经济问题中概率统计模型及作用

经济问题中概率统计模型及作用

摘要：随着社会的不断发展，概率统计的知识越来越重要，我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性，概率统计是研究随机现象统计规律的一门数学学科，是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具，是对随机现象的统计规律进行演绎和归纳的科学。应用概率统计中的模型可以为经济预测和决策提供了新的手段，有助于提高管理水平和经济效益。

本文将就概率论与数理统计的方法与思想，应用主成分分析模型,即以少数的综合变量取代原有的多维变量,使数据结构简化,把原指标综合成几个主成分,再以这几个主成分的贡献率为权数进行加权平均,构造出一个综合评价函数，然后根据综合评价函数得分来进行排序。然后举例说明主成分分析法在对企业绩效评价问题中的应用。

最后文章对模型进行评价以及推广。

关键词：主成分分析法 企业绩效评价 概率统计模型 方差贡献率

一 引言

近几年来，我国的经济学界和经济部门越来越意识到用数学方法来解决经济问题的重要性，正在探索经济问题中应有数学的规律。实践证明，概率统计是对经济和经济管理问题进行量的研究的有效工具，为经济预测和决策提供了新的手段，有助于提高管理水平和经济效益。

目前,我国评价企业绩效的指标很多,如销售收入、销售成本、销售税金、总资产周转率、流动资产周转率、利润总额等等。这些指标仅仅从不同侧面评价了企业绩效,但综合分析没有得以体现。正是基于这一点,运用主成分分析法,对企业经济指标进行处理,求得原指标的主成分,从而对企业的经济效益做出评价,给管理层提出相应的具有指导性意义的管理决策建议。

二 模型的变量与符号说明

变量 符号说明 样品个数 指标系所含变量数 第i个企业的第j个指标变量值 相关矩阵的特征向量 相关矩阵的特征根 第t企业第i的主成分 协方差阵 相关矩阵 n p xij Hi ?i Fti ? R 三 数学模型

主成分分析法

3.1主成分分析法基本思想

主成分分析法是由霍特林于1933年首先提出，主要是利用降维的思想，把多指标转化为少数几个综合指标的多元统计分析方法。基本做法是通过求解原始指标的样本方差矩阵及其特征根和相应的特征向量，然后根据累积贡献率确定一个或几个主成分来代替原始指标，根据各指标的主成分得分和主成分的方差贡献率确定权重，从而得到综合评价值，对被评价对象进行比较排序。 3.2主成分分析法算法

算法步骤如下：

（1）根据指标体系中的具体指标收集原始数据。

?x11?x21设原始数据矩阵为：X???????xn1x12x22?xn2x1p??x2p?? ?????xnp???其中，n为企业个数；p为指标系所含变量数；xij为第i个企业的第j个指标变量值?i?1,2,?,n；j?1,2,?,p?。 （2）数据的标准化处理

由于指标体系中各指标的量纲不同，量纲可以理解为不同指标的度量属性，如有的指标单位为万元，有的指标单位为天数。不同量纲的数量级会得到不同的协方差矩阵或相关矩阵，为确保评价结果的客观性和科学性，要对原始数据进行标准化处理，标准化矩阵为Y?yij??m?n ，其中，yij??xij?xj?sj，xij为原始数据；

xj为第j个指标的平均值，sj为第j个指标的标准差。 （3）计算两两相关矩阵R

R??rij?p?pYT?Y1n?其中：rij??ytiytj?i,j?1,2,?,p?。 n?1n?1t?1（4）计算相关矩阵的特征根?i和特征向量Hi

首先对R的特征方程式?I?R?0(I为P阶单位矩阵)求解，可得R的特征根

?i?i?1,2,?,p?，且?1??2????p。再由方程组?I?R?0可求得特征根对应的

特征向量Hi??hi1,hi2,?,hip??i?1,2,?,p?。 （5）计算各主成分的方差贡献率?i

?i??i??i?1p?i?1,2,?,p?

i（6）选取主成分

若??i?85%?i?1,2,?,k?，则k为所选取的主成分个数，则?i?1,2,?,k?。

i?1k第t企业的主成分为（每个公司都有k个主成分）：

Fti?hi1yi1?hi2yi2???hipyip?t?1,2,?,n? （7）计算综合得分

Ft???iFti?t?1,2,?,n?，并以这个得分的大小排队，即可排列出每个企业

i?1k经济效益名次。综合评价函数值越大，综合经济效益越好。

四 应用举例

我们对23家家电类上市公司某月的财务指标作主成分分析,设定综合评价指数对23家公司进行排名。这6项财务指标分别为:每股盈利x1(元) ,每股净资产

x2(元) ,主营利润率x3(%)，净资产收益率x4(%) ,负债率x5(%) ,每股公积金

x6(元)。数据来源于武汉证券公司，数据见表1。 公司名称 科龙电器 康佳电器 ST华发 TCL 小天鹅 美菱电器 美的电器 万家乐 ST湖山 夏新电子 海信电器 ST博讯 ST福日 浙江阳光 澳柯玛 广电信息 春兰股份 厦华电子 四川长虹

x1 0.06 0.03 0.00 -0.13 0.03 0.02 0.11 0.00 -0.01 0.01 0.05 -0.01 0.21 0.15 0.02 0.01 0.01 0.03 0.08

x2 2.89 5.34 0.82 1.98 3.16 2.09 5.62 1.04 0.68 3.07 4.94 0.08 2.09 5.26 3.57 4.47 5.81 2.20 4.45

x3 17.95% 14.75% -3.91% 14.83% 22.27% 19.31% 17.39% 30.98% 11.86% 21.90% 16.35% 3.57% 2.33% 19.44% 16.50% 4.59% 10.85% 11.83% 14.50%

x4 2.11% 0.64%

x5 0.75% 0.65%

x6 1.5894 3.0858 0.3584 0.7662 2.2178 1.3843 2.0633 0.1263 0.0377 0.7019 3.0019 0.1052 1.1370 2.7996 2.4720 2.9576 2.9625 2.5512 1.8879

-0.31% 0.44% -5.99% 0.82% 1.04% 1.08% 1.99% 0.04% 0.25% 1.05%

0.63% 0.64% 0.77% 0.81% 0.68% 0.40%

-1.32% 0.61%

-1.90% 0.89% 10.11% 0.68% 2.83% 0.51% 0.28% 0.23% 1.24% 1.80%

0.42% 0.70% 0.52% 0.39% 0.76% 0.35%

大显股份 宁波富达 青岛海尔 飞乐音响

0.01 0.01 0.05 0.02

2.17 1.92 4.83 1.78

14.51% 16.22% 11.94% 15.84%

0.59% 0.59% 1.09% 1.17%

0.39% 0.61% 0.18% 0.53%

0.5229 0.2551 2.4520 0.3309

表1 企业基本情况表

首先，将数据标准化处理，然后将处理后的数据，利用SPSS软件，可得指标

x1,x2,x3，x4,x5,x6的相关系数矩阵为:

?1. 0000?0. 37931. 0000???0. 06270. 1673R???0. 92870. 2122?? 0. 2134?0. 4582?0. 8670??0. 3316?????

1. 0000???0. 16371.0000?0. 2176?0. 33581. 0000??1. 0000 0. 11500. 18250.0329从相关系数矩阵可看出,x1与x4,x2与x6之间强相关，系统信息有重叠，计算出相关系数矩阵的特征值、特征向量及其贡献率见表2。

主成分 特征值 1 2 3 4 5 6

贡献率 累计贡献率

0.44677 0.68791 0.87004 0.97295 0.99198 1.00000

2.68060 0.446767 1.44684 0.241140 1.09278 0.182130 0.61751 0.102918 0.11415 0.019024 0.04813 0.008021

表2 贡献率及累计贡献率

由上表可知，当主成分个数为3时，累计贡献率已经有了87.004%，所以主成分个数取三个即可，则其对应的主成分为:

y1?0. 484429x 496377x 025010x 426082x 335658x 483393x1 ? 0.2? 0.3 ? 0.4?0.5 ? 0.6 y2? 0. 453670x 432427x 321221x 209738x 188846x 396159x1 ?0.2?0.3? 0.4 ?0.5 ?0.6y3?0. 196254x 057543x 804400 x3 ? 0. 171089x 530876x 003727x1 ? 0.2?0.4?0.5 ? 0.6从上述公式可看出，第一主成分y1主要是由x1，x2，x4，x6的系数决定的，并且权重值相差不大，由各指标的实际意义，可知第一个主成分主要反映了企业的收益水平和资产的增利水平；第二主成分y2中，x1系数最大，x2系数最小，可知第二个主成分主要经营策划能力，即以少的资产获得较大的利润。第三主成分y3

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