高数03-04第二学期期中（题+答案）

北京工业大学2003—2004学年第二学期

“高等数学（工、信）—2”期中考试试卷

一、单项选择：（本大题共五小题，每小题四分，共20分）

1、设二元函数f(x,y)在点（x0,y0）的某一邻域内有定义，则下列命题正确的是（ ）

'fy'(x0,y0)x,yf(x,y)f(x,y)00x00A、如果在点（）处连续，则两个偏导数，存

在

''f(x0,y0)f(x,y)yB、如果两个偏导数x00，存在，则f(x,y)在该点连续

C、如果f(x,y)在点（x0,y0）处可微，则f(x,y)在该点连续

'fy'(x0,y0)f(x,y)x00D、如果两个偏导数，存在，则f(x,y)在点（x0,y0）处可

微

??D??(x,y)x2?y2?2y}f(u)2、设函数连续，区域，则D?A、

1?1f(xy)dxdy?（ ）

dx?1?x2?1?x2f(xy)dy2 B、

2?dy?022y?y20f(xy)dx

C、??0d??2sin?0f(rsin?cos?)dr D、??0d??2sin?0f(r2sin?cos?)rdr3、下列曲线的方向均为所围区域的正向，则积分曲线L曲线L所围区域上可直接使用格林公式的是（ ）

?xdx?ydyx2?y2的计算在下列

222222L:x?y?1L:(x-1)?y?2L:3(x-1)?y?2 D、L:x?y?1 A、 B、 C、

4、设z?xy，则点(0,0)是该函数的（ ）

A、间断点 B、极大值点 C、极小值点 D、驻点

25、设L是曲线y??1?x上从点A(1,0)到点B(0,?1)的一段弧，则曲线积分

?Lf(x,y)ds?1（ ）

2A、?0C、?

f(x,1?x)dx B、

??322?f(cos?,sin?)d?

?20?f(cos?,sin?)d? D、 ?20d??f(rcos?,rsin?)rdr01

1

二、填空题：（本大题共4小题，每空4分，共24分）

33?2zz?z(x,y)z?3xyz?a(a?0)x?o=_______________ 6、设确定了，则

?x?yy?o7、若曲线积分

I??(x4?4xy3)dx?(6x??1y2?5y4)dyL在xoy面内与积分路径无关，

则常数?为___________________

22z?x?y8、与z?4围成图形体积为___________________

9、设?为

z?x2?y2,z?1,则三重积分

???f(xyz)d??在

直角坐标系下的累次积分为___________________________

柱面坐标系下的累次积分为___________________________

球面坐标系下的累次积分为___________________________

三、计算下列各题：（本大题共6小题，每小题7分，共42分）

10、设u?f(z)，其中z是由方程z?x?y?(z)所确定的x与y的函数，其中f与

?u?均为可导函数，且y?'(z)?1，求?y。

2z11、求圆点到曲面?xy?x?y?4的最短距离（即距离的平方和最小）。

2

12、计算二重积分

?d?1214yy12edx??1dy?edx2yyx1yyx。

13、计算曲线积分

x?1?y2I??(exsiny?y3)dx?(excosy?x3)dxL，其中L是沿半圆周

从点A(0,?1)到点B(0,1)的弧段 。

14、计算曲面积分

I???2xz2dydz?y(z2?1)dzdx?(9?z3)dxdy?，其中?是曲面

z?x2?y2?1被平面z?2所截下部分的下侧 。

3

22z?x?y15、求曲面被平面z?1所截下部分的曲面的面积。

四、证明题：（本大题共2小题，每小题7分，共14分）

?u?xcos??ysin????z?fu,v,16、设而?v?xsin??ycos?，其中?是常数，f具有二阶连续偏导数。

?2z?2z?2z?2z?2?2?22?v?x?y 证明： ?u

?17、设函数f(x)在?0,1?上连续，证明： 0

1dx?1x21?1?f(x)f(y)dy??f(x)dx??0?。 2?

4

北京工业大学2003—2004学年第二学期

“高等数学（工，信）-2”期中考试试卷 参考答案

一、单项选择题

1、C [多元函数可微必可导，而连续却不一顶可微]

2、D [积分表达式在直角坐标下的等价公式要正确找到上下限，而用极坐标换

元则要使用x?rcos?，y?rsin?及dxdy?rdrd?来确定r和?的

上下限]

3、C [格林公式使用的前提是D为平面单连通区域，所要求曲线所围成的部分

要满足这个条件] 4、D [显然，原点满足

fx(x,y)?0，fy(x,y)?0]

5、C [对弧长的曲线积分的第一类对坐标的积分的公式转换]

二、填空题

133?z?2zF(x,y,z)?z?3xyz?a6、 [令，先求出，后再求，最后代入数据] a?x?x?y7、3 [由?Pdx??Qdy在单连通区域内与积分路径无关，得?P??Q]

LL?y?x8、8? [体积V??2?01d??rdr?2dz]

0r1?x20249、直角坐标系下为 柱面坐标系下为 球面坐标系下为

三、计算题

?dx?0dy?1r1x2?y2f(x,y,z)dz

??2?02?d??dr?rf(r,?,z)dz

01?00d??4d??4cos?0r2cos?dr

?z?z?(z)1?[x?y?(z)]??(z)??'(z)??10、 y?y?y1??'(z) 则

?u?u?z?z?(z)???f'(z)??f'(z)? ?y?z?y?y1??'(z)11、设d为曲面上的点(x,y,z)到原点的距离

则d?x?y?z

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