电动力学 - 郭芳侠 - 电磁波的辐射(1)

第五章 电磁波辐射

1.电磁势的达朗贝尔方程成立的规范换条件是

1??1??1?2??0 B. ??A?2?0 C. ??A?22?0 A． ??A?2c?tc?tc?t1?2?D. ?A?22?0

c?t2答案：B

2.真空中做匀速直线运动的电荷不能产生

A．电场 B.磁场 C.电磁辐射 D.位移电流 答案：C 3.B 4.B

3.关于电磁场源激发的电磁场，以下描述不正确的是 A．电磁作用的传递不是瞬时的，需要时间； B．电磁场在传播时需要介质；

C．场源的变化要推迟一段时间才能传递至场点；

D．场点某一时刻的场是由所有电荷电流在较早的时刻不同时刻激发的. 4.一个天线辐射角分布具有偶极辐射的特性,其满足的条件是 A．波长与天线相比很短 B. 波长与天线相比很长 C. 波长与天线近似相等 D. 天线具有适当的形状 答案：B

5.严格的讲,电偶极辐射场的

A．磁场、电场都是横向的 B. 磁场是横向的,电场不是横向的 C. 电场是横向的, 磁场不是横向的 D. 磁场、电场都不是横向的 答案：B

6.对电偶极子辐射的能流,若设θ为电偶极矩与场点到偶极子中心连线的夹角,则平均能流为零的方向是

???A. ??; B. ??; C. ?? D. ??0,?

246答案：D

7.电偶极辐射场的平均功率 A．正比于场点到偶极子距离的平方 B. 反比于场点到偶极子距离的平方 C. 与场点到偶极子距离的无关 D. 反比于场点到偶极子距离 答案：C

????xcos?A8.若一电流J=40tez，则它激发的矢势的一般表示式为=——————。

r??40xcos?(t?)eZdv???0c答案： A?

4??rv??????9.变化电磁场的场量E和B与势（A、?）的关系是E=—————，B=—————。

?????A答案： E????? ,B???A

?t10.真空中电荷只有做—————运动时才能产生电磁辐射；若体系电偶极矩振幅P0不变，当辐射频率有由?时变为3?，则偶极辐射总功率由原来的p变为—————。 答案：加速，81P0

11.势的规范变换为A??————，???————；

????答案：A??A???，?????

?t12.洛仑兹规范辅助条件是————；在此规范下，真空中迅变电磁场的势?满足的微分方程是——————.

?1??1?2??2?0，???22??， 答案： ??A?2c?t?0c?t13.真空中一点电荷电量q?q0sin?t，它在空间激发的电磁标势为______________.

rq0sin?(t?)c??答案：

4??0r14.一均匀带电圆环,半径为R,电荷线密度为?,绕圆环的轴线以角速度?匀速转动,它产生的辐射场的电场强度为 . 答案： 零

15.真空中某处有点电荷q?q0e?i?t那么决定离场源r处t时刻的电磁场的电荷电量等于 . 答案： q(r,t)?q0er?i?(t?)c

??16.已知自由空间中电磁场矢势为A，波矢为K，则电磁场的标势?等于

c2??答案：??K?A,

?17.真空中电荷Q（t）距场点9?106m,则场点0.2秒时刻的电磁场是该电荷在 秒时刻激发的. 答案： 0.17s

18.电偶极子在 方向辐射的能流最强. 答案：过偶极子中心垂直于偶极距的平面

19.稳恒的电流 (填写“会”或“不会”)产生电磁辐射. 答案：不会

20.已知体系的电流密度J(x?,t),则它的电偶极矩对时间的一阶微商为 . 答案：

?J(x?,t)dv

v21.短天线的辐射能力是由 来表征的,它正比于

l答案：辐射电阻 ,()2

?22.真空中, 电偶极辐射场的电场与磁场(忽略了1是 .

? n答案： E?cBR的高次项)之间的关系

23.电磁场具有动量,因此当电磁波照射到物体表面时,对物体表面就有 .

答案： 辐射压力

24.若把麦克斯韦方程组的所有矢量都分解为无旋的(纵场)和无散的(横场)两部分，写出E和B的这两部分在真空中所满足的方程式，并证明电场的无旋部分对应于库仑场．

解: 将方程组中的电场、磁场、电流、分为无旋和无散两部分．据此，可将麦克斯韦方程组写成另外一种表达形式，进一步证明电场的无旋部分对应于库仑场．

（1）以角标L和T分别代表纵场和横场两部分，则有

E?EL?ET B?BL?BT J?JL?JT

将E、B、J的分解式分别代入真空中的麦克斯韦方程组中，得

??BL?BT?B??E???EL???ET????????t?t?t???EL?ET1?D??H?(??BL???BT)??J??0(?)?JL?JT??① ?0?t?t?t????D??0(??EL???ET)?????B???BL???BT?0??①式可近一步化简为

??BL?BT??EL??,??ET????t?t???EL?ET??BL??0?0?JL,??BT??0?0?JT??t?t? ②

????EL???ET???0????BL???BT?0?由纵场和横场定义，得

??EL?0??ET?0

??BL?0??BT?0

??JL??JT?0?0 ③

并且 C?1?0?0 ④

将③④两式代入②式，得

??????ET??????????EL??BT?t

??0????BL??0JT?1?ETc2?t1?ELBL?0????0JL?2?0c?t（2）以角标L和T代表纵场和横场，则电场分解为E?EL?ET，并且，得 ??ET?0????EL?0?，再由E????（?为标势）

??E???EL???ET???EL???(???)???2??? ⑤ ?0由??E???EL???ET，有

??E???ET???(???)?0 ⑥

由⑤⑥式可知E的纵场部分完全由?描述，?即为库仑规范，E的纵场对应于库仑场．

?1?2?225.若A,?是满足洛伦兹规范的电磁势，证明当?满足???22?0，那么新

c?t?????的矢势和标势A?A???，?????仍然满足洛伦兹规范。

?t?证明:电磁势A，?满足洛伦兹规范

?1????A?2?0 (1)

c?t????? 作规范变换 A?A???，?????

?t?1????1??1?2?2???A?2????22 (2) 则 ??A??2c?tc?tc?t将(1)代入(2),可看出只要?满足

1?2????22?0

c?t2?1?????0 则A?，??满足洛伦兹规范条件: ??A??2c?t26.证明在线性各向同性均匀非导电介质中，若ρ=0，J＝0，则E和B可 完全由矢势A决定．若取?＝0，这时A满足哪两个方程?

证明 （1）若??0，J?0，对线性各向同性均匀非导电介质中的单色波麦克斯韦方程组为

??E???B ① ?t?E ② ?t ??B???? ??E?0 ③ ??B?0 ④

将

B???A,E??????A ?t代入场方程①～④中，并选择洛伦兹规范

???0 ⑤ ??A????t得

?2A?2?2 ??A???2?0,?????2?0 ⑥

?t?t2对单色波

A(x,t)?A(x)e?i?t,?(x,t)??(x)e?i?t ⑦

代入⑤式中,得

???i??A ⑧

???于是

E?1????(??A)??A????????B???A ⑨ ?t可见在线性均匀非导电介质中，当??0，J?0时，E、B完全由矢势A决定．

（2）若取??0，由⑤⑥两式变为

??2A??A???2?0??t? ⑩

???A?0?2上式便是此时A满足得方程．

27. 证明沿z轴方向传播的平面电磁波可用矢势A(??)表示，其中??t?z/c，A垂直于z轴方向．

解题思路 由于E?????A,B???A，再考虑沿z方向传播的电磁波矢?t势A解析表达式，找出于?与A的关系便可证明．

证明: 利用上题中得到的自由空间矢势的方程

1?2A?A?22?0 ①

c?t2解得平面波解为

A?A0ei(k?x??t) ②

由于平面波沿z轴方向传播，故K?kez，则②式可写为 A?A0ei(kz??t)?A0e根据洛伦兹规范

c??i(t?)z?A0e??iT?A(?,?)

??A?1???0 c2?t得

???c2???A??ic2?K?A

由已知条件A?Aez，故??0 因此 E???A?i?A(?,?),B???A(?,?) ?t易犯错误 不能抓住平面电磁波的特点，未应用沿轴传播这一特定条件． 引申拓展 求解此类题目时，将E、B用A、?表示出来，再已知条件下分析解析式A、?及其之间的关系即可． 28.设真空中矢势A(x,t)可用复数傅里叶展开为

*(t)eik?x]， A(x,t)=?[ak(t)eik?x?akk*其中ak是ak的复共轭．

d2ak(t)?k2c2ak(t)?0． (1)证明ak满足谐振子方程2dt*(3)把E和B用ak和ak表示出来．

证明: 已知矢势A(x,t)的傅里叶展开式是不同频率平面波的线性叠加，因此矢势A(x,t)满足齐次达朗贝尔方程，将A(x,t)的展开式代入达朗贝尔方程，用规范辅助条件化简后便可得到要证明的结论．

（1）由A(x,t)为真空中矢势可知

??0，J?0

若采用洛伦兹规范，则A(x,t)满足达朗贝尔方程，即

1?2A?A?22?0

c?t2将A(x,t)的复数傅里叶展开式代入上式，有

**1?2????ik?x?ik?x??ik?x?ik?x?????ak(t)e?ak(t)e?a(t)e?a(t)ekk????0 22??????k?c?t?k?2即

?k???k2ak(t)eik?x?kak(t)e2*?ik?x??1?c2?d2d2*ik?x?ik?x?a(t)e?a(t)ekk??2??0 2dtk?dt?要使上式恒成立，应有

1d2ik?x?kak(t)e?a(t)e?0k2cdt 2**1d?k2ak(t)e?ik?x?a(t)e?ik?x?0k2cdt2ik?x整理以上两式，有

d2ik?x22a(t)e?ckak(t)?0k2dt 2**dik?x22a(t)e?cka(t)?0kkdt2故结论得证．

（2）若取??A?0，??0

??*(t)eik?x]??0 ??A(x,t)=????[ak(t)eik?x?ak?k?即

?k?ak(t)eik?x?k?ak*(t)e?ik?x??0 ???k为使上式恒成立，则有

k?ak(t)?0 k?ak(t)?0（3）由（2）有：k?A?0，且??0

*B???A?ik?A??*?????ik???[ak(t)eik?x?ak(t)eik?x]?

?k?*??????[ik?ak(t)eik?x?ik?ak(t)eik?x]k?A?t?dak(t)ik?xdak*(t)?ik?x????????e?e? 22dtdtk????*??????ick?ak(t)eik?x?ak(t)e?ik?x???kE??29.设A和?是满足洛伦兹规范的矢势和标势．

(1)引入一矢量函数Z(x,t)(赫兹矢量),若令?＝-??Z，证明A＝

?Z2??c?0P，写出 2?t1?Z． c2?t (2)若令?????P证明Z满足方程 ?2Z?在真空中的推迟解．

(3)证明E和B可通过Z用下列公式表出， E???(??Z)?c2?0P， B?1???Z． c2?t证明: 由题意可知：A和?满足洛伦兹规范，且?＝??Z，只需将A、?代入其规范，化简后便可得出A＝

1?Z，当?????P时，将A、?、?代入它们c2?t?A，?t满足的基本方程便可求证．综合（1）和（2），通过B???A、E?????便可得出E和B的表达形式．

（1）矢势A、标势?满足洛伦兹规范

??A?1???0 ① c2?t将?????Z(x,t)代入①式，得

??(A?1?Z)?0 2c?t可见A与

1?Z最多相差一个无散场D0，可令D0?0，有 2c?tA?1?Z ② c2?t结论得证．

（2）由A、?满足得方程可知

?2??????A?? ?t?0若?????P，结合①、②两式可得到

?2(???z)???1??t??c2?t(??Z)??1????(??P)0化简，得

?(??2?Z)?1?Z??Pc2?t2?? 0由c?1?，有

0?0?(??2?Z?1?Z2c2?t2)?c?0??P 即

??Z?1?Zc2?t2??c2?0P??P? 0次方程于达朗贝尔方程形式完全相同，故推迟解

P(rZ(x,t)?1x',t?c)4??dv' 0?r（3）将?????Z，A?1?Zc2?t分别代入 B???A，E??????A?t 可得到

B???A =??1?Zc2?t =

1?c2?t??Z ③

E??????A ?t?1?Z(2) ?tc?t=??(???Z)?=?(??Z)?由?算符运算公式

1?z ④ 22c?t??(??f)??(??f)??2f

可将④化简为

E???(??Z)??2Z?1?z c2?t2再利用③式可得到

E???(??Z)?c2?0P

因此，有

E???(??Z)?c2?0P

1???Z 2c?t30.两个质量、电荷都相同的粒子相向而行发生碰撞，证明电偶极辐射和 磁偶极辐射都不会发生．

证明: 将这两个粒子看作一个系统，运用质心坐标系，则系统的总动量为零，找出两个粒子的速度、位矢关系，根据电偶极矩、磁偶极矩的定义，只要证明，便不会产生偶极辐射．

B?设两个粒子在质心中碰撞后的位矢为x1'、x2'，速度v1、v2分别为，质量为

m1、m2，电荷量为q1、q2，质心系中系统总动量为零，即

m1v1?m2v2?0 ①

由于m1=m2，且相向而行，则有

v1+v2=0 ②

x1'=x2'

系统的电偶极矩

P?q1x1'?q2x2'?q(x1'?x2')?0 P?0

所以不会产生电偶极矩辐射． 系统的磁偶极矩

1m??x'?Jdv

211 =x1'?q1v1?x2'?q2v2

22由于 x1'//v1，x2'//v2 m?0，m?0 因此不会产生磁偶极矩辐射．

31.证明荷质比相同的不同带电粒子 构成的体系不会产生偶极辐射.

证明：设带电粒子体系有N个粒子，第i个粒子的质量为mi，电荷电量为ei，总质量为M，体系电偶极矩：

eP??eixi??imii?1在vN?mx? （1）

iii?1Nc的非相对论情形，应用质心运动定理，设质心矢径为R，

R??mx??mx?iiiii?1NNN?i?1?mi?1M

i即 ?mix??MR （2）

i?1N将（2）代入（1）中，得

P?eiMR mieiMR miP?由于系统不受外力，则质心加速度R?0，所以P?0，没有电偶极辐射。

体系磁偶极矩

11N1eim??x??Jdv???eixi??vi?2v2i?12mi?xi??mivi?i?1N1eiL 2mi其中L是体系的角动量，系统不受外力时，角动量守恒，因此

m?1eiL?0 2mi故没有磁偶极辐射。

32.设有一球对称的电荷分布，以频率?沿径向作简谐振动，求辐射场， 并对结果给以物理解释．

解: 题设中并未说明体系的线度l是否满足l?，因此不能看作偶极辐射，故以推断迟势公式求出矢势A，再讨论B和E．取电荷的对称中心为原点，场点位矢A的方向为轴，如图5.1

由于电荷分布是球对称，且沿径向做简谐运动，因此电流

J(x',t)?J(r')e?i?teR

场点P处的矢势

rJ(x',t?)dv'?c A(x,t)?0?4?r?0J(r')ec'?i?t????????????edv'e ① R?4?r对于辐射区，r?，故①式分母中的r?R

②

②式中指数部分r能否用R代替，显然取决于r'与?的比较，此处不能忽略，

ec'?e?e?ii??i2??'i2?(R?r'cos?')考虑电流分布的对称性，A只有x方向的分量．将近似条件代入①式，得

?0eikRikr'A(x,t)?J(r')eeRdv'?4?R?0eikRxikr'cos?'????????????J(r')cos?'edv' 2?4?R??0eikRxr0ikr'cos?'2????????????J(r')cos?'e?2?r'sin?'d?'dr'2?0?04?R?0eikR?bx ③

4?R2③式中b??J(r')?cos?'eikr'cos?'?2?r'2sin?'d?'dr'是一与x无关的常数．

00r0?因而辐射场

B???A?ikn?A?ikx?A?0 RE?ic2???B?0

易犯错误 （1）把此体系的辐射当偶极辐射处理，实际上题设并未告知l?这一条件，故应按一般情况讨论；（2）由电流的球对称性错误地得出A(x,t)?0，

rJ(x',t?)?cdv'?0，因为每个由电流球对称，只能得到?Jdv'?0，而A?0?r'4?rr电流元Jdv'到P点的距离r，t?，都不同．

c引申拓展 对于辐射问题，首先看清题目是否给出或隐含了偶极辐射的条件l?，若以给出才能当作偶极辐射处理，通过计算偶极矩来求B和E．否则按

辐射问题的一般方法先求矢势A，再计算B和E．

33.一飞轮半径为R，并有电荷均匀分布在其边缘上,总电量为Q．设此飞轮以恒定角速度?旋转，求辐射场．

解:题中并未已知飞轮的几何线度L与?的关系，故也不能看作偶极辐射，应作一般讨论，由于电荷匀速转动，因此等效为一稳恒电流． 由于飞轮以恒定角速度?转动，形成的电流

Q?I??v?

2?式中?为电荷线密度与时间t无关，形成的电流也是稳恒的．稳恒的电荷分布和电流分布只能产生稳恒的电场和磁场，而不会发生辐射，故辐射场E?0，B?0． 34.利用电荷守恒定律，验证A和?的推迟势满足洛伦兹条件．

证明: 本题是一个验证性问题，只需将A、?的推迟势代入洛伦兹条件

??A(x,t)?1??(x,t)?0，等式两边相等即可．由于必须利用电荷守恒定律，则2?tc只需证出上式的右边含有(?'?J)t'?c???就行了．已知A和?的推迟势为 ?t'J(x',t')?V?x?x'?dV'

A(x,t)??04?1?(x,t)?4??0??(x',t')?x?x'?VdV'

其中x是场点的位矢，x'是源点的位矢，t'与t之间的关系为

t'?t??x?x'? ① c???故 ?t?t'因为在空间的一个固定点，有

??(x,t)1?1???(x',t')dV' ②

?t4??0V?x?x'??t'??A(x,t)??04?V????J(x',t')????x?x'???dV' ???04??VJ(?1x?x'?)dV'???0?4??1V?x?x'???JdV'? 当算符?作用于?x?x'?的n次幂时，可写成

??x?x'??n???'?x?x'??n 其中?'只作用于x'，因为J(x',t')中的变量t'?t??x?x'?c，其中含有x，故??J??J?t'?(?t')??1?Jc?t'?(??x?x'??) ?1?Jc?t'?(?'?x?x'??) 另一方面，有

?'?J?(?'?J)1?Jt'?c?c?t?(?'?x?x'??) 式中(?'?J)t'?c表示t'为常数时J的散度．

对比以上两式，得

?'?J?(?'?J)t'?c???'?J

将此式代入③式，并利用r??x?x'??表示电荷到场点得距离．

??A(x,t)??0?VJ??1?04?rdV'??4??1Vr??(?'?J)t'?c??'?J?? dV' ??014????01?01VJ??rdV'?4??vr?'JdV'?4??vr(?'?J)t'?cdV

③

④

⑤ ⑥ ⑦

??右方第一项

?04??0J?'?()dV'??Vr4??1rV(?'?J)t'?cdV'

?J(r',t')??'??dV'??V?r??J(r',t')?sr?ds'??sJnds ⑧

由于V是包含了所有电荷电流得区域，在V的边界面S上J的法向分量

Jn?0，结果上式变为需，于是由⑧式得

??A?将②式与⑨合并，便得

?01(?'?J)t'?cdv'? ⑨ ?v4?r1???01??????A??(?'?J)?dV'? ⑩ ?V??t'?c?t'?c2?t4?r?由电荷守恒定律，有

(?'?J)t'?c????t'?0

式中t'是x'点的局域时间，由以上两式，得

1????A?2?0

c?t由此可见，只要电荷守恒定律成立，则推迟势A和?就满足洛伦兹条件． 易犯错误 本题主要是逻辑推理过程，其中大量运用了算符对符合函数的微分，此算符的运算过程易出错，例如认为??J(x,t')?0，?'?J(x',t')??J(x,t')，其实这里t'也是x和x'的函数．

35.如图5-2,一电偶极矩为P0的偶极子与Z轴夹角为?，以角频率?绕Z轴旋转，计

算辐射场与平均能流密度.

解: 将电偶极矩P0分解为互相垂直的电偶极子

z P0 Px,Py,Pzp?p0(sin?cos?tex?sin?sin?tey?cos?ez)

写成复数形式为 p?p0sin?(ex?iey)e?i?t? ?p0cos?ez

x ? 图5-2 y p???2p0sin?(ex?iey)e?i?t 将ex,ey用球坐标表示

p???2p0sin?(sin?er?cos?e??ie?)e?i?t?? 于是辐射场

eikRB?p?er 34??0cR??p0sin?i(kR??t??)e(?ie??cos?e?)34??0cR2

E?cB?er ?2p0sin2?i(kR??t??)?e(cos?e?ie)??4??0c2RS? ?12?0c2?0Re(E?B)(B?B)eR**

?4p02sin2? ?(1?cos2?)eR23232??0cR36.半径为R0的均匀永磁体，磁化强度为M0，球以恒定角速度?绕通过球心而垂直于M0的铀旋转，设R0?解: 由于R0?c，求辐射场和能流．

c，即R0?，辐射可认为是偶极辐射，此题实际上是求解旋

转的磁偶极矩的辐射场，只要将此体系的磁矩表示两个互相垂直的振荡磁偶极子磁矩之和，求出M及M，便可得到和．

如图5-3所示，以球心为原点，以转轴z为轴，建立球坐标系，旋转的磁矩可分解为两个互相垂直，相差?为的线振动． 2m?m0(ex?iey)e?i?t ①

4式中m0??R03M0，是磁体的总磁矩．

3由附录中直角坐标系矢量与球坐标系矢量的变换

图 5-3

ex?sin?cos?eR?cos?cos?e??sin?e? ey?sin?cos?eR?cos?cos?e??cos?e?

代入①中，得

m?m0(cos??isin?)(sin?eR?cos?e??ie?)e?i?t ?m0(sin?eR?cos?e??ie?)e?i(?t??) ②

m???2m???2m0(sin?eR?cos?e??ie?)e?i(?t??) ③ 利用电偶极辐射公式，，作以下代换

p?m, E?cB ,cB??Eb2?4ac c即得磁偶极辐射

?0eikRB?(m?eR)?eR4?c2R ④ 23??R ?020(cos?e??ie?)ei(kR??t??)3cRE?cB?eR ?平均能流

?0?2R03M03cR12?0c2?0*(ie??cos?e?)ei(kR??t??) ⑤

S? ? ?Re[E?B](B?B)eR(1?cos2?)eR* ⑥

?0?4R06M0218c2R易犯错误 将磁矩m分解为m?m0(ex?iey)e?i?t，这里虽然两振动互相垂直，但相位相同，因此合成振动不是圆振动，而这里的末端在旋转过程中的轨迹曲线为圆．

由结果可知，若磁体不旋转??0，则E?0，B?0，即静止的磁体不会产生辐射场，但可产生稳恒磁场．

37.带电粒子e作半径为a的非相对论性圆周运动，回旋频率为?，求远处的辐射电磁场和辐射能流．

解: 由于粒子作非相对论性圆周运动，v??ac，即a?，可看作电偶极辐射，带电粒子做圆周运动，相当于一个旋转电偶极子，电偶极矩振幅p0?ea，与上一题方法相似，将电偶极矩p分解为两个振动互相垂直，相位差为电偶极子，求解出p，便可得B，E.将t时刻电偶极矩分解为

?的振荡2p?p0(ex?iey)e?i?t ①

由于 ex?sin?co?seR??cos?c?eo?s in??esey?sin?cos?eR?cos?cos?e??cos?e?

代入①式，得

p?p0(cos??isin?)(sin?eR?cos?e??ie?)e?i?t ?p0(sin?eR?cos?e??ie?)e?i(?t??)图 5.3

②

p???2p???2p0(sin?eR?cos?e??ie?)e?i(?t??) ③

将③代入到电偶极子辐射场公式

eikRB?p?eR ,E?cB?eR 34??0cR得

?0?2p03B?(?ie??cos?e?)ei(kR??t??)

4?cR?0?2p03E?(cos?e??ie?)ei(kR??t??)

4?RS? ?12?0c2?0Re(E?B)(B?B)eR**

?0?4p02 ?(1?cos2?)eR2232?cR式中p0?ea．

38.设有一电矩振幅为P频率为?的电偶极子距理想导体平面为a／2处，P0，0平行于导体平面．设a?，求在R?处电磁场及辐射能流．

解: 此题中，a?，故导体表面附近场为似稳场，理想导体上出现表面电流，根据电像原理，理想导体平面对场的影响可以用电像偶极子p代替，如图5.4a，所求的电磁场和辐射能流便是这两个电偶极子p和p产生的辐射场的叠加．

''

解: 选取坐标系如图5.4b使电像偶极子p位于坐标原点O，并沿x轴的负方向，原电偶极子p位于z轴上的z?a处，则根据振荡电偶极子产生的辐射场的公式，产生的辐射场的磁感强度为

'?0p'(t')?eR4?cR?0d2?i?t ?[Pe(?ex)]?eR0'24?cRdt

)?0?2P0?i?(t?Rc ?eex?eR4?cR?0?2P0e?i(kR??t) ?ex?eR4?cRB1(R,t)?'p产生的辐射场的磁感强度为

B2(R,t)?因为R?0p'(t')?eR 4?cR22a，故R2?R，eR2?eR

于是，有

?0B2(R,t)?p'(t')?eR4?cR?0d2?i?t ?[Peex]?eR 0'24?cRdt?0?2P0e?i?t ??ex?eR4?cR''式中

|R?R2|t'?t?c ?t?R1R2?2R?R2'?(2)2cR''

R2'是p2的位矢，R2'?a

1t'?t?(R?R2'cos?)c

Ra ?t??cos?cc故

?0?2P0e?i(kR??t)?ikacos?B2(R,t)??eex?eR2 4?cR于是，所求的辐射场的磁感强度为

B(R,t)?B1(R,t)?B2(R,t) ?0?0P0e?i(kR??t)?ikacos? ?[1?e]ex?eR4?cRx2?利用 ex?1?x?2

由于a?，所以e?ikacos??1?ikacos?，所以

?0?0P0e?i(kR??t)B(R,t)?[1?(1?ikacos?)]ex?eR4?cR 2i(kR??t)??Pe ??0020(cos2?cos?e??cos?sin?e?)R4?cR电场强度

E(R,t)?cB?eR i?0?3P0aei(kR??t) ?cos?(?cos?cos?e??sin?e?)4?cR平均能流密度

*1Re[E?H]2

?0?6p02a4222 ?(cos?cos??cos?sin?)eR33232?cRS?易犯错误 作p的镜象时，要注意p'与p平行且反向，坐标的选取，可以

将坐标原点放在电四极子中心也可以放在一个电偶极子中心．

引申拓展 此题等效为两个电偶极子组成的系统，系统的总电偶极矩为零，但它包含着磁偶极矩与电四极矩，也可通过计算磁偶极矩m及电四极矩来求解辐射场．

39.设有线偏振平面波E?E0ei(kx??t)照射到一个绝缘介质球上(E0在z方向)，引起介质球极化，极化矢量P是随时间变化的，因而产生辐射．设平面波的波长

2?/k远大于球半径R0，求介质球所产生的辐射场和能流．

解: 题中给出的条件?指数因子kx?2?x?2?R0R0，意味着在介质球中各处，电场E?E0ei(kx??t)中的

?1可以忽略，即忽略来球内不同点电场的相位差，某

??一时刻t相当于处于一均匀电场E0e?i?t中，该时刻的场为似稳场，类似于静场的方法求解极化电荷的电偶极矩，另一方面l?，辐射可近似为偶极辐射．

设外场E沿极轴方向,由第二章例题2(郭硕鸿,电动力学.第二版P68.)球外

(???0)E0R30cos?电势?1中的第二项?0?，即放在均匀外场中的介质球极化后，

(??2?0)R2极化电荷在球外的电势，极化电荷的极化强度P0??(???0)??0，得到

p0?总电偶极矩

3?0(???0)E0ez

??2?04p??R0p03

4??0(???0)3 ?R0E0ez??2?0将上式的E0换成E0e?i?t，于是，系统的电偶极矩

p?4??0(???0)3R0E0e?i?tez

??2?0p???2p

因此，偶极辐射场及平均能流密度

eikRB?p?eR34??0cR ??0(???0)?E0R0i(kR??t)sin?ee?3(??2?0)cR23

E?cB?eR (???0)?2E0R03i(kR??t) ?sin?ee?(??2?0)c2R*1Re[E?H]2*c ?(B?B)eR2?0S?

?0(???0)?4E04R062 ?sin?eR2(??2?0)c3R2

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