专题07 选讲内容(综合篇)-2014年高考数学备考中等生百日捷进提升系列(解析版)
更新时间:2023-11-09 20:42:01 阅读量: 教育文库 文档下载
几何证明选讲
【背一背重点知识】
1、比例线段有关定理
(1)平行线等分线段定理:如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等。
推理1:经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。 推理2:经过梯形一腰的中点,且与底边平行的直线平分另一腰。
(2)平分线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例。
推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例。
2、相似三角形的判定及性质 (1)相似三角形的判定:
定义:对应角相等,对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值叫做相似比(或相似系数)。
判定定理1:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三角形相似。简述为:两角对应相等,两三角形相似。
判定定理2:对于任意两个三角形,如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等,那么这两个三角形相似。简述为:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似。
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判定定理3:对于任意两个三角形,如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个三角形相似。简述为:三边对应成比例,两三角形相似。
(2)相似三角形的性质:
性质1:相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比; 性质:2:相似三角形周长的比等于相似比; 性质3:相似三角形面积的比等于相似比的平方。
注:相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比,外接圆的面积比等于相似比的平方。
3、直角三角形的射影定理
射影定理:直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项;两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项。 4、圆周角定理
圆周角定理:圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理:圆心角的度数等于它所对弧的度数。
推论1:同弧或等弧所对的圆周角相等;同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧相等。
推论2:半圆(或直径)所对的圆周角是直角;90°的圆周角所对的弦是直径。 5、圆内接四边形的性质与判定定理 定理1:圆的内接四边形的对角互补。
定理2:圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。
圆内接四边形判定定理:如果一个四边形的对角互补,那么这个四边形的四个顶点共圆。
推论:如果四边形的一个外角等于它的内角的对角,那么这个四边形的四个顶点共圆。
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6、圆的切线的性质及判定定理
切线的性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论1:经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论2:经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。
切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 7、弦切角的性质
弦切角定理:弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。 8、与圆有关的比例线段(圆幂定理)
相交弦定理:圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理:从园外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。
切割线定理:从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项。
切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 【讲一讲提高技能】
1、相似三角形的判定与性质的应用
(1)判定两个三角形相似的方法:两角对应相等,两三角形相似;两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;三边对应成比例,两三角形相似;相似三角形的定义.
(2)证明线段成比例,若已知条件中没有平行线,但有三角形相似的条件(如角相等,有相等的比例式等),常考虑相似三角形的性质构造比例式或利用中间比求解.
(3)相似三角形的性质应用可用来考查与相似三角形相关的元素,如两个三角形的高、周长、角平分线、中线、面积、外接圆的直径、内切圆的面积等. 例1【2012.辽宁卷】如图,⊙O和⊙O′相交于A,B两点,过A作两圆的切线分
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