2017-2018学年上海市交大附中高二（下）期末数学试卷

2017-2018学年上海市交大附中高二（下）期末数学试卷

一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上） 1．（4分）函数f（x）=

+

的定义域为 ．

2．（4分）表面积为π的球的体积为 ． 3．（4分）

的二项展开式中，x项的系数是 ．（用数字作答）

4．（4分）高一（10）班有男生36人，女生12人，若用分层抽样的方法从该班的全体同学中抽取一个容量为8的样本，则抽取男生的人数为 人． 5．（4分）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 种．（用数字作答）

6．（4分）若交大附中共有400名教职工，那么其中至少有两人生日在同一天的概率为 ． 7．（5分）设函数的取值范围为 ．

8．（5分）在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=4，AA1=2，则直线BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为 ．

9．（5分）一个正方体的8个顶点可以组成 个非等边三角形．

10．（5分）将集合M={1，2，…，12}的元素分成互不相交的三个子集：M=A∪B∪C，其中A={a1，a2，a3，a4}，B={b1，b2，b3，b4}，C={c1，c2，c3，c4}，且ak+bk=ck，k=1，2，3，4，则满足条件的集合C有 个．

11．（5分）设非空集合A为实数集的子集，若A满足下列两个条件： （1）0∈A，1∈A；

（2）对任意x，y∈A，都有x+y∈A，x﹣y∈A，xy∈A，则称A为一个数域，那么命题：

①有理数集Q是一个数域；②若A为一个数域，则Q?A；③若A，B都是数域，那么A∩B也是一个数域；④若A，B都是数域，那么A∪B也是一个数域． 其中真命题的序号为 ．

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，则使得f（x）＞f（2x﹣1）成立的x

12．（5分）已知函数f（x）=﹣2x2+bx+c在x=1时有最大值1，0＜m＜n，并且x∈[m，n]时，f（x）的取值范围为

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13．（5分）设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45°的纬度线上去，且其经度差为90°，则A，B两地的球面距离是（ ） A．πR B．

C．

D．

，则m+n= ．

14．（5分）对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件： ①存在平面γ，使得α，β都平行于γ ②存在平面γ，使得α，β都垂直于γ； ③α内有不共线的三点到β的距离相等；

④存在异面直线l，m，使得l∥α，l∥β，m∥α，m∥β． 其中，可以判定α与β平行的条件有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

15．（5分）一个正方体的展开图如图所示，B，C，D为原正方体的顶点，A为原正方体一条棱的中点．在原来的正方体中，CD与AB所成角的余弦值为（ ）

A． B． C． D．

16．（5分）已知函数y=f（x）的图象是一条连续不断的曲线，若f（0）=A，f（1）=B，那么下列四个命题中 ①必存在x∈[0，1]，使得②必存在x∈[0，1]，使得③必存在x∈[0，1]，使得

； ；

；

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④必存在x∈[0，1]，使得．

真命题的个数是（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

三、解答题（本大题共5小题，共76分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

17．（14分）某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外，每生产1件这种产品还需要增加投入25元，经测算，市场对该产品的年需求量为500件，且当出售的这种产品的数量为（单位：t百件）时，销售所得的收入约为（万元）．

（1）若该公司这种产品的年产量为x（单位：百件）．试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润y表示为年产量x的函数；

（2）当该公司的年产量x多大时，当年所得利润y最大？ 18．（14分）解关于x的不等式ax2+ax﹣1＞x．（a∈R） 19．（16分）如图，二面角D﹣AB﹣E的大小为

，四边形ABCD是边长为2的

正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥BE；

（2）求二面角B﹣AC﹣E的大小； （3）求点D到平面ACE的距离．

20．（16分）设全体空间向量组成的集合为V，

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为V中的一个

单位向量，建立一个“自变量”为向量，“应变量”也是向量的“向量函数”

．

（1）设

，

，若

，求向量；

；

的最大值．

（2）对于V中的任意两个向量，，证明：（3）对于V中的任意单位向量，求

21．（16分）对于函数y=f（x），若关系式t=f（x+t）中变量t是变量x的函数，则称函数y=f（x）为可变换函数．例如：对于函数f（x）=2x，若t=2（x+t），则t=﹣2x，所以变量t是变量x的函数，所以f（x）=2x是可变换函数． （1）求证：反比例函数

不是可变换函数；

（2）试判断函数y=﹣x3是否是可变换函数并说明理由；

（3）若函数h（x）=logbx为可变换函数，求实数b的取值范围．

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2017-2018学年上海市交大附中高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、填空题（本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，满分54分，将答案填在答题纸上） 1．（4分）函数f（x）=

+

的定义域为 [﹣1，2）U（2，+∞） ．

【分析】根据负数不能开偶次方根和分母不能为零来求解，两者求解的结果取交集．

【解答】解：根据题意：解得：x≥﹣1且x≠2

∴定义域是：[﹣1，2）∪（2，+∞） 故答案为：[﹣1，2）∪（2，+∞）

【点评】本题主要考查定义域的求法，这里主要考查了分式函数和根式函数两类．

2．（4分）表面积为π的球的体积为 ．

【分析】先根据球的表面积，就可以利用公式得到半径，再求解该球的体积即可． 【解答】解：由 S=4πR2=π得 R=， 所以V=

=

． ．

则该球的体积为 故答案为：

．

【点评】本题考查球的体积和表面积，主要考查学生对公式的利用，是基础题．

3．（4分）

的二项展开式中，x项的系数是 ﹣448 ．（用数字作答）

【分析】写出二项展开式的通项，由x的指数为1求得r值，则答案可求． 【解答】解：

的二项展开式的通项为

．

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则有f（m）=，f（n）=，

即有m、n是方程﹣2x2+4x﹣1=的两个根， ﹣2x2+4x﹣1=?（x﹣1）（2x2﹣2x﹣1）=0， 其根为1、又有1≤m＜n， 则m=1，n=则m+n=故答案为：

；

． ， 、

，

【点评】本题考查二次函数的性质以及应用，关键是求出m、n的值，属于基础题．

二、选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

13．（5分）设地球的半径为R，地球上A，B两地都在北纬45°的纬度线上去，且其经度差为90°，则A，B两地的球面距离是（ ） A．πR B．

C．

D．

【分析】设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O，连结OA、OB、OC、AC、BC．根据地球纬度的定义，算出小圆半径AC=BC=90°，在Rt△ABC中算出AB=

．由A、B两地经度差为

，利用球面距离

=R，从而得到∠AOB=

的公式加以计算，即可得到A、B两地的球面距离． 【解答】解：设在北纬45°的纬圆的圆心为C，球心为O， 连结OA、OB、OC、AC、BC，则OC⊥平面ABC Rt△ACO中，AC=OAcos45°=∵A、B两地经度差为90°， ∴∠ACB=90°，Rt△ABC中，AB=

=R

，同理BC=

，

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