式：设a＞0,f(x)=是R上的偶函数. aex（1）求a的值；

（2）求证：f(x)在（0，+∞）上是增函数.

高考真题回顾

232352525a?（）,b?（），c?（）555，则a，b，c的大小关系是 1.（安徽卷文7）设

（A）a＞c＞b （B）a＞b＞c （C）c＞a＞b （D）b＞c＞a

logbx2.（湖南卷文8）函数y=ax2+ bx与y= 系中的图像可能是（ ）

||a (ab ≠0，| a |≠| b |)在同一直角坐标

知识点三：对数与对数运算1.对数的定义 (1)若叫做底数，

，则叫做以为底

的对数，记作

，其中

叫做真数. (2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：

2.几个重要的对数恒等式

3.常用对数与自然对数 常用对数：

4.对数的运算性质 如果 ①加法：

，那么

；自然对数：

，即

(其中

…).

，

，

.

.

，即

②减法：

③数乘： ④

⑤

⑥换底公式：

知识点四：对数函数及其性质1.对数函数定义 一般地，函数域

.

叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义

2.对数函数性质：函数 名称 定义 对数函数 函数 且叫做对数函数 图象 定义域 值域 过定点 奇偶性 图象过定点 ，即当非奇非偶 时，. 单调性 在上是增函数 在上是减函数 函数值的 变化情况 变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，逐渐减小. 注：确定图中各函数的底数a，b，c，d与1的大小关系

提示：作一直线y=1，该直线与四个函数图象交点的横坐标即为它们相应的底数。

∴0题型一、对数式的化简与求值 例11、计算：（1）log2?3(2?3)

22

（2）2(lg2)+lg2·lg5+(lg2)?lg2?1;

（3）lg

12324-lg8+lg245.493

变式：化简求值. （1）log2

17+log212-log242-1;

248

2

（2）(lg2)+lg2·lg50+lg25;

（3）(log32+log92)·(log43+log83).

题型二、对数函数的性质

例12、对于0?a?1，给出下列四个不等式： ①loga(1?a)?loga(a?);③a1?a11②loga(1?a)?loga(1?)； a a1?a?a1?1a; ④a?a1?1a; 其中成立的是（ ）

（A）①与③（B）①与④（C）②与③（D）②与④ 变式：已知0＜a＜1,b＞1,ab＞1，则loga11A.loga?logab?logbbb11,logab,logb的大小关系是 （ ） bb

logab?logaB.

11?logb bbC.logab?logb1111?loga D.logb?loga?logab

bbbb例13、已知函数f(x)=logax(a＞0,a≠1)，如果对于任意x∈［3，+∞）都有|f(x)|≥1成立，

试求a的取值范围.

高考真题回顾

1.（北京卷文2）若a?log3π，b?log76，c?log20.8，则（ ） A．a?b?c B．b?a?c C．c?a?b 2.（湖南卷文6）下面不等式成立的是( )

D．b?c?a

A．log32?log23?log25 B．log32?log25?log23 C．log23?log32?log25 D．log23?log25?log32 3（江西卷文4）若0?x?y?1，则( )

xyyxA．3?3 B．logx3?logy3 C．log4x?log4y D．()?()

14144.（辽宁卷文4）已知0?a?1，x?loga2?loga3，y?loga5，

12z?loga21?loga3，则（ ）

A．x?y?z

B．z?y?x

?1 C．y?x?z

3D．z?x?y

5.（全国Ⅱ卷理4文5）若x?(e，1)，a?lnx，b?2lnx，c?lnx，则（ ） A．a

B．c

C． b

D． b

6.（全国Ⅰ卷理10）已知函数F(x)=|lgx|,若0

(A)(22,??) (B)[22,??) (C)(3,??) (D)[3,??)

7.（全国Ⅰ卷文7）已知函数f(x)?|lgx|.若a?b且，f(a)?f(b)，则a?b的取值范围是

(A)(1,??) (B)[1,??) (C) (2,??) (D) [2,??) 8.（山东卷文3）函数A.

f?x??log2?3x?1?的值域为（ ）

?0,??? B. ??1,??? ?0,??? C. ?1,??? D. ?9.（陕西卷文7）下列四类函数中，个有性质“对任意的x>0，y>0，函数f(x)满足f（x＋y）＝f（x）f（y）”的是 （ ）

（A）幂函数 （B）对数函数 （C）指数函数 （D）余弦函数

11x()?x3xx10.（上海卷理17）若0是方程2的解，则0属于区间 （ ）

111212(A)(3,1) (B)(2,3) (C)(3,2) (D)(0,3)

11.函数y=log2x的图象大致是（ ）

(A) (B) (C) (D) 12.已知函数 (A)0

f(x)?log1(x?1),若f(?)?1, ?=（ ）

(B)1

(C)2

(D)3

xy?16?413.函数的值域是

（A）[0,??） (B) [0,4] (C) [0,4) (D) (0,4) 知识点五：幂函数

1.幂函数概念 形如

的函数，叫做幂函数，其中为常数.

2.幂函数的性质

图象分布：幂函数图象分布在

第一、二、三象限，第四象限无图象.

幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限 (图象关于

轴对称)；是奇函数时，图象分

(1)

布在第一、三象限(图象关于原点对称)；

是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象 限. (2)过定点：所有的幂函数在并且图象都通过 点单调性：如果则幂函数的图象在

.

，则幂函数的图象过原点，并且在

上为增函数. 如果

轴.

都有定义，

(3)，

上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与

(4)奇偶性：当中

互质，

为奇数时，幂函数为奇函数，当和

)，若是偶函数，若

为偶数时，幂函数为偶函数.当

是奇函数，若

(其

为奇数为奇数时，则为偶数为奇数时，则

，当上方，当下方.

时，若时，若

为奇数为

偶数时，则是非奇非偶函数. ，其图象在直线，其图象在直线

(5)图象特征：幂函数下方，若上方，若

，其图象在直线，其图象在直线

四、规律方法指导思维总结 1．

（其中）是同一数量关系的三种不

同表示形式，因此在许多问题中需要熟练进行它们之间的相互转化，选择最好的形式进行运算.在运算中，根式常常化为指数式比较方便，而对数式一般应化为同底；

2．要熟练运用初中学习的多项式各种乘法公式；进行数式运算的难点是运用各种变换技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆项、添项、换元等等，这些都是经常使用的变换技巧，必须通过各种题型的训练逐渐积累经验；

3．解决含指数式或对数式的各种问题，要熟练运用指数、对数运算法则及运算性质，更关键是熟练运用指数与对数函数的性质，其中单调性是使用率比较高的知识；

4．指数、对数函数值的变化特点是解决含指数、对数式的问题时使用频繁的关键知识，要达到滚瓜烂熟，运用自如的水平，在使用时常常还要结合指数、对数的特殊值共同分析； 5．含有参数的指数、对数函数的讨论问题是重点题型，解决这类问题的最基本的分类方案是以“底”大于1或小于1分类；

6．在学习中含有指数、对数的复合函数问题大多数都是以综合形式出现，如与其它函数（特别是二次函数）形成的复合函数问题，与方程、不等式、数列等内容形成的各类综合问题等等，因此要努力提高综合能力. 巩固训练 1．在函数y?1220,y?3x,y?x?x,y?x中，幂函数的个数为 ( ) 3xB．1

C．2

D．3

A．0

2、幂函数的图象都经过点（ ）

A．（1，1） B ．（0，1） C．（0，0） D ．（1，0）

?523、幂函数y?x的定义域为（ ）

A．(0,+?) B．[0,+?) C．R D．(-?，0)U (0,+?) 4．若幂函数f?x??xa在?0,???上是增函数，则 ( )

A．a>0

5．若a?1.1,b?0.912?B．a<0 C．a=0

D．不能确定

12，那么下列不等式成立的是 ( )

A．a

6．若幂函数f?x??xm?1B．1

D．1在(0，+∞)上是减函数，则 ( )

C．m=l

D．不能确定

A．m>1 B．m<1

7．若点A?a,b?在幂函数y?xn?n?Q?的图象上，那么下列结论中不能成立的是

A．?2

3

?a?0?a?0?a?0?a?0 B．? Ｃ．? D．? b?0b?0b?0b?0????

D、x＜1

8、使x＞x成立的x的取值范围是 （ ）

A、x＜1且x≠0 B、0＜x＜1 C、x＞1

abcd9、若四个幂函数y＝x，y＝x，y＝x，y＝x在同一坐标系中的图象如右图，则a、b、

c、d的大小关系是 （ ）

A、d＞c＞b＞a B、a＞b＞c＞d C、d＞c＞a＞b D、a＞b＞d＞c

10、当x∈（1，＋∞）时，函数）y＝x的图象恒在直线y＝x的下方，则a的取值范围是 （ ）

aA、a＜1 B、0＜a＜1

13?p2?p?22C、a＞0 D、a＜0

11、已知幂函数f（x）＝x

（p∈Z）在（0，＋∞）上是增函数，且在其定义域内

是偶函数，求p的值，并写出相应的函数f（x）、

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