电磁场与电磁波习题答案第9章

第九章

9-1 推导式（9-1-4）。

解 已知在理想介质中，无源区内的麦克斯韦旋度方程为

??H?j??E， ??E??j??H

令 H?exHx?eyHy?ezHz， E?exEx?eyEy?ezEz 则

??H?e??Hz?Hy???Hy?Hx????y??z????e??Hxy???z??Hz??x???e??x?z??x??y??? ??E?e??Ez?E?y?????Ey?Ex?x???y??z????eEx?Ez?y???z??x???ez????x??y??? 将上式代入旋度方程并考虑到??z??jkz，可得

?Ez?y?jkzEy??j??Hx ?jk?EzzEx??x??j??Hy

?Ey?Ex?x??y??j??Hz

?Hz?y?jkzHy?j??Ex ?jk?HzzHx??x?j??Ey

?Hy?Hx?x??y?j??Ez 整理上述方程，即可获得式（9-1-4）。

9-2 推导式（9-2-17）。

解 对于TE波，EH ?jkzz?0, z?x,y,z??H0z?x,y?z。应用分离变量法， 令

1

H0z?x,y??X?x?Y?y?

由于H0z?x,y?满足标量亥姆霍兹方程，得

1d2X?x?1d2Y?y?2??kc?0 22X?x?dxY?y?dy此式要成立，左端每项必须等于常数，令

1d2X?x?2??kx；

X?x?dx21d2Y?y?2??ky

Y?y?dy222显然，kx?ky?kc2。由上两式可得原式通解为

H0z?x,y???A1coskxx?A2sinkxx??B1coskyy?B2sinkyy?

根据横向场与纵向场的关系式可得

E0x?x,y???E0y?x,y???j??kykc2?A1coskxx?A2sinkxx???B1sinkyy?B2coskyy? ??A1sinkxx?A2coskxx??B1coskyy?B2sinkyy?

j??kxkc2因为管壁处电场的切向分量应为零，那么，TE波应该满足下述边界条件：

E0x?x,y?y?0,b?0；

E0y?x,y?x?0,a?0

将边界条件代入上两式，得

n? n?0,1,2,? bm?B2?0,kx? m?0,1,2,?

aA2?0,ky?故Hz的通解为

?m???n???jkzz Hz?x,y,z??H0cos?x?cos?y?eab????其余各分量分别为

Hx?x,y,z??jHy?x,y,z??jkzH0?m???m???n???jkzz x?cos?y?e?sin?2?aabkc??????kzH0?n???m??cos?2?kc?b??a??n?x?sin???b?y?e?jkzz ?2

Ex?x,y,z??j??H0?n??kc2?m???n???jkzz x?sin?y?e??cos?bab???????m?sin????a??a??n?x?cos???b?y?e?jkzz ?Ey?x,y,z???j

??H0?m??kc29-3 试证波导中的工作波长?、波导波长?g与截止波长?c之间满足下列关系

1?2g?1?2c?1?2

解 已知波导中电磁波的波长为

?g????1?????c????2?1?g21????2?1????????c????2?? ??则

1?g211???2?2??????c12?11??? 22???c?2即

?g?1?c2?1?2

9-4 已知空气填充的矩形波导尺寸为8cm?4cm，若工作频率f?7.735GHz，给出可能传输的模式。若填充介质以后，传输模式有无变化？为什么？ 解 当内部为空气时，工作波长为??截止波长为

c?38.78?mm?，则 f?c?2?m??n???????a??b?22?800.25m?n22?mm?

那么，能够传输的电磁波波长应满足???c，若令k?0.25m2?n2，则k应满足

k?4.256。满足此不等式的m，n数值列表如下：

k?4.256 m?0 m?1 m?2 m?3 m?4 3

n?0 1 4 0.25 1.25 4.25 1 2 2.25 3.25 4 n?1 n?2 由此可见，能够传输的模式为

TE10,TE20,TE30,TE40,TE01,TE11,TM11,TE21,TM21,TE31,TM31,TE02,TE12,TM12填充介质以后，已知介质中的波长为???

?，可见工作波长缩短，传输?r模式增多，因此除了上述传输模式外，还可能传输其它高次模式。

9-5 已知矩形波导的尺寸为a?b，若在z?0区域中填充相对介电常数为?r的理想介质，在z?0区域中为真空。当TE10波自真空向介质表面投射时，试求边界上的反射波与透射波。

解 已知波导中沿z轴传输的TE10波的电场强度为

iiEy?eyEoysin(?ax)e?jkzz

那么，反射波和透射波的电场强度可分别表示为

rrEy?eyEoysin(?attx)ejkzz；Ey?eyEoysin(?ax)e?jkz

2式中

kz???0?0??????1??0?；k????1???

?2a??2a?2考虑到边界上电场强度与磁场强度的切向分量必须连续的边界条件，因而在z?0处，获知

irtirt Eoy?Eoy?Eoy; Hox?Hox?Hox根据波阻抗公式，获知z < 0和z > 0区域中的波阻抗分别为

Z?TE??iEoyiHoxtrEoyEox??r; ZTE??t HoxHox将场强公式代入，得

4

?ZTE??0?0???1??0??2a?2?，z?0； ZTE?1????2a?iEoy??，z?0

2???tEoy根据上述边界条件，得 ?Z?TE?rEoyZ?TE??Z?TE

那么，z?0处的反射系数及透射系数分别为

??ZTE?ZTE; R?i???EoyZTE?ZTErEoy

?2ZTE T?i???EoyZTE?ZTEtEoy反射波与透射波的电场强度分别为

riEy?eyREoysin(?ax)ejkzz;

tiEy?eyTEoysin(?ax)e?jkz

根据??E??j??0H，可得反射波的磁场强度为

???riHx??REoysin?x?j??0?z??0?a?1kzrzr?Eyjkzz

1???i??H???j??REoycos?j??0?x??0?a??a1r?Ey?x??jkzz

根据??E??j??H，可得透射波的磁场强度

?jkzt?E1k???ytiHx???TEoysin?x?

j???z???a??jkzt1?Ey1???i???H???j??TEoycos?x?

j???x???a??a?tz

9-6 试证波导中时均电能密度等于时均磁能密度，再根据能速定义，导出式（9-4-9）。

解 在波导中任取一段，其内复能量定理式（7-11-14）成立。考虑到波导为理想导电体，内部为真空，因此内部没有能量损耗。因此式（7-11-14）变为

??Sc(r)?dS?j??2?wmav(r)?weav(r)?dV

SV因为流进左端面的能量应该等于流出右端面的能量，故上式左端面积分为零，

5

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