广东省珠海一中等六校2012届高三高考模拟试题数学文

珠海市第一中学2012年高考模拟考试

文科数学试题

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1．已知a,b?R,且

a?bi1?i?2?i，则 a?b?( )

A．2 B．4 C．-2 D．-4

2. 已知集合A?{0,1,2,3,4}，集合B?{x|x?2n,n?A}，则A?B?（ ）

A ．{0} B．{0,4} C．{2,4} D．{0,2,4} 3．若?是锐角，sin(?－

A.

26?16?6)=

13, 则cos?的值等于( )

C.

23?14 B.

26?16 D.

23?13

????4．如图，正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF=( )

?11???A．AB+221C．?AB?2????AD 12AD

B．?122?1????1???D．AB-AD

22AB?1AD

DECFAB5．设a,b是平面?内两条不同的直线，l是平面?外的一条直线，则“l?a，l?b”是“l??”的( )

A．充要条件 B．充分而不必要的条件 C．必要而不充分的条件 D．既不充分也不必要的条件 6. 如果a?b，则下列各式正确的是（ ） A.a?lgx?b?lgx B.ax?bxD.a?2?b?2

xx2222 C.a?b

?lgan?成等差数列，7. 设正项等比数列?an?，公差d?lg3，且?lgan?的前三项和为6lg3，

则?an?的通项为（ ）

A．nlg3 B．3n C．3n D．3n?1

????8. 已知向量a?(2cos?,2sin?),b?(3cos?,3sin?),若a与b的夹角为120?, 则直线

2xcos??2ysin??1?0与圆(x?cos?)?(y?sin?)?1的位置关系是

22( )

A．相交且不过圆心 B. 相交且过圆心 C．相切 D．相离

9．已知函数f(x)＝log2(x2－ax＋3a)在区间[2，＋∞)上递增，则实数a的取值范围是

（ ）

A.(－∞，4) B.(－4，4] C.(－∞，－4)∪[2，＋∞) D.[－4，2)

10. 若定义在正整数有序对集合上的二元函数f满足：①f（x，x）＝x，②f（x，y）＝f(y,x) ③(x+y)f(x,y)=yf(x,x+y)，则f（12,16）的值是（ ） A. 12 B. 16 C ．24 D. 48

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. （一）必做题（11～13题）

?x?0?11. 设实数x,y满足不等式组?y?x，若z?x?3y的最大值为12，则实

?2x?y?k?0?数k的值为 ．

12. 执行右面的程序框图，如果输入的n是4，则输出的p的值是 . 13. 对于三次函数f(x)?ax3?bx2?cx?d（a?0），定义：设f??(x)是函数y

＝f(x)的导数y＝f?(x)的导数，若方程f??(x)＝0有实数解x0，则称点(x0，f(x0))为函数y＝f(x)的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．” 请你将这一发现为条件，函数f(x)?x?为 ； 计算f(12013)?f(22013)?f(32013)?????f(20122013)= .

332x?3x?214，则它的对称中心

（二）选做题（14-15题，考生只能从中选做一题. 两题都答的按第14题正误给分.）

?(?)的点与直线14．（极坐标与参数方程选做题）极坐标系下，圆??2cos?上

2?sin?(??4)?2的最大距离是 .

15.（几何证明选讲选做题）如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，

CD?AB于点D，且AD?4DB，设?COD??，则cos2?＝ .

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16.（本小题满分12分）

已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{Sn?1}是公比为2的等比数列，a2是a1和a3的等比中项.

（1）求数列{an}的通项公式； （2）求数列{n?an}的前n项和Tn.

17．（本小题满分12分）

一汽车厂生产A,B,C三类轿车, 每类轿车均有舒适型和标准型两种型号, 某月的产量如表所示(单位:辆)，若按A, B, C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆, 则A类轿车有10辆. （Ⅰ）求z的值；

（Ⅱ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆, 经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这8辆轿车的得分看作一个总体, 从中任取一个分数a.记这8辆轿车的得分的平均数为x，定义事件E?{a?x?0.5，且函数f 舒适型 标准型 轿车A 100 300 轿车B 150 450 轿车C z 600 ?x??ax?ax?2.31没有零点}，求事件E发生的概率.

2

18. （本小题满分14分）

??????1已知向量m?(3sin2x?1,cosx),n?(,cosx)，设函数f(x)?m?n.

2(1)求函数f(x)的最小正周期及在?0,????上的最大值； 2???6)?35(2)若△ABC的角A、B所对的边分别为a、b，A、B为锐角，f(A?B2，

f(??12)?1010，

又a?b?2?1，求a、b的值．

19.

如

图

1

，

三

棱

柱

ABC?A'B'C' 中，

0?ACB?90,AA'?平面ABC,AC?BC?AA'?2，A'',B'',C''分别是侧棱

AA'、BB'、CC'的中点，D、E分别是A'C'、A'B'的中点. 由截面A''DE和截面B''C''DE截去两部分后得如图2的几何体.

（1）求证：平面A''DE?平面B''C''DE；

（2）设?A''DE的面积为S，?A''DE在平面A''B''C''上的正投影的面积为S'，求S':S； （3）求图2中几何体的体积.

D

EDA'C'

20. 已知b＞?1，c＞0，函数f(x)?x?b的图像与函数g(x)?x2?bx?c的图像相切． （Ⅰ）设b??(c)，求?(c)；

g(x)f(x)ABA''B''CEB'C''A''B''AB图2

C''C图1

（Ⅱ）设D(x)?(其中x＞?b)在[?1,??)上是增函数，求c的最小值；

（Ⅲ）是否存在常数c，使得函数H(x)?f(x)g(x)在(??,??)内有极值点？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

21.（本小题满分14分）

如图，已知抛物线C：y?2px?p?0?和⊙M：(x?4)2?y2?1，过抛物线C上

2一点H(x0,y0)(y0?1)作两条直线与⊙M相切于A、B两点，分别交抛物线于E,F两点，圆心点M到抛物线准线的距离为

174．

（Ⅰ）求抛物线C的方程；

（Ⅱ）当?AHB的角平分线垂直x轴时，求直线EF的斜率； （Ⅲ）若直线AB在y轴上的截距为t，求t的最小值．

珠海市第一中学2012年高考模拟考试

文科数学试题答题卷

班级 学号 姓名

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，满分50分． 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． 11、 12、 13、 14、 15、 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．

16．（本小题满分12分） 解：

17．（本小题满分12分） 解：

18．（本小题满分14分） 解：

19．（本小题满分14分） 解：

DA'DC'EEB'A''C''A''C''B''B''ACACBB图2

图1

20．（本小题满分14分） 解：

21．（本小题满分14分）

珠海一中2012年高三三模文数试题参考答案

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只

有一项是符合题目要求的． 1. A 2. D 3. A 4. D 5. C 6. D 7. B 8. B 9. B 10. D 二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分. 11. ?9 12. 3 13. (,1); 2012 14.

21322?1 15. ?725

三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16. 解：（1）因为{Sn?1}是公比为2的等比数列

n?1n?1n?1?(a1?1)?2，Sn?(a1?1)?2?1 所以Sn?1?(S1?1)?2从而a2?S2?S1?a1?1，a3?S3?S2?2a1?2

因为a2是a1和a3的等比中项

所以(a1?1)2?a1?(2a1?2)，解得a1?1或a1??1----------------4分

当a1??1时，S1?1?0，{Sn?1}不是等比数列，所以a1?1----------------5分 所以Sn?2n?1

当n?1时，an?Sn?Sn?1?2n?1

当n?1时，a1?1，符合an?2n?1，所以n?N*，an?2n?1----------------6分 （2）Tn?1?20?2?21?3?22???n?2n?1①

2Tn?1?2?2?2?3?2???n?2②----------------8分

123n①-②得

?Tn?2?2???201n?1?n?2n

2(2?1)2?10nTn??(2?2???201n?1)?n?2??(n)?n?2 ?(n?1)2?1----------------1

nn2分

17.解：(Ⅰ)设该厂本月生产轿车为n辆,由题意得:

50n?10100?300,所以n?2000.

z=2000-100-300-150-450-600=400 ………………………………4分

(Ⅱ) x?18 8辆轿车的得分的平均数为

(9.4?8.6?9.2?9.6?8.7?9.3?9.0?8.2)?9 …6分

把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数a对应的基本事件的总数为8个, 由a?x?0.5，且函数f?x??ax?ax?2.31没有零点

2?a?9?0.5???8.5?a?9.24………………………………………………10分 2???a?9.24a?0?E发生当且仅当a的值为：8.6, 9.2, 8.7, 9.0共4个, ?p?E??48?12 ………………………………………………………12分

32sin2x?12?cosx?sin(2x?2???18. 解：(1)f(x)?m?n??6) ∴T?2?2??.

由0≤x≤12?2得:

?6≤2x??6≤7?6

∴?≤sin(2x??635)≤1 ∴f(x)max?1 ……………………………………7分

35?sinA?B22(2) ∵f(A??6)? ∴cos2A?551?cos2A2)?1010?15

1010∵A为锐角 ∴sinA?由正弦定理知分

19. 解：（1）

ab?sinAsinB 又f(2?a???12?sinB?

?2b 又a?b?2?1?a?2，b?1.………14

AA'?平面ABC???BC?AA'BC?平面ABC?????????BC?AC??BC?平面ACC'A'???BC?DA'' ?AC?AA'?A??????DA''?平面ACC'A'??B''、C''分别为BB'、CC'中点?BC//B''C''???DA''?B''C''BC?DA''??A''DC''中可得A\C\?A\D22????2?C\D?A\D?C\D??A\D?平面B\C\DEC\D?B''C''?C\????A\D?平面A\DE????????????平面A\DE?平面B\C\DE （2）(3) VA\?B\C\DE?13SB\C\DE?A\D?1213?12A'DEB'C'22

DE(2?1)2?2?1A''C''C''B'' VABC?A\B\C\?SABC?AA\?所求几何体体积为?2?2?1?2

A''B''ABVA\?B\C\DE?VABC?A\B\C\?32CABC20. 解：【方法一】由f(x)?g(x)?x?(b?1)x?c?b?0，

图

图

依题设可知，??(b?1)2?4c?0． ∵b＞?1，c＞0，

∴b?1?2c，即b??(c)?2c?1．

【方法二】依题设可知f?(x)?g?(x)，即2x?b?1， ∴x?1?b于是f(21?b2为切点横坐标，

)?g(1?b2)，化简得(b?1)?4c2．

同法一得b??(c)?2c?1． （Ⅱ）依题设D(x)?c(x?b)2x?bx?cx?bc2?x?cx?bcx?b，

∴D?(x)?1??(1?x?b)(1?)．

∵D(x)在[?1,??)上是增函数， ∴(1?cx?bcx?b)≥0在[?1,??)上恒成立，

)(1?又x＞?b，c＞0，∴上式等价于1?cx?b≥0在[?1,??)上恒成立，

即c≤x?b，而由（Ⅰ）可知c≤x?2c?1， ∴c≥1?x．

又函数1?x在[?1,??)上的最大值为2， ∴c≥2，解得c≥4，即c的最小值为4．

（Ⅲ）由H(x)?(x?b)(x2?bx?c)?x3?2bx2?(b2?c)x?bc， 可得H?(x)?3x2?4bx?(b2?c)．

令3x2?4bx?(b2?c)?0，依题设欲使函数H(x)在(??,??)内有极值点， 则须满足??4(b2?3c)?4(c?4c?1)＞0，

亦即c?4c?1＞0，解得c＜2?3或c＞2?3，

又c＞0，∴0＜c＜7?43或c＞7?43．

故存在常数c?(0,7?43)?(7?43,??)，使得函数H(x)在(??,??)内有极值点．（注：若△≥0，则应扣1分．）

21. 解：（Ⅰ）∵点M到抛物线准线的距离为4?∴p?12p2?174，

，即抛物线C的方程为y2?x． ………………3分

（Ⅱ）法一：∵当?AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4,2)，∴kHE??kHF，

设E(x1,y1)，F(x2,y2)， ∴

yH?y1xH?x1??yH?y2xH?x2，∴

yH?y1yH?y122??yH?y2yH?y222，

∴y1?y2??2yH??4． ………………………………6分

kEF?y2?y1x2?x1?y2?y1y?y2221?1y2?y1??14． ………………8分

法二：∵当?AHB的角平分线垂直x轴时，点H(4,2)，∴?AHB?60?，可得

kHA?3，kHB??3，∴直线HA的方程为y?3x?43?2，

联立方程组???y?3x?43?2y2?x，得3y2?y?43?2?0，

∴yE?3?63，xE??3?6313?433． ………………………………6分

同理可得yF?，xF?13?433，∴kEF??y1x1?414． ………………8分 4?x1y1（Ⅲ）法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)，∵kMA?，∴kHA?，

可得，直线HA的方程为(4?x1)x?y1y?4x1?15?0， ………………9分 同理，直线HB的方程为(4?x2)x?y2y?4x2?15?0，

∴(4?x1)y0?y1y0?4x1?15?0， (4?x2)y0?y2y0?4x2?15?0，

222………………11分

∴直线AB的方程为(4?x)y0?yy0?4x?15?0， ………………12分 令x?0，可得t?4y0?15y0(y0?1)， ………………………………13分

∵t关于y0的函数在[1,??)单调递增， ∴tmin??11． 法

2………………14分 设

2二

4：点H(2m,?m)(，m1)HM?m?7m?16242，

HA?m?7m?15． ……………9分

以H为圆心，HA为半径的圆方程为(x?m2)2?(y?m)2?m4?7m2?15， ⊙M方程：(x?4)2?y2?1． ② ……………………11分 ①-②得：

直

(x?2①

线

2m?AB2的

4?m)15m方程为

)m?(. ……………………124分 ?m?(y(m?1)， ………………13分

当x?0时，直线AB在y轴上的截距t?4m?∵t'?4?15m2?0，∴t关于m的函数在[1,??)上单调递增，

∴当m?1时，tmin??11． ··················································································14分

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