小初高学习2017-2018学年高中数学 第三章 导数应用 1.1 导数与函数的单调性教学案 北

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1．1 导数与函数的单调性

[对应学生用书P26]

?1?xx已知函数(1)y1＝2x－1，(2)y2＝－x＋10，(3)y3＝2，(4)y4＝??，(5)y5＝log2x，(6)y6

?2?

1＝logx.

2

问题1：求上面六个函数的导数．

提示：(1)y′1＝2，(2)y′2＝－1，(3)y′3＝2ln 2，

x?1?x1x(4)y′4＝??ln ＝－2ln 2，

2?2?

(5)y′5＝

111，(6)y′6＝＝－. xln 21xln 2

xln

2

问题2：试判断所求导数的符号．

提示：(1)(3)(5)的导数为正，(2)(4)(6)的导数为负． 问题3：试判断上面六个函数的单调性．

提示：(1)(3)(5)在定义域上是增加的，(2)(4)(6)在定义域上是减少的． 问题4：试探讨函数的单调性与其导函数正负的关系．

提示：当f′(x)>0时，f(x)为增加的，当f′(x)<0时，f(x)为减少的．

函数在区间(a，b)上的单调性与其导函数的符号有如下关系：

导函数的正负 函数在(a，b)上的单调性 增加 减少 常数函数 f′(x)＞0 f′(x)＜0 f′(x)＝0

(1)若在某个区间上有有限个(或无限个不连续)点使f′(x)＝0，而其余点恒有

f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)仍为增加的(或减少的)，例如函数y＝x3，x∈R，则f′(x)

＝3x，尽管当x＝0时，f′(x)＝0，但该函数y＝x在R上仍为增加的．

2

3

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(2)在某一区间上f′(x)>0(或f′(x)<0)是函数y＝f(x)在该区间上为增加(或减少)的充分不必要条件，而不是充要条件．

[对应学生用书P26]

判断或证明函数的单调性

ln x[例1] 证明函数f(x)＝在区间(0,2)上是增加的．

x[思路点拨] 要证函数f(x)在(0,2)上为增加的，只要证f′(x)>0在(0,2)上恒成立即可．

ln x[精解详析] 由于f(x)＝，

x1

·x－ln xx1－ln x所以f′(x)＝＝， 22

xx由于00， 2x即函数在区间(0,2)上是增加的．

[一点通] 利用导数判断或证明一个函数在给定区间上的单调性，实质上就是判断或证明不等式f′(x)>0(f′(x)<0)在给定区间上恒成立．一般步骤为：

①求导f′(x)； ②判断f′(x)的符号； ③给出单调性结论．

1．下列函数中，在(0，＋∞)上为增加的是( ) A．y＝sin x C．y＝x－x

解析：(sin x)′＝cos x，

(x·e)′＝e＋x·e＝(1＋x)·e，

xxxx3

B．y＝x·e D.y＝ln x－x

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132

(x－x)′＝3x－1，(ln x－x)′＝－1，

x当x∈(0，＋∞)时，只有(x·e)′＝(1＋x)·e>0. 答案：B

1

2.证明函数f(x)＝x＋在(0,1]上是减少的．

xxxx2－1

证明：∵f′(x)＝1－2＝2，

xx1

又∵x∈(0,1]，∴x－1≤0(只有x＝1时等号成立)， 1

∴f′(x)≤0，∴f(x)＝x＋在(0,1]上为减少的．

2

x3．判断y＝ax－1(a∈R)在R上的单调性． 解：∵y′＝3ax，又x≥0.

(1)当a＞0时，y′≥0，函数在R上单调递增； (2)当a＜0时，y′≤0，函数在R上单调递减； (3)当a＝0时，y′＝0，函数在R上不具备单调性.

求函数的单调区间

[例2] 求下列函数的单调区间： e

(1)f(x)＝x－ln x； (2)f(x)＝；

x－2

2

2

2

3

x(3)f(x)＝－x＋3x.

[精解详析] (1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．

32

f′(x)＝2x－＝x12x－2x＋

x. 2

，所以函数f(x)的单调递增区间2

因为x>0，所以2x＋1>0，由f′(x)>0，解得x>为?

?2?

，＋∞?； ?2?

由f′(x)<0，解得x<

22??

，又x∈(0，＋∞)，所以函数f(x)的单调递减区间为?0，?. 22??

(2)函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．

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