第九章方差分析实习指导（定）

第九章

[教学要求]

了解：方差齐性检验和变量变换。

方差分析

熟悉：方差分析的前提条件；多个样本均数的两两比较。

掌握：方差分析的基本思想；各种设计方案(完全随机设计、随机区组设计、析因设计、重复测量设计等)变异和自由度的分解方法。

[重点难点]

第一节 完全随机设计资料的方差分析

一、方差分析的基本思想

方差分析的基本思想就是把全部观察值间的变异 —— 总变异按设计和需要分解成两个或多个组成部分，总自由度也分解成相应的几个部分，再作分析。分解的每一部分代表不同的含义，其中至少有一部分代表各均数间的变异情况，另一部分代表误差。

全部试验数据大小不同，这种变异称为总变异，该变异既包括了随机误差(含个体差异和测量误差)，也包括了处理效应的作用。各处理组样本均数各不相同，与总均数也不相同，这种变异称为组间变异(variation between groups)，它反映了处理的影响，同时也包括了随机误差(含个体差异和测量误差)。各处理组内部观察值大小不同，这种变异称为组内变异(variation within groups)，组内变异仅反映随机误差(含个体差异和测量误差)。一般地，

S? SS总?S组间SS ?总??组间??组内组内 (9-1)

二、完全随机设计资料方差分析的基本步骤

完全随机设计资料的方差分析用于成组设计多个样本均数的比较，属单向(因素)方差分析(one-way ANOVA)，它将数据按一个方向(即同一处理的不同水平或不同处理)进行分组整理。

方差分析的基本步骤同其它假设检验，也分为三步。 (1) 建立检验假设，确定检验水准 H0：多个总体均数全相等；

1

H1：多个总体均数不全相等，即至少有两个总体均数不等。 α=0.05

(2) 计算检验统计量

表9-1 完全随机设计方差分析的计算公式

变异来源 组间(处理组间)

iSS df k–1 N–k

N–1

MS

SS组间 k?1F

?n(Xii?X)2

MS组间 MS组内

组内(误差)

?(ni?1)Si2

iSS组内N?k

总

?X2?(?X)2NSS总 N?1

(3) 确定P值，作出推断结论

以求F值时分子的自由度ν1=ν组间、分母的自由度ν2=ν组内查F界值表得P值，P和α比较得出推断结论。

第二节

随机区组设计资料的方差分析

一、离均差平方和与自由度的分解

随机区组设计资料的变异除了总变异、处理的变异和随机误差外，还存在区组的变异。区组变异是指每一区组的样本均数各不相同，与总均数也不相同。它既反映了区组因素不同的影响，也包括了随机误差(含个体差异和测量误差)。即

S?区组SS? SS总?S处理误差SS? (9-2) ?总??处理??区组?误差二、随机区组设计资料方差分析的基本步骤

(1)建立检验假设，确定检验水准 对于处理组，

H0：多个总体均数全相等，即各处理效果相同 H1：多个总体均数不全相等，即各处理效果不全相同 对于区组，

H0：多个总体均数全相等 H1：多个总体均数不全相等 均取α=0.05

2

(2)计算检验统计量

表9-2 随机区组设计方差分析的计算公式

变异来源 处理组

iSS df k–1

MS F

?n(Xii?X)2

SS处理 k?1SS区组 b?1SS组内N?k?b?1

MS处理

MS误差MS区组

MS误差

区组

?n(Xjjj?X)2

b–1

误差

SS总?SS处理?SS区组

N–k–b+1或 (k–1)(b–1)

总

?X2?(?X)2N

N–1

SS总 N?1

(3)确定P值，作出推断结论

分别以求F值时分子的自由度ν处理和ν区组、分母的自由度ν误差查F界值表得处理效应的P值和区组效应的P值，P和α比较得出推断结论。

第三节 析因设计资料的方差分析

一、单独效应、主效应和交互效应

单独效应是指其它因素水平固定时，同一因素不同水平的差别。主效应是指某一因素各水平间的平均差别。当某因素的各单独效应随另一因素变化而变化时，则称这两个因素间存在交互效应。若存在交互效应，需逐一分析各因素的单独效应。反之，若不存在交互效应，则分析某一因素的作用只需考察该因素的主效应。 二、离均差平方和与自由度的分解

析因设计是将两个或多个实验因素的各水平进行排列组合、交叉分组进行实验，因此其方差分析的总变异可以分为处理和误差两部分。2×2析因设计的处理变异包含了A因素、B因素的主效应以及A、B两因素间的一阶交互效应；同样，自由度也可作相应的分解。即

SS总?SS处理?SS误差?(SSA?SSB?SSAB)?SSE?总??处理??误差?(?A??B??AB)??E三、析因设计资料方差分析的基本步骤

(1)建立检验假设，确定检验水准

3

(9-3)

对于因素A

H0：因素A的作用无效 H1：因素A的作用有效 对于因素B

H0：因素B的作用无效 H1：因素B的作用有效 对于交互作用AB

H0：因素A和因素B无交互效应 H1：因素A和因素B有交互效应 均取α=0.05

(2)计算检验统计量

表9-3 两因素a?b析因设计方差分析的计算公式

变异来源 处理

ijijSS df

2 ?X)ijMS

F

??n(XA

ab–1

?n(Xiii?X)2

a–1

SSA a?1SSB b?1SSAB

(a?1)(b?1)SS误差

ab(n?1)MSA

MS误差MSB

MS误差MSAB

MS误差

B

?n(Xjjj?X)2

b–1

AB

SS处理?SSA?SSB

(a–1)(b–1)

误差

SSE?SS总?SS处理

N–ab或 ab(n–1) N–1或 abn–1

总

?X2?(?X)2N

SS总

abn?1

(3)确定P值，作出推断结论

以求F值时分子自由度ν1、分母自由度ν2查F界值表得相应P值。首先看A因素和B因素交互效应AB的P值。若存在交互效应，须逐一分析各因素的单独效应，即固定某一因素水平，分析另一因素的单独效应。若不存在交互效应，则分析某一因素的作用只需考察该因素的主效应。

第四节 重复测量资料的方差分析

4

重复测量资料是同一受试对象的同一观察指标在不同时间点上进行多次测量所得的资料。重复测量资料和随机区组设计资料的区别主要有二：

(1)重复测量资料中同一受试对象(看成区组)的数据高度相关。

(2)重复测量资料中的处理因素在受试对象间为随机分配，但受试对象内各时间点却不能随机分配；随机区组设计资料中每个区组内的受试对象彼此独立，处理只在区组内随机分配，同一区组内的受试对象接受的处理各不相同。 一、离均差平方和与自由度的分解

两因素重复测量资料的总变异包括两部分，一部分为横向分组的受试对象间的变异，另一部分为纵向分组的受试对象内的变异。即

SS总?SS受试对象间?SS受试对象内?(SS处理?SS个体间误差)?(SS时间?SS处理与时间交互?SS个体内误差)?总??受试对象间??受试对象内?(?处理??个体间)?(?时间??处理与时间交互??个体内)二、重复测量资料方差分析的基本步骤

(1)建立检验假设，确定检验水准 对于处理因素K

H0：处理因素K不同水平效应相同 H1：处理因素K不同水平效应不同 对于时间因素I

H0：时间因素I不同水平效应相同 H1：时间因素I不同水平效应不同 对于交互作用KI

H0：处理因素K和时间I无交互效应 H1：处理因素K和时间I有交互效应 均取α=0.05

(2)计算检验统计量

(9-4)

重复测量资料的方差分析计算较为复杂，一般采用统计软件包SAS或SPSS等完成。

(3)确定P值，作出推断结论

以求F值时分子自由度ν1、分母自由度ν2查F界值表得相应P值，或直接由

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