课堂新坐标2017届高三文科数学（通用版）二轮复习：技法强化训练（一） 函数与方程思想 Word版含解析

技法强化训练(一) 函数与方程思想

题组1 运用函数与方程思想解决数列、不等式等问题

1．(2016·安阳模拟)已知{an}是等差数列，a1＝1，公差d≠0，Sn是其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则S8的值为( )

A．16 C.64

B.32 D.62

2C 由题意可知a2＝a1a5，即(1＋d)2＝1×(1＋4d)，

解得d＝2，所以an＝1＋(n－1)×2＝2n－1. ?a1＋a8?×8∴S8＝＝4×(1＋15)＝64.]

22．若2x＋5y≤2－y＋5－x，则有( ) A．x＋y≥0 C．x－y≤0

B.x＋y≤0 D.x－y≥0

B 原不等式可化为2x－5－x≤2－y－5y，构造函数y＝2x－5－x，其为R上的增函数，所以有x≤－y，即x＋y≤0.]

3．若关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，则k的取值范围是( )

?3?A.?－4，0? ??3??

C.?0，4? ??

?3?

B.?－4，0? ??3??

D.?0，4? ??

B 构造函数f(x)＝x2＋2kx－1，因为关于x的方程x2＋2kx－1＝0的两根x1，x2满足－1≤x1＜0＜x2＜2，

?f?－1?≥0，

所以?f?0?＜0，

?f?2?＞0，

?－2k≥0，即?－1＜0，?4k＋3＞0，

3?3?所以－4＜k≤0，所以k的取值范围是?－4，0?.]

??

an

4．(2016·邯郸模拟)已知数列{an}满足a1＝60，an＋1－an＝2n(n∈N)，则n的最*

小值为________．

29

由an＋1－an＝2n，得 2

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2(n－1)＋2(n－2)＋…＋2＋60 ＝n2－n＋60.

2

ann－n＋6060∴n＝＝n＋

nn－1.

60

令f(x)＝x＋x－1，易知f(x)在(0,215)上单调递减，在(215，＋∞)上单调递增．

a760102

又n∈N*，当n＝7时，7＝7＋7－1＝7， a86029

当n＝8时，8＝8＋8－1＝2. 29102an29又2＜7，故n的最小值为2.]

1

5．(2016·郑州模拟)已知函数f(x)＝xln x＋a，g(x)＝2x2＋ax，其中a≥0. (1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与曲线y＝g(x)也相切，求a的值； 1

(2)证明：x＞1时，f(x)＋2＜g(x)恒成立．

【导学号：85952003】

解] (1)由f(x)＝xln x＋a，得f(1)＝a， f′(x)＝ln x＋1，所以f′(1)＝1.1分

所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线为y＝x＋a－1.因为直线y＝x＋a－1与曲线y＝g(x)也相切，

1

所以两方程联立消元得2x2＋ax＝a＋x－1， 1

即2x2＋(a－1)x＋1－a＝0，3分

1

所以Δ＝(a－1)2－4×2×(1－a)＝0，得a2＝1. 因为a≥0，所以a＝1.4分

111

(2)证明：x＞1时，f(x)＋2＜g(x)恒成立，等价于2x2＋ax－xln x－a－2＞0恒成立．

121

令h(x)＝2x＋ax－xln x－a－2， 则h(1)＝0且h′(x)＝x＋a－ln x－1.6分

1x－1

令φ(x)＝x－ln x－1，则φ(1)＝0且φ′(x)＝1－x＝x，8分

所以x＞1时，φ′(x)＞0，φ(x)单调递增， 所以φ(x)＞φ(1)＝0.

又因为a≥0，所以h′(x)＞0，h(x)单调递增，所以h(x)＞h(1)＝0， 11

所以x＞1时，2x2＋ax－xln x－a－2＞0恒成立，11分 1

即x＞1时，f(x)＋2＜g(x)恒成立.12分 题组2 利用函数与方程思想解决几何问题

6．(2016·山西四校联考)设抛物线C：y2＝3px(p＞0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为( )

A．y2＝4x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x

B.y2＝2x或y2＝8x D.y2＝2x或y2＝16x

3p3p29p2

C 由抛物线的定义可知MF＝xM＋4＝5，∴xM＝5－4，yM＝15p－4，故以MF为直径的圆的方程为(x－xM)(x－xF)＋(y－yM)(y－yF)＝0，

3p??3p??

即?0－5＋4??0－4?＋(2－yM)(2－0)＝0. ????15p9p2y2416M

∴yM＝2＋8－32＝2＋8?yM＝4，p＝3或3. ∴C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]

7．如图1所示，在单位正方体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1B上存在一点P，使得AP＋D1P最短，则AP＋D1P的最小值是( )

图1

A．2＋2 C.2＋2

C 设A1P＝x(0≤x≤2)． 在△AA1P中，

AP＝12＋x2－2×1×x×cos 45°＝x2－2x＋1， 在Rt△D1A1P中，D1P＝1＋x2.

B.2＋22 D.2＋22

于是令y＝AP＋D1P＝x2－2x＋1＋x2＋1， 下面求对应函数y的最小值． 将函数y的解析式变形，得y＝

?2??2?

?x－?2＋?0－?2＋?x－0?2＋[0－?－1?]2，

2??2??

?22?

其几何意义为点Q(x,0)到点M?，?与点N(0，－1)的距离之和，当Q，M，

2??2N三点共线时，这个值最小，且最小值为

?2??2?

?－0?2＋?＋1?2＝2＋2.] ?2??2?

1?x2y23?

8．已知椭圆E：a2＋b2＝1(a＞b＞0)的离心率e＝2，并且经过定点P?3，2?.

??(1)求椭圆E的方程；

→·→

(2)问：是否存在直线y＝－x＋m，使直线与椭圆交于A，B两点，且满足OAOB12

＝5？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

c331

解] (1)由e＝a＝2且a2＋4b2＝1，c2＝a2－b2， x22

解得a＝4，b＝1，即椭圆E的方程为4＋y＝1.4分

2

2

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， x22??＋y＝1，由?4??y＝－x＋m

?x2＋4(m－x)2－4＝0?

5x2－8mx＋4m2－4＝0.(*)

4m2－48m

所以x1＋x2＝5，x1x2＝5，8分

22

824m－4m－4

y1y2＝(m－x1)(m－x2)＝m－m(x1＋x2)＋x1x2＝m－5m＋5＝5，

2

2

12→·→＝12得(x，y)·

由OAOB(x，y)＝1122

55，

22

124m－4m－412

即x1x2＋y1y2＝5，5＋5＝5，m＝±2.

又方程(*)要有两个不等实根，所以Δ＝(－8m)2－4×5(4m2－4)＞0，解得－5＜m＜5，所以m＝±2.12分

9．如图2，直三棱柱ABC-A′B′C′中，AC＝BC＝5，AA′＝AB＝6，D，EADBE

分别为AB和BB′上的点，且＝＝λ.

DBEB′

图2

(1)求证：当λ＝1时，A′B⊥CE；

(2)当λ为何值时，三棱锥A′-CDE的体积最小，并求出最小体积． 解] (1)证明：∵λ＝1，∴D，E分别为AB和BB′的中点.1分 又AA′＝AB，且三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱， ∴平行四边形ABB′A′为正方形，∴DE⊥A′B.2分 ∵AC＝BC，D为AB的中点，∴CD⊥AB.3分 ∵三棱柱ABC-A′B′C′为直三棱柱， ∴CD⊥平面ABB′A′，∴CD⊥A′B，4分 又CD∩DE＝D，∴A′B⊥平面CDE. ∵CE?平面CDE，∴A′B⊥CE.6分

(2)设BE＝x，则AD＝x，DB＝6－x，B′E＝6－x.由已知可得C到平面A′DE的距离即为△ABC的边AB所对应的高h＝

?AB?2

AC－?2?＝4，8分

??

2

1

∴VA′-＝V＝h ′CDEC-ADE

3(S四边形ABB′A－S△AA′D－S△DBE－S△A′B′E)·11??

＝3?36－3x－2?6－x?x－3?6－x??·h ??

22

＝3(x2－6x＋36)＝3(x－3)2＋27](0＜x＜6)，11分 ∴当x＝3，即λ＝1时，VA′-CDE有最小值18.12分

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9l85.html