概率统计综合练习zhongkai
更新时间:2023-03-08 05:12:46 阅读量: 综合文库 文档下载
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概率统计综合练习
第一章 随机事件及其概率
一. 判断题
1. 在古典概型的随机试验中,P(A)=0当且仅当A是不可能事件.
详解:是 在几何概型中,命题“P(A)?0当且仅当A是不可能事件” 是不成立的.
2.若随机变量X与Y独立,且都服从p?0.1的 (0,1) 分布,则X?Y. 详解:非. 由题设条件可得出P(X?Y)?0.82,根本不能推出X?Y. 3.设A,B,C为随机事件,则A与A?B?C是互不相容的 详解: 是 A?A?B?C?A?A?B?C??
4. E(XY)?E(X)E(Y)是X与Y相互独立的必要而非充分的条件. 5.设A、B是随机事件,P(A)?0,则A与B相互独立 详解:是
二. 填空题
1. 一批电子元件共有100个, 次品率为0.05. 连续两次不放回地从中任取一个, 则第二次才
取到正品的概率为 .
59519??详解: 100993962.设A,B为两个随机事件,若P(AB)?P(A)P(B),则称A与B是 .
?AB?,A?0? P(A)B?(P)?A 0?,P(A?B
?P(A)P(?B)?0 P(A?B)P(A)P(B)????详解:相互独立
4.盒中装有6个白球4个红球,无放回地每次抽取一个,则第2次取到红球的概率是 . 详解:{第2次取到红球}={第1次取到红球,第2次取到红球}+{第1次取到白球,第2次取到红球,所以所求概率为:
6443??? 109109?ae?x?b,x?05. 设连续型随机变量X的分布函数为F?x???,则a= ,
0,x?0?b=
详解:x?0??a??1,b?1
三. 选择题
lim??ae?x?b??a?b?0,lim?ae?x?b??b?1x???
1. 设每次试验成功的概率为p(0?p?1),重复进行试验直到第n次才取得
r(1?r?n) 次成功的概率为 .
r?1rn?rrr(A)Cn; (B)Cnp(1?p)n?r; ?1p(1?p)r?1r?1(C)Cn(1?p)n?r?1; (D)pr(1?p)n?r. ?1pr?1r?1 详解:选A; 前n?1次试验的概率为:Cn(1?p)n?r,再实验最后一次的?1pr?1r?1n?rr?1rn?r概率为Cn p(1?p)?p?Cp(1?p)?1n?12. 设B?A,则下面正确的等式是 。
(A)P(AB)?1?P(A); (B)P(B?A)?P(B)?P(A); (C)P(B|A)?P(B); (D)P(A|B)?P(A) 详解:选B ?A?B,?A?B,?P(B?A)?P(B)?P(A) 3. 下列事件运算关系正确的是( ).
A. B?BA?BA B. B?BA?BA C. B?BA?BA D. B?1?B 详解:选A
4. 设A,B是两事件,则下列等式中( )是不正确的.
A. P(AB)?P(A)P(B),其中A,B相互独立 B. P(AB)?P(B)P(AB),其中P(B)?0 C. P(AB)?P(A)P(B),其中A,B互不相容 D. P(AB)?P(A)P(BA),其中P(A)?0 详解:选C
5.若事件A,B的概率为P(A)?0.6,P(B)?0.5,则A与B一定( A. 相互对立 B. 相互独立 C. 互不相容 D.相容 详解:选D
6、投篮三次,设Ai表示第i次投中的事件,则至少有一次投中可表示为( ) (A)A1A2A3 (B) A1A2A3 (C) A1?A2?A3 (D) A1?A2?A3 详解:选C
7、设事件A发生的概率为p(0
8、甲乙两位射手同时独立地向同一目标射击,甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.4则目标被击中的概率为( ) A、0.76 B、0.7 C、 0.6 D、0.42 详解:选A
9.设一射手每次命中目标的概率为p, 现对同一目标进行若干次独立射击直到命中目标5次为止, 则射手共射击了10次的概率为
55444544(A) C10p(1?p)5 (B) C9p(1?p)5 (D) C9p(1?p)5 (C) C10p(1?p)5
).
详解:选B (类同于第一小题)
11110. 人独立地破译一个密码,若他们能译出的概率分别为,,,密码能被译出
345的概率为
2233(A) ; (B) ; (C) ; (D)
5354详解:选C
12.设事件A,B相互独立,P(A)?0.6,P(A?B)?0.3,则P(A?B)? (A)
71317; (B) ; (C) ; (D) 1021621详解:选A
13.房间里有10个人,分别佩戴着从1到10号的纪念章,任意选3人记录其纪念章的号码,则最小号码为5的概率为
717111(A) ; (B) ; (C) ; (D)
10121621详解:选C
14.5双相同的鞋放在一起,从中任取4只,则这4只鞋正好可以拼成2双的概率为
7171011(A) 11; (B) 21; (C) 21; (D) 21
4详解:选C,总的取法C10,分成两组左和右组,从左组中任取两只的有C52种取法,从右组中任取两只有C52种取法,正好拼成两双共有C52C52种, 15.设一次试验成功的概率是p(0?p?1),则三次重复独立试验中至少失败一次的概率是 333223(1?p)1?p(1?p)?p(1?p)?p(1?p) (1?p)(A) (B) (C) (D)
详解:选B
16.投篮三次,设Ai表示第i次投中的事件,则3次都没投中可表示为 (A)A1A2A3 (B) A1A2A3 (C) A1?A2?A3 (D) A1?A2?A3 详解:选B
17.设A,B为两事件,则下列一定正确的是: ( ) (A)AB与A是对立事件 (B) AB与A互不相容 (C) AB与AB是对立事件 (D) A+B与A+B对立 详解:(A)AB与AB?AB是对立事件
(B) AB?A=?,所以互不相容
(C) AB与AB?A?B?A?BAB是对立事件
(D) A?B?A?B与A?B?A?B?AB是对立事件,不与A+B?A?B对立
故选B
18. 设A,B为两事件, P(A)?P(B)?0,且A?B则有: ( ) (A)P(A|B)?1; (B) P(B|A)?1; (C) P(B|A)?1; (D) P(A|B)?1 详解:P(A)?P(B)?0,且A?B 的含义是,A,B不是同一个事件,如果B发生,是A一定发生,即在B已经发生的条件下,A一定发生,故选A
四. 计算题
1. 甲,乙,丙三人同时独立地对飞机射击,三人击中目标的概率分别为0.4,0.5,0.6,飞机被一人击中而被击落的概率是0.2,被二人击中而被击落的概率是0.6,若三人都击中,飞机必定被击落。求飞机被击落的概率。.
详解:任Ai,i?1,2,3,分别表示恰好只有一人,两人,三人击中的事件,用A表示甲击中,B表示乙击中,C表示丙击中。H表示飞机被击落事件
A1?ABC?AB?CA,BCP(AB?)C(PAB)CP(A)?1)?P(ABC ?P(A)P(B)P(C?)P(A)P(B)P?(C)P(A)P( B)P(C)?0.4?0.?50?.30?.6?0.5?0.3?0.?60.50.7?0.06?0.0?90?.210.36A2?ABC?ABC?ABC,P(A2)?P(ABC)?P(ABC)?P(ABC)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C)?P(A)P(B)P(C) ?0.4?0.5?0.3?0.?4?0.5?0.7?0.6?0.5?0.7?0.06?0.14?0.21?0.41P(A3)?P(A)P(B)P(C)?0.4?0.5?0.7?0.14
P(H)?P(H|A1)P(A1)?P(H|A2)P(A2)?P(H|A3)P(A3)?0.2?0.36?0.6?0.41?1?0.14?0.072?0.246?0.14?0.458
2. 某厂卡车运送防“非典”用品下乡,顶层装10个纸箱,其中5箱民用口罩、2箱医用口罩、3箱消毒棉花. 到目的地时发现丢失1箱,不知丢失哪一箱. 现从
剩下9箱中任意打开2箱,结果都是民用口罩,求丢失的一箱也是民用口罩的概率.
详解:任取2箱都是民用口罩,
Bk 丢失的一箱为k k?1,2,3分别表示民用口罩,消毒棉花,医用口罩.
P(A)??P(Bk)P(Ak?135C423C522C528Bk)??2??2??2?10C910C910C936B) 1)
P(B1A)?P(B1A)/P(A) ( ?P(BA1)=P(B)P1(A?P(B1)P(A1C42383B1)/P(A)??2/P(A)???.2C936368
3. 设每 100 个男人中有 5 个色盲,而每 10000 个女人中有 25个色盲。今从人群中任选一人,发现其是色盲,求此人是女性的概率(假定人群中男女比例相同)。 详解:设 A 表示“此人是女性”, B 表示“此人是色盲”。
1P?A??PA?,P?BA??0.0025,PBA?0.05,2P?A?P?BA?则由贝叶斯公式P?AB??P?A?P?BA??PAPBA????????
?0.5?0.0025?0.04760.5?0.0025?0.5?0.05
4、10只产品中有2只是次品,从中随机地抽取3只,以X表示取出次品的只数,求X的分布律。 详解:X可取0、1、2
122137C8C2C87C2C1 P?X?0??3?, P?X?1??3?, P?X?2??38?C1015C1015C10155. 进行重复独立试验。设每次试验成功的概率为p(0?p?1)
(1) 将试验进行到出现一次成功实验为止,以X表示所需试验的次数,此时
称X服从参数为p的几何分布。求X的分布律。
(2) 将试验进行到出现r次成功为止,以Y表示所需试验的次数,此时称Y服
从参数为r、p的巴斯卡分布。求Y的分布律。
详解:(1)P?X?k??p(1?p)k?1,k?1,2,......(k-1次未成功,最后一次成功)
?1rk?r (2)P?X?k??Ckr?,k?r,r?1,......(类同于选择题第1小题) 1p(1?p)6. 9个新同学中有3个是女生,将这9个人平均分到3个班去,求每个班正好分到1个女生的概率。 详解: 设每个班分到1个女生为事件A,则
32 n?C9C6?1680
2121nA?C6C3C4C2?540
所以
9 287.设有5个袋子,其中两个袋子每袋装有2个白球3个黑球,另外两个袋子每袋装有1个白球4个黑球,还有1个袋子装有4个白球1个黑球,从5个袋子中任取1袋,并从这袋中任取1球,求此球为白球的概率。
P(A)?详解: 设A = 抽到第一类袋子, B = 抽到第二类袋子, C = 抽到第三类袋子,
D = 抽到白球,则
P(D)?P(A)P(D/A)?P(B)P(D/B)?P(C)P(D/C) 2?5五.证明题:
1.若事件A与B独立,试证明事件A与B独立 证明:
P(AB)?P(B?AB)?P(B)?P(AB)?P(B)?P(A)P(B)?P(B)(1?P(A))?P(A)P(B) 所以独立。
第二章 解答_随机变量及其分布
一. 判断题
1.连续型随机变量的密度函数f(x)与其分布函数F(x)相互唯一确定. 详解:非. 改变密度函数f(x)在个别点上的函数值,不会改变分布函数F(x)的取值
2.F(x)是正态随机变量的分布函数,则F(?x)?1?F(x).
详解:是 只有当正态分布的期望为零时才有F(?x)?1?F(x),一般情况
F(?x)?1?F(x)
二. 填空题
3.设f(x)是连续型随机变量X的密度函数,则对任意a?b都有P(a?X?b)= ba .
详解:?f(x)dx
2.设随机变量X的概率分布为 xk
pk
则a = . 详解: a等于0.3
三. 选择题
0 a 1 0.2 2 0.5 1. 离散随机变量X的分布函数为F(x),且xk?1?xk?xk?1,则
P(X?xk)? .
(A)P(xk?1?X?xk); (B)F(xk?1)?F(xk?1); (C)P(xk?1?X?xk?1); (D)F(xk)?F(xk?1)
详解:选D
F(xk)??P(X?xi),F(xk?1)??P(X?xi)i?1i?1kk?1
?P(X?xk)?F(xk)?F(xk?1)2. 离散型随机变量X的概率分布为P(X?k)?A?k(k?1,2,?)的充要条件是 。
(A)??(1?A)?1且A?0; (B)A?1??且0???1; (C)A???1?1且??1; (D)A?0且0???1.
详解:选A 因为
?P(X?k)?Ak?1??1???1,0???1
即??(1?A)?1,A?03. 设连续随机变量X的密度函数满足f(x)?f(?x),F(x)是X的分布函数,则P(X?2004)? .
?1; (A)2?F(2004); (B)2F(200)4(C)1?2F(2004); (D)2[1?F(2004)].
详解:选D,
4. 设连续随机变量X的密度函数满足f(x)?f(?x),F(x)是X的分布函数,则P(X?2004)? .
?1; (A)2?F(2004); (B)2F(200)4(C)1?2F(2004); (D)2[1?F(2004)].
详解:选B
5、设随机变量X的密度函数为p(x),分布函数为F(x),且p(?x)?p(x),则对任意实数a,有F(?a)?( ) (A) 1?F(a) (B)
1?F(a) 2(C) 2F(a)?1 (D) F(a) 详解:选A
6.设X为连续型随机变量,则P(X?2006)?
(A) 0; (B) 详解:选A
X 1 2 3 P a 7a a?a
2231710; (C) ; (D) 1013217.设X的分布律为 则a?
111(A) 1 (B) (C) (D)
234详解:选D
8.已知随机变量只能取?1,0,1,2四个数,相应概率依次为则c=
(A) 1; (B) 详解:选C
9.设随机变量X ?P(?),且P?X?1??P?X?2?,则D(X)?
(A) 4; (B) 3; (C) 2; (D) 1 详解:选C
10.设随机变量X?N(2,4),且?(1)?0.8413, 则P?0?X?2??
(A) 0.5413; (B) 0.7413; (C) 0.3413; (D) 0.1587 详解:选C
11.设X为连续型随机变量,则P(X?3)?
(A)
31710; (B) 0; (C) ; (D) 1013211357,,,,2c4c8c16c13371; (C) ; (D)
32116详解:选B
12.函数p(x)?sinx在以下哪个区间可以为随机变量X的密度函数
?3?(A) [0,?]; (B) [0,]; (C) [0,]; (D)[??,?]
22详解:选B
13.设随机变量X?N(8,0.52),则P?X?8??
(A) 0.975; (B) 0.75; (C)1; (D) 0.5 详解:选D
14.设X~P(?),且P{X?4}?P{X?5},则方差D(X)? (A) 5 (B) 4; (C) n; (D) 3
详解:选A
15. 设随机变量X的密度函数为p(x),分布函数为F(x),且p(?x)?p(x),则对任意实数a,有F(?a)?( ) (A) 1?F(a) (B) 详解:选A
16、投掷四枚均匀的硬币,则正面朝上的数学期望为:( )
32 A、2 B、 C、 1 D、
23详解:选A
17.设X为连续型随机变量,则P(X?2006)?
(A) 0; (B) 详解:选A
18.设函数y?f(x)是一连续型随机变量X的概率密度,则有:( )
(A) y?f(x)的定义域为[0,1]; (B) y?f(x)的值域为[0,1]; (C) y?f(x)非负; (D) y?f(x)在(??,?)连续 详解:选C,F(x)的值域是[0,1,而不是其概率密度值域是[0,1,F(x)非负,f(x)
在任一子区间上的积分都为非负,所以f(x)必非负。
四. 计算题
1.设随机变量X~N(3,22),求概率P(X?1?1) . (?(0.5)?0.6915,
?(1.0)?0.8413, ?(1.5)?0.9332).
31710; (C) ; (D) 1013211?F(a) (C) 2F(a)?1 (D) F(a) 2详解:P(X?1?1)?P(?1?X?1?1)?P(?3?X?3??1)
P(X?1?1)?P(?1?X?1?1)?P(?3?X?3??1)3X?3113 ?P(????)??(?)??(?)?222221??3?31?1??()?1??()??()??()?0.9332?0.6915?0.2417????2??2?22?
??2?x,2. 设随机变量 X 的分布密度为f?x?????0,x?ax?a,求a
?????f?x?dx???a?a?2?x?dx?2??a0?2?x?dx
详解:?4a?a2?1?a?2?3由f(x)的非负性,所以a?2-33、下列表中列出的是否是某随机变量的分布律?
X 1 2 3 X -1 0 1 Pk 0.4 0.5 0.1 Pk 0.2 0.3 0.4 详解:(1)是 (2)不是,因概率之和不为1 4. (1)设随机变量X的分布律为P?X?k?? 试确定常数a
a,k?1,2.....,N Nk?2? (2)设随机变量X的分布律为P?X?k??b???,k?1,2.....
?3? 试确定常数b 详解:(1)?P?X?k???k?1Na?a?1, ?a?1 k?1NkN2b1?2?(2)?P?X?k???b????3?2b?1, ?b?
2?3?1?2k?1k?13k5、设随机变量X的分布律为P?X?k??,k?1,2,3,4,5
15?? 其分布函数为F(x),试求:
5??1?1?1?X?2?, (3)F?? (1)P??X??, (2)P?2??2?5?1215??1?? 详解:(1)P??X???P?X?1??P?X?2??151552??2 (2)P?1?X?2??P?X?1??P?X?2??1??1?? (3)F???P?X???0
5???5?121?? 151556、一大楼装有5个同类型的供水设备。调查表明在任一时刻t每个设备被使用的概率为0.1,求在同一时刻
(1) 恰有两个设备被使用的概率; (2) 至少有1个设备被使用的概率; (3) 至多有3个设备被使用的概率。 详解:设X表示设备被使用的个数
则X~b(5,0.1)
2 (1)P?X?2??C5?0.1??0.9??0.0729
23 (2)p?x?1??1?P?X?0??1?0.95?0.4095
4 (3)p?x?3??1?P?X?4??P?X?5??1?C5?0.1??0.9??C55?0.1??0.99954
4157. 连续型随机变量X的分布函数为
?0?F(x)??Ax2?1?x?00?x?1x?1求 (1)常数A (2)概率密度函数
(3)P?X?1/2? ;P?X?3/2?;P?0?X?2?。 解法一:由于连续型随机变量X的分布函数是连续的
?0??1?F(1)?limF(x)?limAx2?Af(x)?F'(X)??2xx???1x???1?0?1/2x?00?x?1x?1P{X?1/2}?P?X?3/2??????f(x)dx??2xdx?1/4或P?X?1/2??F?1/2??1/4
0?3/21/23/2?f(x)dx??0dx?0 或
P?X?3/2??1?P?X?3/2??1?F(3/2)?1?1?0
212P?0?X?2???f(x)dx??2xdx??0dx?1或
001P?0?X?2??F(2)?F(0)?1?0?1
?0x?0解法二:f(x)?F'(X)???2Ax0?x?1
??0x?1由1????f(x)dx??1??02Axdx?A?A?1其它同解法一
?x0?x?18、已知随机变量X的概率密度为: f(x)???2?x1?x?2
??0其它求 (1)分布函数F(X)
(2) P?X?0.5?,P?X?1.3?,P?0.2?X?1.2? 解: (1) F(x)?P{X?x}??x??f(x)dx
??0x?0xxdxx20?x?1?????0?21??xdx??x1(2?x)dx?2x?x2/2?11?x?2?012x???0xdx??1(1?x)dx??20dx?1x?22)解法一P?X?0.5??F(0.5)?1/8
P?X?1.3??1?F(1.3)?1???1.3?1.32??2??2?1??=0。245
? P?0.2?X?1.2??F(1.2)?F(0.2)?0.66
:分别求积分
P(X?1.3)????0.51.21.3f(x)dx,P{X?0.5}????f(x)dx,P{0.2?X?1.2}??0.2f(x)dx,9、设X~N(3,22),求
(1).P{2
其中??3.5??0.9998,??1??0.8413,??0.5??0.6915,??2.5??0.99379
(
?5?3??2?3??1?解:(1)P?2?X?5????????????1??????
?2??2??2? ?0.8413?1?0.6915?0.5328
?10?3???4?3? P??4?X?10?????????
22???????3.5?????3.5??2??3.5??1?0.9996
P?X?2??P?X??2???X?2??P?X??2??P?X?2?
??2?3??2?3? ?????1????
22???? ????2.5??1????0.5?=0.6977
?3?3? P?X?3??1?P?X?3??1?????1?0.5?0.5
?2?(2) ?P?X?c??P?X?c? ?1?P?X?c??P?X?c?
?1?2P?X?c? ?1?P?X?c? 2c?3?c?3?1?0?c?3 即???? ?2?2?210、设随机变量X分布规律为 X Pk ?1 0.3 0 0.4 1 0.3 求Y?2X2?1的分布律。 解:
X —1 0 1 Y 3 1 3 P 0.3 0.4 0.3 所以Y的分布律为 Y 1 3 P 0.4 0.6 11、设随机变量X的分布规律为 ?2 ?1 X 0 1 Pk 1/5 1/6 1/3 1/15 求Y=2X2的分布律。 解:Y的分布律为
3 11/30
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