2019年济南大学数学科学学院881高等代数考研冲刺狂背五套题

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2019年济南大学数学科学学院881高等代数考研冲刺狂背五套题（一） (2)

2019年济南大学数学科学学院881高等代数考研冲刺狂背五套题（二） (12)

2019年济南大学数学科学学院881高等代数考研冲刺狂背五套题（三） (26)

2019年济南大学数学科学学院881高等代数考研冲刺狂背五套题（四） (34)

2019年济南大学数学科学学院881高等代数考研冲刺狂背五套题（五） (43)

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第 2 页，共 50 页 2019年济南大学数学科学学院881高等代数考研冲刺狂背五套题（一）

特别说明：

1-本资料为2019考研学员最后冲刺阶段使用，精选历年经典试题，临门一脚，背诵专用。

2-资料仅供考研复习参考，与目标学校及研究生院官方无关，如有侵权、请联系我们立即处理。

一、选择题

1． 设向量组

线性无关，则下列向量组中，线性无关的是（ ）. A.

B.

C.

D.

【答案】C

【解析】方法1:令

则有

由线性无关知，

该方程组只有零解从而线性无关. 方法2:对向量组C ，由于线性无关，且

因为所以向量组线性无关.

2． 设A 为3阶矩阵，将A 的第2行加到第1行得8，再将B 的第1列的1倍加到第2列得C ,

记

则（ ）. A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】由已知，有

于是

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3． 设是3维向量空间的一组基, 则由基到基的过渡矩阵为（ ）. A.

B. C. D.

【答案】A

4． 在n 维向量空间取出两个向量组,它们的秩（ ）.

A.必相等

B.可能相等亦可能不相等

C.不相等

【答案】B

【解析】比如在中选三个向量组

若选

，从而否定A ,若选,，从而否定C ,故选B.

5． 设

则A 与B （ ）.

A.合同且相似

B.合同但不相似

C.不合同但相似

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第 4 页，共 50 页 D.既不合冋，也不相似

【答案】B

【解析】A 、B 都是实对称矩阵，易知

所以A 的特征值为3, 3, 0;而B

的特征值为1，1，0,所以A 与B 合同，但不相似.

二、分析计算题

6． 计算下面的行列式：

【答案】

原行列式

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7． 设

是P 上n 维线性空间V 的一个线性变换.

（1）证明:对V 上的线性函数f ,仍是V 上线性函数；

（2）定义到自身的映射为

证明

是

上的线性变换

（3）设是V 的一组基,是它的对偶基,并设在

下

的矩阵为A.证明:

在

下的矩阵为（因此

称作

的转置映射）

【答案】（1）

有

故是V 上线性函数.

（2）由定义

对

有

故

又

故

以上证明了是

上的线性变换.

（3）由

于是

即有

这就证明了在基下的矩阵是

8． 设是5维欧氏空间V 的一个标准正交基,求子空间

的一个标准正

交基,其中:

【答案】先证

线性无关:设若

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则得故从而线性无关.

再对

正交化,得

再单位化,即得w 的一标准正交基:

9． 设

为正定矩阵，其中A ，B 分别为m 阶对称阵和n 阶对称阵，C 为

矩阵.

（1）计算

，其中

（2）利用（1）的结果判断矩阵是否为正定矩阵，并证明你的结论. 【答案】 （1）由

，有

（2）矩阵

是正定矩阵.由（1）的结果可知，矩阵D 合同于矩阵

又因为D 为正定矩阵，所以矩阵M 为正定矩阵.再由矩阵M 为对称矩阵，知 也是对

称矩阵.

对

及任意的

有

即证故为正定矩阵-

10．设向量组的秩为，则该组中任意r 个向量线性无关的充要条件是：对于任

意个向量

若

则

或全为零，或全不

为零.

【答案】设

若全不为零，结论已真.否则，必有一个数为零， 不妨设

代入式

中任意r 个向量线性无关，故

全为零

.

在中任取r 个向量，不妨记为

令

将其改写为

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