概率统计综合练习zhongkai

概率统计综合练习

第一章 随机事件及其概率

一. 判断题

１. 在古典概型的随机试验中，P(A)=0当且仅当Ａ是不可能事件.

详解：是 在几何概型中，命题“P(A)?0当且仅当A是不可能事件” 是不成立的.

2．若随机变量X与Y独立，且都服从p?0.1的 (0，1) 分布，则X?Y. 详解：非. 由题设条件可得出P(X?Y)?0.82，根本不能推出X?Y. 3．设A,B,C为随机事件，则A与A?B?C是互不相容的 详解： 是 A?A?B?C?A?A?B?C??

4. E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y相互独立的必要而非充分的条件. 5．设A、B是随机事件，P(A)?0，则A与B相互独立 详解：是

二. 填空题

1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才

取到正品的概率为 .

59519??详解： 100993962．设A，B为两个随机事件，若P(AB)?P(A)P(B)，则称A与B是 ．

?AB?,A?0?　P(A)B?(P)?A　0?,P(A?B

?P(A)P(?B)?0　P(A?B)P(A)P(B)????详解：相互独立

4．盒中装有6个白球4个红球，无放回地每次抽取一个，则第2次取到红球的概率是 ． 详解：｛第２次取到红球｝＝｛第１次取到红球，第２次取到红球｝＋｛第１次取到白球，第２次取到红球，所以所求概率为：

6443??? 109109?ae?x?b,x?05. 设连续型随机变量Ｘ的分布函数为F?x???，则a= ,

0,x?0?b=

详解：x?0??a??1,b?1

三. 选择题

lim??ae?x?b??a?b?0,lim?ae?x?b??b?1x???

1. 设每次试验成功的概率为p(0?p?1)，重复进行试验直到第n次才取得

r(1?r?n) 次成功的概率为 .

r?1rn?rrr（A）Cn； （B）Cnp(1?p)n?r； ?1p(1?p)r?1r?1（C）Cn(1?p)n?r?1； （D）pr(1?p)n?r. ?1pr?1r?1 详解：选A; 前n?1次试验的概率为：Cn(1?p)n?r，再实验最后一次的?1pr?1r?1n?rr?1rn?r概率为Cn p(1?p)?p?Cp(1?p)?1n?12. 设B?A，则下面正确的等式是 。

（A）P(AB)?1?P(A)； （B）P(B?A)?P(B)?P(A)； （C）P(B|A)?P(B)； （D）P(A|B)?P(A) 详解：选B ?A?B,?A?B,?P(B?A)?P(B)?P(A) 3. 下列事件运算关系正确的是（ ）．

A. B?BA?BA B. B?BA?BA C. B?BA?BA D. B?1?B 详解：选A

4. 设A，B是两事件，则下列等式中（ ）是不正确的．

A. P(AB)?P(A)P(B)，其中A，B相互独立 B. P(AB)?P(B)P(AB)，其中P(B)?0 C. P(AB)?P(A)P(B)，其中A，B互不相容 D. P(AB)?P(A)P(BA)，其中P(A)?0 详解：选C

5．若事件A,B的概率为P(A)?0.6，P(B)?0.5，则A与B一定（ A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容 详解：选D

6、投篮三次，设Ai表示第i次投中的事件，则至少有一次投中可表示为( ) (A)A1A2A3 (B) A1A2A3 (C) A1?A2?A3 (D) A1?A2?A3 详解：选C

7、设事件A发生的概率为p(0

8、甲乙两位射手同时独立地向同一目标射击,甲击中目标的概率为0.6，乙击中目标的概率为0.4则目标被击中的概率为（ ） A、0.76 B、0.7 C、 0.6 D、0.42 详解：选A

9．设一射手每次命中目标的概率为p, 现对同一目标进行若干次独立射击直到命中目标5次为止, 则射手共射击了10次的概率为

55444544(A) C10p(1?p)5 (B) C9p(1?p)5 (D) C9p(1?p)5 (C) C10p(1?p)5

）．

详解：选B (类同于第一小题)

11110. 人独立地破译一个密码，若他们能译出的概率分别为,,，密码能被译出

345的概率为

2233(A) ； (B) ； (C) ； (D)

5354详解：选C

12．设事件A，B相互独立，P(A)?0.6，P(A?B)?0.3，则P(A?B)? (A)

71317； (B) ； (C) ； (D) 1021621详解：选A

13．房间里有10个人，分别佩戴着从1到10号的纪念章，任意选3人记录其纪念章的号码，则最小号码为5的概率为

717111(A) ； (B) ； (C) ； (D)

10121621详解：选C

14．5双相同的鞋放在一起，从中任取4只，则这4只鞋正好可以拼成2双的概率为

7171011(A) 11； (B) 21； (C) 21； (D) 21

4详解：选C，总的取法C10，分成两组左和右组，从左组中任取两只的有C52种取法，从右组中任取两只有C52种取法，正好拼成两双共有C52C52种， 15．设一次试验成功的概率是p(0?p?1)，则三次重复独立试验中至少失败一次的概率是 333223(1?p)1?p(1?p)?p(1?p)?p(1?p) (1?p)(A) (B) (C) (D)

详解：选B

16．投篮三次，设Ai表示第i次投中的事件，则3次都没投中可表示为 (A)A1A2A3 (B) A1A2A3 (C) A1?A2?A3 (D) A1?A2?A3 详解：选B

17．设A,B为两事件,则下列一定正确的是: ( ) (A)AB与A是对立事件 (B) AB与A互不相容 (C) AB与AB是对立事件 (D) A+B与A+B对立 详解：(A)AB与AB?AB是对立事件

(B) AB?A=?,所以互不相容

(C) AB与AB?A?B?A?BAB是对立事件

(D) A?B?A?B与A?B?A?B?AB是对立事件，不与A+B?A?B对立

故选B

18． 设A,B为两事件, P(A)?P(B)?0,且A?B则有: ( ) (A)P(A|B)?1； (B) P(B|A)?1； (C) P(B|A)?1； (D) P(A|B)?1 详解：P(A)?P(B)?0,且A?B 的含义是，A，B不是同一个事件，如果B发生，是A一定发生，即在B已经发生的条件下，A一定发生，故选A

四. 计算题

1. 甲，乙，丙三人同时独立地对飞机射击，三人击中目标的概率分别为0.4，0.5，0.6，飞机被一人击中而被击落的概率是0.2，被二人击中而被击落的概率是0.6，若三人都击中，飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。.

详解：任Ai,i?1,2,3,分别表示恰好只有一人，两人，三人击中的事件，用A表示甲击中，B表示乙击中，C表示丙击中。H表示飞机被击落事件

A1?ABC?AB?CA,BCP(AB?)C(PAB)CP(A)?1)?P(ABC ?P(A)P(B)P(C?)P(A)P(B)P?(C)P(A)P( B)P(C)?0.4?0.?50?.30?.6?0.5?0.3?0.?60.50.7?0.06?0.0?90?.210.36A2?ABC?ABC?ABC,P(A2)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?0.4?0.5?0.3?0.?4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.06?0.14?0.21?0.41P(A3)?P(A)P(B)P(C)?0.4?0.5?0.7?0.14

P(H)?P(H|A1)P(A1)?P(H|A2)P(A2)?P(H|A3)P(A3)?0.2?0.36?0.6?0.41?1?0.14?0.072?0.246?0.14?0.458

2. 某厂卡车运送防“非典”用品下乡，顶层装10个纸箱，其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱，不知丢失哪一箱. 现从

剩下9箱中任意打开2箱，结果都是民用口罩，求丢失的一箱也是民用口罩的概率.

详解：任取2箱都是民用口罩，

Bk 丢失的一箱为k k?1,2,3分别表示民用口罩，消毒棉花，医用口罩.

P(A)??P(Bk)P(Ak?135C423C522C528Bk)??2??2??2?10C910C910C936B)　　1)

P(B1A)?P(B1A)/P(A)　　(　　?P(BA1)＝P(B)P1(A?P(B1)P(A1C42383B1)/P(A)??2/P(A)???.2C936368

3. 设每 100 个男人中有 5 个色盲，而每 10000 个女人中有 25个色盲。今从人群中任选一人，发现其是色盲，求此人是女性的概率（假定人群中男女比例相同）。 详解：设 A 表示“此人是女性”， B 表示“此人是色盲”。

1P?A??PA?,P?BA??0.0025,PBA?0.05,2P?A?P?BA?则由贝叶斯公式P?AB??P?A?P?BA??PAPBA????????

　　　　　　　　　　?0.5?0.0025?0.04760.5?0.0025?0.5?0.05

4、10只产品中有2只是次品，从中随机地抽取3只，以X表示取出次品的只数，求X的分布律。 详解：X可取0、1、2

122137C8C2C87C2C1 P?X?0??3?, P?X?1??3?, P?X?2??38?C1015C1015C10155. 进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为p(0?p?1)

（1） 将试验进行到出现一次成功实验为止，以X表示所需试验的次数，此时

称X服从参数为p的几何分布。求X的分布律。

（2） 将试验进行到出现r次成功为止，以Y表示所需试验的次数，此时称Y服

从参数为r、p的巴斯卡分布。求Y的分布律。

详解：（1）P?X?k??p(1?p)k?1,k?1,2,......（k-1次未成功，最后一次成功）

?1rk?r （2）P?X?k??Ckr?,k?r,r?1,......(类同于选择题第1小题) 1p(1?p)6. 9个新同学中有3个是女生，将这9个人平均分到3个班去，求每个班正好分到1个女生的概率。 详解： 设每个班分到1个女生为事件A，则

32 n?C9C6?1680

2121nA?C6C3C4C2?540

所以

9 287．设有5个袋子，其中两个袋子每袋装有2个白球3个黑球，另外两个袋子每袋装有1个白球4个黑球，还有1个袋子装有4个白球1个黑球，从5个袋子中任取1袋，并从这袋中任取1球，求此球为白球的概率。

P(A)?详解： 设A = 抽到第一类袋子， B = 抽到第二类袋子， C = 抽到第三类袋子，

D = 抽到白球，则

P(D)?P(A)P(D/A)?P(B)P(D/B)?P(C)P(D/C) 2?5五．证明题：

1．若事件A与B独立，试证明事件A与B独立 证明：

P(AB)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?P(B)?P(A)P(B)?P(B)(1?P(A))?P(A)P(B) 所以独立。

第二章 解答＿随机变量及其分布

一. 判断题

１．连续型随机变量的密度函数f(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定. 详解：非. 改变密度函数f(x)在个别点上的函数值，不会改变分布函数F(x)的取值

2．F(x)是正态随机变量的分布函数，则F(?x)?1?F(x).

详解：是 只有当正态分布的期望为零时才有F(?x)?1?F(x)，一般情况

F(?x)?1?F(x)

二. 填空题

3．设f(x)是连续型随机变量X的密度函数，则对任意a?b都有P(a?X?b)= ba ．

详解：?f(x)dx

2．设随机变量X的概率分布为 xk

pk

则a = ． 详解： a等于0.3

三. 选择题

0 a 1 0.2 2 0.5 １. 离散随机变量X的分布函数为F(x)，且xk?1?xk?xk?1，则

P(X?xk)? .

（A）P(xk?1?X?xk)； （B）F(xk?1)?F(xk?1)； （C）P(xk?1?X?xk?1)； （D）F(xk)?F(xk?1)

详解：选Ｄ

F(xk)??P(X?xi),F(xk?1)??P(X?xi)i?1i?1kk?1

?P(X?xk)?F(xk)?F(xk?1)2. 离散型随机变量X的概率分布为P(X?k)?A?k(k?1,2,?)的充要条件是 。

（A）??(1?A)?1且A?0； （B）A?1??且0???1； （C）A???1?1且??1； （D）A?0且0???1.

详解：选Ａ 因为

?P(X?k)?Ak?1??1???1,0???1

即??(1?A)?1,A?03. 设连续随机变量X的密度函数满足f(x)?f(?x)，F(x)是X的分布函数，则P(X?2004)? .

?1； (A)2?F(2004)； (B)2F(200)4(C)1?2F(2004)； (D)2[1?F(2004)].

详解：选D，

4. 设连续随机变量X的密度函数满足f(x)?f(?x)，F(x)是X的分布函数，则P(X?2004)? .

?1； (A)2?F(2004)； (B)2F(200)4(C)1?2F(2004)； (D)2[1?F(2004)].

详解：选B

5、设随机变量X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x)，且p(?x)?p(x)，则对任意实数a，有F(?a)?( ) (A) 1?F(a) (B)

1?F(a) 2(C) 2F(a)?1 (D) F(a) 详解：选Ａ

6．设X为连续型随机变量,则P(X?2006)?

(A) 0； (B) 详解：选Ａ

X 1 2 3 P a 7a a?a

2231710； (C) ； (D) 1013217．设X的分布律为 则a?

111(A) 1 (B) (C) (D)

234详解：选D

8．已知随机变量只能取?1,0,1,2四个数，相应概率依次为则c=

(A) 1； (B) 详解：选C

9．设随机变量X ?P(?)，且P?X?1??P?X?2?，则D(X)?

(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1 详解：选C

10．设随机变量X?N(2,4)，且?(1)?0.8413, 则P?0?X?2??

(A) 0.5413； (B) 0.7413； (C) 0.3413； (D) 0.1587 详解：选C

11．设X为连续型随机变量,则P(X?3)?

(A)

31710； (B) 0； (C) ； (D) 1013211357，，，，2c4c8c16c13371； (C) ； (D)

32116详解：选B

12．函数p(x)?sinx在以下哪个区间可以为随机变量X的密度函数

?3?(A) [0,?]； (B) [0,]； (C) [0,]； (D)[??,?]

22详解：选B

13．设随机变量X?N(8,0.52)，则P?X?8??

(A) 0.975； (B) 0.75； (C)1； (D) 0.5 详解：选D

14．设X~P(?)，且P{X?4}?P{X?5}，则方差D(X)? (A) 5 (B) 4； (C) n； (D) 3

详解：选Ａ

15. 设随机变量X的密度函数为p(x)，分布函数为F(x)，且p(?x)?p(x)，则对任意实数a，有F(?a)?( ) (A) 1?F(a) (B) 详解：选Ａ

16、投掷四枚均匀的硬币，则正面朝上的数学期望为：（ ）

32 A、2 B、 C、 1 D、

23详解：选Ａ

17．设X为连续型随机变量,则P(X?2006)?

(A) 0； (B) 详解：选Ａ

18．设函数y?f(x)是一连续型随机变量X的概率密度，则有：（ ）

(A) y?f(x)的定义域为［0,1］； (B) y?f(x)的值域为［0,1］； (C) y?f(x)非负； (D) y?f(x)在(??,?)连续 详解：选C，F(x)的值域是［0,1，而不是其概率密度值域是［0,1，F(x)非负，f(x)

在任一子区间上的积分都为非负，所以f(x)必非负。

四. 计算题

1．设随机变量X~N(3,22)，求概率P(X?1?1) ． (?(0.5)?0.6915，

?(1.0)?0.8413， ?(1.5)?0.9332)．

31710； (C) ； (D) 1013211?F(a) (C) 2F(a)?1 (D) F(a) 2详解：P(X?1?1)?P(?1?X?1?1)?P(?3?X?3??1)

P(X?1?1)?P(?1?X?1?1)?P(?3?X?3??1)3X?3113 ?P(????)??(?)??(?)?222221??3?31?1??()?1??()??()??()?0.9332?0.6915?0.2417????2??2?22?

??2?x,2. 设随机变量 X 的分布密度为f?x?????0,x?ax?a，求a

?????f?x?dx???a?a?2?x?dx?2??a0?2?x?dx

详解：?4a?a2?1?a?2?3由f(x)的非负性，所以a?2-33、下列表中列出的是否是某随机变量的分布律？

X 1 2 3 X -1 0 1 Pk 0.4 0.5 0.1 Pk 0.2 0.3 0.4 详解：（1）是 （2）不是，因概率之和不为1 4. （1）设随机变量X的分布律为P?X?k?? 试确定常数a

a,k?1,2.....,N Nk?2? （2）设随机变量X的分布律为P?X?k??b???,k?1,2.....

?3? 试确定常数b 详解：（1）?P?X?k???k?1Na?a?1， ?a?1 k?1NkN2b1?2?（2）?P?X?k???b????3?2b?1， ?b?

2?3?1?2k?1k?13k5、设随机变量X的分布律为P?X?k??,k?1,2,3,4,5

15?? 其分布函数为F(x)，试求：

5??1?1?1?X?2?， （3）F?? （1）P??X??， （2）P?2??2?5?1215??1?? 详解：（1）P??X???P?X?1??P?X?2??151552??2 （2）P?1?X?2??P?X?1??P?X?2??1??1?? （3）F???P?X???0

5???5?121?? 151556、一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1，求在同一时刻

（1） 恰有两个设备被使用的概率； （2） 至少有1个设备被使用的概率； （3） 至多有3个设备被使用的概率。 详解：设X表示设备被使用的个数

则X~b(5,0.1)

2 （1）P?X?2??C5?0.1??0.9??0.0729

23 （2）p?x?1??1?P?X?0??1?0.95?0.4095

4 （3）p?x?3??1?P?X?4??P?X?5??1?C5?0.1??0.9??C55?0.1??0.99954

4157. 连续型随机变量X的分布函数为

?0?F(x)??Ax2?1?x?00?x?1x?1求 (1)常数A (2)概率密度函数

(3)P?X?1/2? ；P?X?3/2?；P?0?X?2?。 解法一：由于连续型随机变量X的分布函数是连续的

?0??1?F（1）?limF(x)?limAx2?Af(x)?F'(X)??2xx???1x???1?0?1/2x?00?x?1x?1P{X?1/2}?P?X?3/2??????f(x)dx??2xdx?1/4或P?X?1/2??F?1/2??1/4

0?3/21/23/2?f(x)dx??0dx?0 或

P?X?3/2??1?P?X?3/2??1?F(3/2)?1?1?0

212P?0?X?2???f(x)dx??2xdx??0dx?1或

001P?0?X?2??F(2)?F(0)?1?0?1

?0x?0解法二：f(x)?F'(X)???2Ax0?x?1

??0x?1由1????f(x)dx??1??02Axdx?A?A?1其它同解法一

?x0?x?18、已知随机变量X的概率密度为: f(x)???2?x1?x?2

??0其它求 (1)分布函数F(X)

(2) P?X?0.5?,P?X?1.3?,P?0.2?X?1.2? 解: (1) F(x)?P{X?x}??x??f(x)dx

??0x?0xxdxx20?x?1?????0?21??xdx??x1(2?x)dx?2x?x2/2?11?x?2?012x???0xdx??1(1?x)dx??20dx?1x?22)解法一P?X?0.5??F(0.5)?1/8

P?X?1.3??1?F(1.3)?1???1.3?1.32??2??2?1??=0。245

? P?0.2?X?1.2??F(1.2)?F(0.2)?0.66

:分别求积分

P(X?1.3)????0.51.21.3f(x)dx,P{X?0.5}????f(x)dx,P{0.2?X?1.2}??0.2f(x)dx,9、设X~N(3,22)，求

(1).P{22},P{x>3} (2)确定c使P{x>c}=P{x?c}.

其中??3.5??0.9998,??1??0.8413,??0.5??0.6915,??2.5??0.99379

(

?5?3??2?3??1?解：（1）P?2?X?5????????????1??????

?2??2??2? ?0.8413?1?0.6915?0.5328

?10?3???4?3? P??4?X?10?????????

22???????3.5?????3.5??2??3.5??1?0.9996

P?X?2??P?X??2???X?2??P?X??2??P?X?2?

??2?3??2?3? ?????1????

22???? ????2.5??1????0.5?=0.6977

?3?3? P?X?3??1?P?X?3??1?????1?0.5?0.5

?2?（2） ?P?X?c??P?X?c? ?1?P?X?c??P?X?c?

?1?2P?X?c? ?1?P?X?c? 2c?3?c?3?1?0?c?3 即???? ?2?2?210、设随机变量X分布规律为 X Pk ?1 0.3 0 0.4 1 0.3 求Y?2X2?1的分布律。 解：

X —1 0 1 Y 3 1 3 P 0.3 0.4 0.3 所以Y的分布律为 Y 1 3 P 0.4 0.6 11、设随机变量X的分布规律为 ?2 ?1 X 0 1 Pk 1/5 1/6 1/3 1/15 求Y=2X2的分布律。 解:Y的分布律为

3 11/30

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