高1文科数列复习共5课时(1)

高一文科数学期末专题复习——数列

第1课时：等差、等比数列（一）

一 基础梳理

等差数列：1. 定义式： an?an?1?d （n?2） 2. 通项公式：an

例2 在公差为d的等差数列{an}中，已知a1＝10，且a1，2a2＋2，5a3成等比数列．

?a1?(n?1)d

(1)求d，an； 2)若d<0，求|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|an|.

变式2: 已知Sn为等差数列?an?的前n项和，a1?25,a4?16.

⑴当n为何值时，Sn取得最大值；⑵求a2?a4?a6?a8???a20的值；

an?ak?(n?k)d

3.前n项和公式：

Sn?n(a1?an)n(n?1)dd?na1?d =n2?(a1?)n，

2222a?ama?b(n?m) 4. 性质结论：（1） a与b的等差中项A?；（2）公差d=nn?m2（3）.在等差数列?an?中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq； （4）sn,s2n?sn,s3n?s2n 也成等差数列

an?q （n?2） 2. 通项公式：an?a1qn?1， 等比数列：1. 定义：

an?1?na1?q?1??ns?a1?anqa1a1n3. 前n项和公式：n?a1?1?q?

???q(q?1)?1?q1?q1?q?1?q4. 性质结论： 1.a与b的等比中项G?G?ab?G??ab(a,b同号)；

2.在等比数列?an?中，若m?n?p?q，则am?an?ap?aq； 3.

2三、课后练习：

1记等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1?1，S4?20，则S6? 22 等差数列{an}中，a1+a5=10, a4=7, 则数列{an}的公差为____________ 3在等差数列{an}中，a2?1，a4?5，则{an}的前5项和S5=____________

24已知递增的等差数列{an}满足a1?1，a3?a2?4，则an=____。

sn,s2n?sn,s3n?s2n也成等比数列

二、典型例题：

例1在等差数列{an}中，a1＋a3＝8，且a4为a2和a9的等比中项，求数列{an}的首项、公差及前n项和．

变式1：设{an}是等差数列，{bn}是各项都为正数的等比数列，且a1?b1?1，a3?b3?9，

5在递减的等比数列?an?中，若a3?9,a7?1,则公比q的值为____________ 6已知等比数列?an?是递增数列,Sn是?an?的前n项和.若a1=1，a3=4则S6? 7.等比数列

?an?中，a1?a2?a3?2，a4?a5?a6?4，则a10?a11?a12?（ ）

A. 32 B. 16 C. 12 D. 8

8. 等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S6=2，S18=12，则S12=

a5?b2?11．求{an}， {bn}的通项公式；

第2课时：等差、等比数列（二）

1

2例3等差数列?an?是递增数列，前n项和为Sn，且a1,a3,a9成等比数列，S5?a5．求数列?an?的通

项公式.

变式3知{an}是一个公差大于0的等差数列，且满足a3a6?55,a2?a7?16.

(Ⅰ)求数列{an}的通项公式：

（Ⅱ）等比数列{bn}满足：b1?a1,b2?a2?1，若数列cn?an?bn，求数列{cn}的前n项和Sn.

例4 成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{bn}中的b3、b4、b5.

5??

(1)求数列{bn}的通项公式； (2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列?Sn＋4?是等比数列．

??

S5?

3等差数列{an}前9项的和等于前4项的和．若

a1?1,ak?a4?0，则k=____________．

54已知等比数列{an}满足an?0,n?1,???2,，且a5?a2n??22n(n?3，)则当n?1时，

lo2ga1? lo2ag?ag2 1?3???lo2n?5等比数列x，3x+3，6x+6，…..的第四项等于（ ）

A．-24 B.0 C.12 D.24

6已知?an?是等差数列，a1?1，公差d?0，Sn为其前n项和，若a1,a2,a5成等比数列，则S8?_____

7设Sn为数列

?an?的前n项和，an?2n?49，则Sn达到最小值时，n的值为（ ）

A. 12 B. 13 C. 24 D. 25 8设Sn为数列A. 2n?an?的前n项和，an?1?2?22???2n?1，则Sn的值为（ ）

?1 B. 2n?1?1 C. 2n?n?2 D. 2n?1?n?2

变式4：公差不为零的等差数列?an?中，Sn是其前n项和，且S1,S2,S4成等比数列. ⑴求数列S1,S2,S4的公比q；

⑵若S2?4，求等差数列?an?的通项公式.

第3课时 数列通项公式an的求法（一）

1.公式法，2.观察法 3.叠加法， 4取倒数 5待定系数法， 6.两式相减法（已知Sn求an）。

一、当堂练习：

1.在数列?an?中，a1?1，an?2an?1?0，则通项an? 2在数列?an?中，a1?3，an?1?an?n，则通项an?

3已知数列{an}的递推关系为an?1?2an?1，且a1?1，则通项an?

三、课后练习：

1.等比数列?an?的前n项和为Sn，已知S3?a2?10a1，a5?9，则a1?

二、典型例题：

例5知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an?2(n?1,2,3

)，求通项an

52.已知数列?an?为等比数列，Sn是是它的前n项和,若a2?a3?2a1，且a4与2a7的等差中项为，则

4 2

变式5：{an}的前n项和为Sn，且a1?1,Sn?1?4an?2(n?N*)，求数列{an}的通项公式和前n项和:

例:6数列{an}满足a1?1，a?ann?13a1，则an?_______ n?变式6已知数列｛aann｝中a1?1且an?1?a?1，

，则通项an? n三、课后练习：

1．1934年东印度（今孟加拉国）学者德拉姆（Sundaram）发现了“正方形筛子”： 4 7 10 13 16 7 12 17 22 27 10 17 24 31 38 13 22 31 40 49 16 27 38 49 60

则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是 . 2．已知一个凸多边形的内角度数组成公差为50的等差数列，且最小角是1200，则它是 边形.

3已知数列?a中设a1

n?1=1，an+1=an+2，则数列?an?的通项公式为 ；

4在数列?an?中，a1+2a2+3a3+…+nan?n(n?1)(n?2)，求an

5 已知Sn为数列?an?的前n项和，且Sn?2n2?3n?1,求数列?an?的通项公式.

6知数列?an?的前n项和是Sn，且2Sn?2?an ．

（Ⅰ）求数列?an?的通项公式； （Ⅱ）记bn?an?n，求数列?bn?的前n项和Tn ．

第4课时 数列通项公式an的求法（二） 4待定系数法，

例7知数列?an?中，a1?1,an?1?2an?3，求数列?an?的通项公式.

变式7 已知数列?an?中，a1?1,an?1?23an?2，求数列?an?的通项公式

例8. 已知数列?a*n?的前n项和为Sn，且Sn?n?5an?85，n?N

证明?an?1?是等比数列，并求数列?an?的通项公式。

变式8知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn?2an?n, 求证：{an?1}为等比数列；求数列?an?的通项公式

三、课后练习：

1.若数列?an?的前n项和Snn?a?1（a?R，且a?0），则此数列是( )

A.等差数列 B.等比数列

C.等差数列或等比数列 D.既不是等差数列，也不是等比数列

2.数列?an?中，an?1?3an?2(n?N?),且a10?8，则a4?( )

3

A.1 B.?80 C.1 D.?2681812727

3． 在数列{an}中, 3an?1?3an?2(n?N),且a2?a4?a7?a9?20,则a10为 ( )

A. 5 B. 7 C. 8 D. 10

求前n项和Sn的方法：1.分组求和，2.裂项相消，3.错位相减，

一、当堂练习：

1.数列1,2,32.

34．若数列{an}的前n项的和Sn?an?3，那么这个数列的通项公式为 ( )

2

A．an?2?3n?1 B．an?3?2n C．an?3n?3 D．an?2?3n

131911,4,2781的前n项和是 .

1111?????n(n?1) 1?22?33?45.数列?an?中，a1?1,an?12an?(n?N?)，则?an?的通项an? . 2?an．

6已知数列{an}的首项a1?a（a是常数且a??1），an?2an?1?(1n?,N2)n?（1）{an}是否可能是等差数列，若可能，求出{an}的通项公式；若不可能，说明理由；

（2）设bn?an?c(n?N,c是常数)，若{bn}是等比数列，求实数c的值，并求出{an}的通项公式。

7（选做）数列{an}满足a1?2,a2?5,an?2?3an?1?2an，

（1）求证：数列{an?1?an}是等比数列； （2）求数列{an}的通项公式an；（3）求数列{an}的前n项和Sn.

3(必修⑤P46.13)观察： 1

1+2+1 1+2+3+2+1 1+2+3+4+3+2+1

则第n行的所有数的和为 . 二、典型例题：

例9：若数列?an?的通项an?(2n?1)?3n，求此数列的前n项和Sn

变式9 求数列?an?的通项an?n?

例10：已知an=

变式10：求数列

1的前n项和 2n1，设bn?log3a1?log3a2?n31?log3an，求数列{}的前n项和．

bn

第5课时：数列的求和

111,,??,,??前n项和 1?21?2?31?2????(n?1)

4

三、课后练习

1、一同学在电脑中打出如下若干个圆(图中●表示实心圆，○表示空心圆)：

●○●●○●●●○●●●●○●●●●●○●●●●●●○

若将此若干个圆依次复制得到一系列圆，那么在前100个圆中，空心圆的个数为________． 2．在等比数列{an}中，a1?a2???an?2?1，则a?a???a?( )

n21222n

第1课时：等比、等差数列（一）参考答案

二、典型例题：

例1．解：设该数列公差为d，前n项和为Sn，由已知可得2a1＋2d＝8，

(a1＋3d)2＝(a1＋d)(a1＋8d)， 所以a1＋d＝4，d(d－3a1)＝0.

解得a1＝4，d＝0或a1＝1，d＝3.即数列{an}的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3. 3n－n

所以，数列的前n项和Sn＝4n或Sn＝.

2

2?a?2d?q?9变式1解：（1）设an?a1?(n?1)d,bn?b1?qn?1，依题意得?1

?a1?4d?q?112

(2n?1)24n?1nA．(2?1) B． C．4?1 D．

3311113．数列1,3,5,?,(2n?1)?n,?的前n项和为Sn，则Sn?( )

248211112222A．n?1?n B．n?1?n?1 C．2n?n?1?n D．n?n?1?n

2222n2得?4. 数列{an}前n项的和Sn=3n+b(b是常数)，若这个数列是等比数列，那么b=

?d?2，an?2n?1,bn?2n?1

?q?2120095.数列?，若?an?中，an?an?的前n项和为

2010n(n?1)(A)2008 (B)2009 (C)2010 6求数列{

7．知数列{an}中，a1?1，前n项和为Sn且Sn?1?，则项数n为( ) (D)2011

例2．解：(1))由题意得a1·5a3＝(2a2＋2)2，即d2－3d－4＝0.所以d＝－1或d＝4.

所以an＝－n＋11，n∈*或an＝4n＋6，n∈*.

(2)设数列{an}的前n项和为Sn.因为d<0，由(1)得d＝－1，an＝－n＋11，则 121

当n≤11时，|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|an|＝－n2＋n.

22

121

当n≥12时， |a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|an|＝－Sn＋2S11＝n2－n＋110.

22

121

－n2＋n，n≤11，22

综上所述，|a1|＋|a2|＋|a3|＋?＋|an|＝

1221

n－n＋110，n≥12.22

2n?3}的前n项和. 2n?1???

3Sn?1,(n?N*) 2三、课后练习：

112 （1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{}的前n项和为Tn，求满足不等式Tn?的n值。

anSn?2

1 48 2.2 3 15 4 2n?1 5.第二课时参考答案

例3：设数列?an?公差为d(d?0)

3 6.63 7B 8 4?14或4?14 3 5

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