三年高考两年模拟 - 数学系列

第十六章 系列4

第一部分 三年高考荟萃 2010年高考题

一、选择题

1.（2010湖南文）4. 极坐标p?cos?和参数方程?别是

A. 直线、直线 B. 直线、圆 C. 圆、圆 D. 圆、直线 【答案】 D

?x??1?t?y?2?t（t为参数）所表示的图形分

2.（2010重庆理）（3）lim?x?2?24?x?414???= x?2?141A. —1 B. —【答案】 B 解析：lim?x?2 C. D. 1

?24?x?4?2?x?=(??lim2(x?4)(x?2)x?2?x?21limx?2?1x?2??14

3.（2010北京理）（5）极坐标方程（p-1）（???）=（p?0）表示的图形是

（A）两个圆 （B）两条直线

（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线 【答案】C

4.（2010湖南理）5、?421xdx等于

A、?2ln2 B、2ln2 C、?ln2 D、ln2

1

5.（2010湖南理）3、极坐标方程??cos?和参数方程?图形分别是

A、圆、直线 B、直线、圆 C、圆、圆 D、直线、直线

?x??1?t?y?2?3t（t为参数）所表示的

?x?2?3cos?C6.（2010安徽理）7、设曲线的参数方程为?（?为参数），直线l的方程

?y??1?3sin?为x?3y?2?0，则曲线C上到直线l距离为A、1 【答案】B

B、2

71010的点的个数为

D、4

C、3

【解析】化曲线C的参数方程为普通方程：(x?2)?(y?1)?9，圆心(2,?1)到直线

x?3y?2?0的距离d?22|2?3?(?1)?2|1071010?71010?3，直线和圆相交，过圆心和l平行

的直线和圆的2个交点符合要求，又符合要求，所以选B.

?3?71010，在直线l的另外一侧没有圆上的点

2

【方法总结】解决这类问题首先把曲线C的参数方程为普通方程，然后利用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，这就是曲线C上到直线l距离为71010，然后再判断知

71010?3?71010，进而得出结论.

二、填空题

cos?6sincos?61.（2010上海文）3.行列式

sin?6?6的值是 。

【答案】 0.5

cos?6sincos?6解析：考查行列式运算法则

sin?6?6=cosπ6cosπ6?sinπ6sinπ6?cos?3?12

2.（2010陕西文）15.（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）

A.（不等式选做题）不等式2x?1<3的解集为. 。 【答案】?x?1?x?2?

解析：2x?1?3??3?2x?1?3??1?x?2

B.（几何证明选做题）如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3cm，4cm，以

AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝ cm.

【答案】

165

解析：?CD?AB,由直角三角形射影定理可得

BC2?BD?BA,又BC?4,BA?5,所以BD?165

?x?cos?,C.（坐标系与参数方程选做题）参数方程?（?为参数）化成普通方程为

y?1?sin?? 【答案】x2＋（y－1）2＝1.

3

解析：x2?(y?1)2?cos2??sin2??1

3.（2010北京理）（12）如图，?O的弦ED，CB的延长线交于点A。若BD?AE，AB＝4, BC＝2, AD＝3,则DE＝ ；CE＝ 。 【答案】5 27

4.（2010天津文）（11）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P。若PB=1，PD=3，则【答案】

13BCAD的值为 。

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于容易题。

因为A,B,C,D四点共圆，所以?DAB??PCB,?CDA??PBC,因为?P为公共角，所以 ⊿PBC∽⊿PAB,所以

BCAD=PBPD=

13

【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重要内容，也是考查的热点。

5.（2010天津理）（14）如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P，若

PBPA=1PC1BC,=,则的值为 。 2PD3AD【答案】

66

【解析】本题主要考查四点共圆的性质与相似三角形的性质，属于中等题。

因为A,B,C,D四点共圆，所以?DAB??PCB,?CDA??PBC,因为?P为公共角，所以

PBPDPCPABCAD⊿PBC∽⊿PAB,所以??.设OB=x，PC=y，则有

x3y?y2x?x?6y2，所以BCAD?x3y?66

【温馨提示】四点共圆时四边形对角互补，圆与三角形综合问题是高考中平面几何选讲的重

4

要内容，也是考查的热点。

6.（2010天津理）（13）已知圆C的圆心是直线??x?1,?y?1?t与x轴的交点，且圆C(t为参数）与直线x+y+3=0相切，则圆C的方程为 【答案】(x?1)2?y2?2

本题主要考查直线的参数方程，圆的方程及直线与圆的位置关系等基础知识，属于容易题。 令y=0得t=-1，所以直线??x?t?y?1?t与x轴的交点为（-1.0）

因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即r?|?1?0?3|2?2，所以圆C

的方程为(x?1)2?y2?2

【温馨提示】直线与圆的位置关系通常利用圆心到直线的距离或数形结合的方法求解。 7.（2010广东理）15、（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系（ρ，θ）（0 ≤ θ<2π）中，曲线ρ=2sin? 与pcos???1 的交点的极坐标为______． 【答案】(2,3?4)．

由极坐标方程与普通方程的互化式??x??cos?,?y??sin?知，这两条曲线的普通方程分别为

?x??1,?x??cos?,3?22)．由?得点（-1，1）的极坐标为(2, x?y?2y,x??1．解得?4?y??sin??y?1.8.（2010广东理）14、（几何证明选讲选做题）如图3，AB，CD是半径为a的圆O的两条弦，它们相交于AB的中点P，PD=【答案】

98a

2a3，∠OAP=30°，则CP＝______. 因为点P是AB的中点，由垂径定理知， OP?AB. 在Rt?OPA中，BP?AP?acos30?? 32a.由相交线定理知，

BP?AP?CP?DP，即

32a?32a?CP?23a，所以CP?98a．

5

9.（2010广东文）15.（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系(?,?)(0???2?)中，曲线?(cos??sin?)?1与?(cos??sin?)?1的交点的极坐标为 .

10.（2010广东文）14.（几何证明选讲选做题）如图3，在直角梯形ABCD中，DC∥AB,CB?AB,AB=AD=a,CD=点E,F分别为线段AB,AD的中点，则EF= 【答案】

a2a2,

解：连结DE，可知?AED为直角三角形。则EF是Rt?DEA斜边上的中线，等于斜边的一半，为

a2.

三、解答题

1.（2010辽宁理）（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，?ABC的角平分线AD的延长线交它的外接圆于点E （I）证明：?ABE?ADC

12AD?AE，求?BAC的大小。

（II）若?ABC的面积S?证明：

（Ⅰ）由已知条件，可得?BAE??CAD

因为?AEB与?ACB是同弧上的圆周角，所以?AEB=?ACD 故△ABE∽△ADC. ??5分 （Ⅱ）因为△ABE∽△ADC，所以又S=

12ABAE12?ADAC，即AB·AC=AD·AE.

AB·ACsin?BAC，且S=AD·AE，故AB·ACsin?BAC= AD·AE.

则sin?BAC=1，又?BAC为三角形内角，所以?BAC=90°. ??10分 2.（2010辽宁理）（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知P为半圆C： （?为参数，0????）上的点，点A的坐标为（1,0），

6

O为坐标原点，点M在射线OP上，线段OM与C的弧的长度均为

?3。

（I）以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求点M的极坐标； （II）求直线AM的参数方程。 解：

（Ⅰ）由已知，M点的极角为故点M的极坐标为（

?3?3，且M点的极径等于

?3，

，

?3）. ??5分

3?6（Ⅱ）M点的直角坐标为（

?6,），A（0,1），故直线AM的参数方程为

??x?1?(?1)t?6?（t为参数） ??10分 ??y?3?t?6?3.（2010辽宁理）（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a,b,c均为正数，证明：a?b?c?(等号成立。 证明：（证法一）

因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得

22221a?1b?1c)?63，并确定a,b,c为何值时，

2a?b?c?3(abc)31a?1b?1c?3(abc)2222?13 ①

??111?所以?????9(abc)3 ② ??6分

?abc?2故a?b?c?(22221a?231b?1c2)?3(abc)3?9(abc)2?23.

又3(abc)3?9(abc)??227?63 ③

所以原不等式成立. ??8分

2当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立。当且仅当3(abc)3?9(abc)成立。

?23时，③式等号

7

1即当且仅当a=b=c=34时，原式等号成立。 ??10分 （证法二）

因为a，b，c均为正数，由基本不等式得 a?b?2abb?c?2bc c?a?2ac222222所以a2?b2?c2?ab?bc?ac ① 同理

1a2abbcac1112222故a?b?c?(??)

abc?1b2?1c2?1?1?1 ② ??6分

?ab?bc?ac?3?631ab?31bc?31ac ③

所以原不等式成立. ??8分

当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，(ab)2?(bc)2?(ac)2?3时，③式等号成立。

1即当且仅当a=b=c=34时，原式等号成立。 ??10分

4.（2010福建理）21．本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题做答，满分14分。如果多做，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中。 （1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

?1已知矩阵M=??ba??cN???，1??02??2MN??，且?d???20??， 0?（Ⅰ）求实数a,b,c,d的值；（Ⅱ）求直线y?3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程。 （2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

8

?2t,?x?3??2在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为?（t为参数）。在极坐标系（与

2?y?5?t??2直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，圆C的方程为??25sin?。

（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为(3,5)， 求|PA|+|PB|。

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 已知函数f(x)?|x?a|。

（Ⅰ）若不等式f(x)?3的解集为?x|?1?x?5?，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f(x)?f(x?5)?m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。

（1）选修4-2：矩阵与变换

【命题意图】本小题主要考查矩阵与变换等基础知识，考查运算求解能力。 ?c?0?2?a??1???2?ad?0?b??1【解析】（Ⅰ）由题设得?，解得?；

bc?0??2c?2?????2b?d?0?d?2（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y?3x上的两（0，0），（1，3），

?1由???1?1????1??00???????00??1?，????1?1????1??13???2?，（1，3）在矩阵M所对应????得：点（0，0）

??2?的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），从而

直线y?3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y??x。 （2）选修4-4：坐标系与参数方程

【命题意图】本小题主要考查直线的参数方程、圆的极坐标方程、直线与圆的位置关系等基础知识，考查运算求解能力。

9

【解析】（Ⅰ）由??25sin?得x2?y2?25y?0,即x2?(y?225)?5.

2（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得(3?t)?(222t)?5，

2即t2?32t?4?0,由于??(32)2?4?4?2?0，故可设t1,t2是上述方程的两实根， 所以???t1?t2?32??t1t2?4,又直线l过点P(3,5),故由上式及t的几何意义得：

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=32。 （3）选修4-5：不等式选讲

【命题意图】本小题主要考查绝对值的意义、绝对值不等式等基础知识，考查运算求解能力。 【解析】（Ⅰ）由f(x)?3得|x?a|?3，解得a?3?x?a?3，又已知不等式f(x)?3的

?a?3??1?a?3?5解集为?x|?1?x?5?，所以?，解得a?2。

（Ⅱ）当a?2时，f(x)?|x?2|，设g(x)=f(x)?f(x?5)，于是 ??2x?1,x

?2x?1,x>2?当x<-3时，g(x)>5；当-3?x?2时，g(x)>5；当x>2时，g(x)>5。

5.（2010江苏卷）21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应．．．．．．．．．．．的答题区域内作答。若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或．．．．．．．．演算步骤。

A． 选修4-1：几何证明选讲 （本小题满分10分）

AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。

[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证能力。

（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC， 又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，

10

AOBCD

∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO， 所以∠DCO=300，∠DOC=600，

所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。 （方法二）证明：连结OD、BD。

因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=900，AB=2 OB。 因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=90。 又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA， 于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。 即2OB=OB+BC，得OB=BC。 故AB=2BC。

B． 选修4-2：矩阵与变换 （本小题满分10分）

在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵M=??k?00??0,N=??1??11?点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，△A1B1C1?，0?0

的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。

[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。

解：由题设得MN???0由??1k??0??0??0?20?k?00??0??1??11??0???0??10?2k?? 0??2??0???1??0k?、B1（0，-2）、C1（k，-2）。 ?，可知A1（0，0）

?2?计算得△ABC面积的面积是1，△A1B1C1的面积是|k|，则由题设知：|k|?2?1?2。 所以k的值为2或-2。

C． 选修4-4：坐标系与参数方程 （本小题满分10分）

在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。

11

[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。 解：?2?2?cos?，圆ρ=2cosθ的普通方程为：x2?y2?2x,(x?1)2?y2?1，

直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：3x?4y?a?0，

|3?1?4?0?a|3?422又圆与直线相切，所以?1,解得：a?2，或a??8。

D． 选修4-5：不等式选讲 （本小题满分10分）

设a、b是非负实数，求证：a3?b3?ab(a?b)。

22[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。 （方法一）证明：a3?b3??(a??(a?55ab(a?b)?a222a(a?b)?b2b(b?a)

b)[(a)?(b)]

b)[(a)?(a)(b)?(a)(b)?(a)(b)?(b)]

2432234因为实数a、b≥0，(a?b)2?0,[(a)4?(a)3(b)?(a)2(b)2?(a)(b)3?(b)4]?0 所以上式≥0。即有a3?b3?ab(a?b)。

22（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得

a?b??(a?33ab(a?b)?a5222a(a?b)?b2b(b?a)b)[(a)?(b)]

5当a?b时，a?当a?b时，a?33所以a?b?b，从而(a)5?(b)5，得(a?b，从而(a)5?(b)5，得(a?22b)[(a)?(b)]?0； b)[(a)?(b)]?0；

5555ab(a?b)。

[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时．．．．．．．应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

2009年高考题

12

一、填空题

1、（09广东理14）（坐标系与参数方程选做题）若直线?4x?ky?1垂直，则常数k= . ?x?1?2t373【解析】将?化为普通方程为y??x?,斜率k1??,

222?y?2?3t?x?1?2t?y?2?3t（t为参数）与直线

当k?0时,直线4x?ky?1的斜率k2??32724k,由k1k2?????3??4????????1得k??6; 2??k?当k?0时,直线y??综上可知,k??6. 答案 ?6

x?与直线4x?1不垂直.

2、(09广东理15) (几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，

?ACB?30，则圆O的面积等于 .

o

图3

【解析】连结AO,OB,因为 ?ACB?30,所以?AOB?60,?AOB为等边三角形,故圆

2O的半径r?OA?AB?4,圆O的面积S??r?16?.

oo答案 16?

3、(天津理13) 设直线l1的参数方程为?则l1与l2的距离为_______

【解析】由题直线l1的普通方程为3x?y?2?0，故它与与l2的距离为答案

3105|4?2|10?3105?x?1?t?y?1?3t（t为参数），直线l2的方程为y=3x+4

。

4、（09安徽理12）以直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中

13

取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为????x?1?2cos?它与曲线? (??R)，

4?y?2?2sin?（?为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_______.

【解析】直线的普通方程为y?x，曲线的普通方程(x?1)2?(y?2)2?4

|1?2|1?1∴|AB|?222?(答案 二、解答题

)?214 5、（09海南22）本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，已知?ABC的两条角平分线AD和CE相交于H，?B?600，F在AC上， 且AE?AF。

（Ⅰ）证明：B,D,H,E四点共圆： （Ⅱ）证明：CE平分?DEF。 解：（Ⅰ）在△ABC中，因为∠B=60°， 所以∠BAC+∠BCA=120°.

开始 因为AD，CE是角平分线， 所以∠HAC+∠HCA=60°， 故∠AHC=120°.

于是∠EHD=∠AHC=120°. 因为∠EBD+∠EHD=180°， 所以B,D,H,E四点共圆.

a?1 a?2a?1 否 （Ⅱ）连结BH,则BH为∠ABC的平分线，得∠HBD=30° 由（Ⅰ）知B,D,H,E四点共圆，

所以∠CED=∠HBD=30°.

又∠AHE=∠EBD=60°，由已知可得EF⊥AD， 可得∠CEF=30°. 所以CE平分∠DEF.

a?100? 是 输出a 结束 6、（09海南23）（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。

?x??4?cost,?x?8cos?, 已知曲线C1：? （t为参数）， C2：?（?为参数）。

y?3?sint,y?3sin?,??（1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；

（2）若C1上的点P对应的参数为t??2，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线

?x?3?2t,C3:? （t为参数）距离的最小值。

y??2?t? 14

解：（Ⅰ）C1:(x?4)?(y?3)?1,C2:C1为圆心是（?4,3)，半径是1的圆.

22x264?y29?1.

C2为中心是坐标原点，焦点在x轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆.

（Ⅱ）当t??2时，P(?4,4).Q(8cos?,3sin?),故M(?2?4cos?,2?5532sin?).

C3为直线x?2y?7?0,M到C3的距离d?|4cos??3sin??13|.

从而当cos??45,sin???35时，d取得最小值855.

7、（09海南24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

如图，O为数轴的原点，A,B,M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y 表示C到A距离4倍与C道B距离的6倍的和. （1）将y表示成x的函数；

（2）要使y的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？

解

（Ⅰ）y?4|x?10|?6|x?20|,0?x?30. （Ⅱ）依题意，x满足

{

4|x?10|?6|x?20|?70,0?x?30.

解不等式组，其解集为【9，23】 所以 x?[9,23]8、（09江苏）A.选修4 - 1：几何证明选讲

如图，在四边形ABCD中，△ABC≌△BAD. 求证：AB∥CD.

【解析】 本小题主要考查四边形、全等三角形的有关知识， 考查推理论证能力。满分10分。

证明：由△ABC≌△BAD得∠ACB=∠BDA，故A、B、C、D四点共圆，从而∠CBA=∠CDB。再由△ABC≌△BAD得∠CAB=∠DBA。因此∠DBA=∠CDB，所以AB∥CD。 B. 选修4 - 2：矩阵与变换

15

求矩阵A???3?22??的逆矩阵. 1?【解析】 本小题主要考查逆矩阵的求法，考查运算求解能力。满分10分。 解：设矩阵A的逆矩阵为??3x?2z?2x?z?x?zy??3则,??w??22??x??1??zy??1???w??00??, 1?即?3y?2w??1???2y?w??00??3x?2z?1,?3y?2w?0,故 ,???1??2x?z?0,?2y?w?1,解得：x??1,z?2,y?2,w??3， 从而A的逆矩阵为A?1??1???22??. ?3?C. 选修4 - 4：坐标系与参数方程

1?x?t???t,（t为参数，t?0）. 已知曲线C的参数方程为??y?3(t?1)?t?求曲线C的普通方程。

【解析】本小题主要考查参数方程和普通方程的基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。

解 因为x?t?21t?2,所以x?2?t?221t?y3,

故曲线C的普通方程为：3x?y?6?0. D. 选修4 - 5：不等式选讲

设a≥b＞0,求证：3a?2b≥3ab?2ab.

证明：3a?2b?(3ab?2ab)?3a(a?b)?2b(b?a)?(3a?2b)(a?b).

2222因为a≥b＞0,所以a?b≥0，3a?2b＞0，从而(3a?2b)(a?b)≥0，

332222223322即3a?2b≥3ab?2ab.

9、（09辽宁理22）（本小题满分10分）选修4－1：几何证明讲

3322AC上 已知 ?ABC 中，AB=AC, D是 ?ABC外接圆劣弧?的点（不与点A,C重合），延长BD至E。 (1)求证：AD的延长线平分?CDE；

(2)若?BAC=30，?ABC中BC边上的高为2+3，求?ABC 外接圆的面积。

解（Ⅰ）如图，设F为AD延长线上一点

16

∵A，B，C，D四点共圆， ∴∠CDF=∠ABC

又AB=AC ∴∠ABC=∠ACB, 且∠ADB=∠ACB, ∴∠ADB=∠CDF, 对顶角∠EDF=∠ADB, 故∠EDF=∠CDF, 即AD的延长线平分∠CDE.

（Ⅱ）设O为外接圆圆心，连接AO交BC于H,则AH⊥BC. 连接OC,A由题意∠OAC=∠OCA=150, ∠ACB=750, ∴∠OCH=600. 设圆半径为r,则r+

32r=2+3,a得r=2,外接圆的面积为4?。

10、（09辽宁理23）（本小题满分10分）选修4－4 ：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy

?中，以O为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为?cos（??）

3=1，M,N分别为C与x轴，y轴的交点。

（1）写出C的直角坐标方程，并求M,N的极坐标； （2）设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程。

解（Ⅰ）由?cos(?? ?(12cos??32?3)?1得

sin?)?1

从而C的直角坐标方程为

12即x?3y?2x?32y?1

23323?,)32??0时，??2，所以M(2,0)???2时，??，所以N(（Ⅱ）M点的直角坐标为（2，0） N点的直角坐标为(0,233)

33),则P点的极坐标为(23?,),36所以P点的直角坐标为

(1.

所以直线OP的极坐标方程为???,??(??,??)?

11、（09辽宁理24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲

17

设函数f(x)?|x?1|?|x?a|。 （1）若a??1,解不等式f(x)?3；

（2）如果?x?R,f(x)?2,求a 的取值范围。

解（Ⅰ）当a=－1时，f(x)=︱x－1?+︱x+1?. 由f(x)≥3得 ︱x－1?+︱x+1|≥3 （ⅰ）x≤－1时，不等式化为 1－x－1－x≥3 即－2x≥3

2008年高考题

一、填空题

1．（2008广东理）（坐标系与参数方程选做题）已知曲线C1，C2的极坐标方

18

程分别为?cos??3，??4cos???≥0，0≤????π??， 2?则曲线C1与C2交点的极坐标为 ． 答案 (23,?6)

2．（2008广东理）（不等式选讲选做题）已知a?R，若关于x的方程x2?x?a?有实根，则a的取值范围是 ． 答案 0?a?1414?a?0

3．（2008广东理）（几何证明选讲选做题）已知PA是圆O的切线，切点为A，PA?2．AC 是圆O的直径，PC与圆O交于点B，PB?1，则圆O的半径R? ． 答案 3 二、解答题

4.（2008宁夏理）（10分）选修4－1：几何证明选讲

如图，过圆O外一点M作它的一条切线，切点为A， 过A作直线AP垂直于直线OM，垂足为P. （1）证明：OM·OP = OA2；

（2）N为线段AP上一点，直线NB垂直于直线ON， 且交圆O于B点.过B点的切线

交直线ON于K.证明：∠OKM = 90°.

（1）证明 因为MA是圆O的切线，所以OA?AM．

2又因为AP?OM．在Rt△OAM中，由射影定理知，OA?OM?OP.

（2）证明 因为BK是圆O的切线，BN?OK． 同（1），有OB2?ON?OK，又OB?OA，

ONOP?OMOK所以OP?OM?ON?OK，即又∠NOP?∠MOK，

．

所以△ONP∽△OMK，故∠OKM?∠OPN?90． 5.（2008宁夏理）（10分）选修4－4：坐标系与参数方程选讲

?2x?t??x?cos??2已知曲线C1：?(?为参数)，曲线C2：???y?sin?2?y?t??22(t为参数)?.

（1）指出C1，C2各是什么曲线，并说明C1与C2公共点的个数；

（2）若把C1，C2上各点的纵坐标都压缩为原来的一半，分别得到曲线C1'，C2'.写出

19

C1'，C2'的参数方程.C1'与C2'公共点的个数和C1与C2公共点的个数是否相同？说

明你的理由.

解（1）C1是圆，C2是直线．

C1的普通方程为x?y?1，圆心C1(0，0)，半径r?1． C2的普通方程为x?y?2?0．

2?0的距离为1，

22因为圆心C1到直线x?y?所以C2与C1只有一个公共点． （2）压缩后的参数方程分别为

?2?x?cos?，t??x???2（?为参数）； C2?：?C1?：?12?y?sin???2y?t??42，（t为参数）．

化为普通方程为：C1?：x2?4y2?1，C2?：y?联立消元得2x?22x?1?0， 其判别式??(22)2?4?2?1?0，

212x?22，

所以压缩后的直线C2?与椭圆C1?仍然只有一个公共点，和C1与C2公共点个数相同． 6.（2008宁夏理）（10分）选修4－5：不等式选讲

已知函数f(x)?|x?8|?|x?4|. （1）作出函数y?f(x)的图象； （2）解不等式|x?8|?|x?4|?2. ?4， x≤4，?解（1）f(x)???2x?12， 4?x≤8，

??4 x?8.?图象如下：

20

y 4 2 1 -2 -1 O1 2 3 4 -2 8 x -4 （2）不等式x?8?x?4?2，即f(x)?2， 由?2x?12?2得x?5．

由函数f(x)图象可知，原不等式的解集为(?∞，5)．

7.（2008江苏）A.选修4-1：几何证明选讲

如图所示，设△ABC的外接圆的切线AE与BC的延长线 交于点E，∠BAC的平分线与BC交于点D.求证：ED=EC·EB. B.选修4-2：矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，设椭圆4x2+y2=1在矩阵A=?求F的方程.

C：选修4-4：坐标系与参数方程

在平面直角坐标系xOy中，设P(x,y)是椭圆求S=x+y的最大值. D：选修4-5：不等式选讲 设a,b,c为正实数，求证：

1a32

?2?00??对应的变换下得到曲线F，1?x23?y2?1上的一个动点，

?1b3?1c3?abc?23.

A.证明: 如图所示，因为AE是圆的切线， 又因为AD是∠BAC的平分线， 所以∠BAD=∠CAD.

从而∠ABC+∠BAD=∠CAE+∠CAD.

因为∠ADE=∠ABC+∠BAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD， 所以∠ADE=∠DAE，故EA=ED.

因为EA是圆的切线，所以由切割线定理知，EA2=EC·EB，而EA=ED，所以ED2=EC·EB. B.解： 设P（x0,y0）是椭圆上任意一点，

点P（x0，y0）在矩阵A对应的变换下变为点P′(x′0,y′0),则有

21

x′?0xx′?2x,20x?,?x′???????00000 ??,即所以2 ????????y0,?01??y0?0?0?y′?y′?y?y′.0?02222 又因为点P在椭圆上，故4x0?y0?1,从而(x′)?(y′)?1. 00 所以曲线F的方程为x2?y2?1. C.解：由椭圆

x223?y?1的参数方程为?x?3cos?,(?为参数),??y?sin?

故可设动点P的坐标为（3sin?,sin?）,其中0???2?.

?3?1????3cos??sin??2?cos??sin???2sin????. ?2?23????2.

因此,S?x?y??6 所以当??时,S取得最大值 D.证明：因为a,b,c是正实数，由平均不等式可得

1a3?1b13?1c13?331a3?1b3?1c33,即1a3?1b3?1c3?3abc.

所以a1a33?b133?1c133?abc?abc?abc.而3abc?abc?23abc?abc?23,

所以?b?c?abc?23.

22

第二部分 两年模拟题

2011届高三模拟题 题组一

一、

填空题

1.（广东省中山市桂山中学2011届高三第二次模拟考试文） 在极坐标中，圆??4cos?的圆心C到直线?sin(??答案 2. 2. （广东省清远市清城区2011届高三第一次模拟考试理）（坐标系与参数方程选做题）点

?4)?22的距离为 . ??2,2的极坐标为 。

3?4)

?答案 (22,3、（河南省辉县市第一中学2011届高三11月月考理）极坐标系下，直线?cos(??与圆??2的公共点个数是________．

?4)?2

答案 1个.

4．（湖北省夷陵中学、钟祥一中2011届高三第二次联考理）在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝3x＋2m和圆x2＋y2＝n2相切，其中m，n∈N*，0＜| m－n |≤1，若函数f (x)＝mx+1－n的零点x0∈（k，k＋1），k∈Z，则k＝ 答案：0. 二、

简答题

5.（福建省四地六校2011届高三上学期第三次联考试题理）（本大题分两小题，每小题7分，共14分）

（1）极坐标系中，A为曲线??2?cos??3?0上的动点，B为直线

2?cos???sin??7?0的动点，求AB距离的最小值。 （2）求函数y=3x?1?45?x的最大值 答案 5、（本大题分两小题，每小题7分，共14分）

（1）极坐标系中，A为曲线??2?cos??3?0上的动点，B为直线

2?cos???sin??7?0的动点，求AB距离的最小值。

解：圆方程为?x?1??y?4，圆心（-1，0），直线方程为x?y?7?0

22圆心到直线的距离d??1?72?42，所以ABmin?42?2

23

（2）求函数y=3x?1?45?x的最大值

y?(3x?1?45?x)??3?42222解：

???x?1?5?x??100

?y?10当

x?13?5?x4，即x?6125时等号成立。

6．（江苏省南京市九校联合体2011届高三学情分析试卷）（本小题为选做题，满分8分） ．．．

已知直线l的参数方程：?x?t（t为参数）和圆C的极坐标方程：

??y?1?2t??22sin(???4)．

（1）将直线l的参数方程化为普通方程，圆C的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）判断直线l和圆C的位置关系． 答案 6. （选做题）（本小题满分8分）

解：（1）消去参数t，得直线l的普通方程为y?2x?1；?????? 2分

??22(sin???4)即??2(sin??cos?)，

两边同乘以?得?2?2(?sin???cos?)， 消去参数?，得⊙C的直角坐标方程为：

(x?1)?(x?1)?2?????? 4分

22（2）圆心C到直线l的距离d?|2?1?1|2?122?255?2，

所以直线l和⊙C相交．?????? 8分

7.（浙江省诸暨中学2011届高三12月月考试题模块）在极坐标系中,过曲线

2L:?sin??2acos?(a?0)外的一点A(25,???)(其中tan??2,?为锐角)作平行

于???4(??R)的直线l与曲线分别交于B,C.

（1）写出曲线L和直线l的普通方程(以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建系)； (2) 若|AB|,|BC|,|AC|成等比数列,求a的值. 答案7. ⑴y?2ax,y?x?2

2 24

?2t?x??2??2(2)直线l的参数方程为?(t为参数),代入y2?2ax得到

2?y??4?t?2?t?22(4?a)t?8(4?a)?0,则有t1?t2?22(4?a),t1?t2?8(4?a)

2因为|BC|2?|AB|,|AC|,所以(t1?t2)2?(t1?t2)2?4t1?t2?t1?t2 解得 a?1

题组二

一 选择题

1．（江西省2011届高三理）若集合A1,A2满足A1?A2?A,则称(A1,A2)为集合A的一个分拆，并规定：当且仅当A1?A2时,(A1,A2)与(A2,A1)为集合A的同一分拆，则集合

A?{a1,a2,a3}的不同分拆的种数为（ ）

A．27 B．26 C．9 D．8

答案 A.

2. (广西桂林中学2011届高三11月月考试题理.)

?a?log2x(当x?2时)2?2an?1在点x?2处连续，则lim22? ( ) 已知函数f(x)??x?4n??an?1(当x?2时）??x?2Ａ.

12 Ｂ.

13 Ｃ.

3

Ｄ.

2

答案 B. 二 填空题

3．（江西省2011届高三理）为激发学生学习的兴趣，老师上课时在黑板上写出三个集合：

A?{x|?x?1x?0},B?{x|x?3x?4?0},C?{x|log1x?1}；然后叫甲、乙、丙三位

22同学到讲台上，并将“?”中的数告诉了他们，要求他们各用一句话来描述，以便同学们能确定该数，以下是甲、乙、丙三位同学的描述：

甲：此数为小于6的正整数；乙：A是B成立的充分不必要条件； 丙：A是C成立的必要不充分条件

25

若老师评说这三位同学都说得对，则“?”中的数为 。 答案 1. 三，解答题 4．（江西省2011届理）二次函数f(x)满足f (x＋1)－f (x)＝2x且f (0)＝1． ⑴求f (x)的解析式；

⑵在区间[－1，1]上，y＝f (x)的图象恒在y＝2x＋m的图象上方，试确定实数m的范围．

22

答案4．解： (1)设f（x）＝ax＋bx＋c，由f（0）＝1得c＝1，故f（x）＝ax＋bx＋1．

22

∵f(x＋1)－f(x)＝2x，∴a(x＋1)＋b(x＋1)＋1－(ax＋bx＋1)＝2x． 即2ax＋a＋b＝2x，所以??2a?2?a?12

，∴f(x)＝x－x＋1． ,???a?b?0?b??1(2)由题意得x2－x＋1>2x＋m在[－1，1]上恒成立．即x2－3x＋1－m>0在[－1，1]上恒成立．

32

设g(x)＝ x－3x＋1－m，其图象的对称轴为直线x＝ ，所以g(x) 在[－1，1]上递减．

2

2

故只需g(1)>0，即1－3×1＋1－m>0，解得m<－1．

题组三

1. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（几何证明选讲选做题）如图，平行四边形ABCD中，AE:EB?1:2, ?AEF的面积为6, 则?ADF的面积为 . 【答案】18

【解析】由题意可得?AEF∽?CDF, 且相似比为1:3，由

?AEF的面积为6，得?CDF的面积为54,又S?ADF︰S?CDF=1:3,所以S?ADF?18。2．（2010年广东省揭阳市高考一模试题理科）（几何证明选做题）如图，已知P是?O外一点，PD为?O的切线，D为

切点，割线PEF经过圆心O，若PF?12,PD?43,则?EFD的度数为 ． 【答案】30

PDPF2?【解析】由切割线定理得PD?PE?PF?PE?12?16?312??4

?EF?8,OD?4,∵OD?PD,OD?PO∴?P?30,

?POD?60,?PDE??EFD?30.

??3. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）（坐标系与参数方程选做题）若P是极坐标方程为???3???R?的直线与参数方程为?26

?x?2cos??y?1?cos2?（?为参数，且??R）的

曲线的交点，则P点的直角坐标为 . 【答案】P?0,0?

【解析】直线的方程为y??x?0或?y?0?3x，曲线的方程为y?12x2?x???2,2??，联立解方程组得，

???x?23?x?23，根据的范围应舍去,故P点的直角坐标为P?0,0?。 x?????y?6?y?64. （广东省惠州市2010届高三第三次调研文科）（坐标系与参数方程选做题） 在平面直角坐标系xOy中，点P(x，y)是椭圆为 . 【解析】设x?3cos?,y?sin?，?S?x22?y?1上的一个动点，则S?x?y的最大值

33cos??sin??2sin(???3)，?最大值为2

题组四

1．（哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分） 选修4—1：几何证明选讲

如图,⊙O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P, E为⊙O上一点,AE＝AC ,DE交AB于点F,且AB?2BP?4, （1）求PF的长度.

E （2）若圆F且与圆O内切，直线PT与圆F切于点T，求线段PT的长度

A O

C

解：（1）连结OC,OD,OE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系

结合题中条件弧长AE等于弧长AC可得?CDE??AOC, 又?CDE??P??PFD,?AOC??P??OCP, 从而?PFD??OCP,故?PFD∽?PCO,∴PFPC?PDPOE F B D P

, ????4?

?124A O C F B D P 由割线定理知PC?PD?PA?PB?12,故PF?PC?PDPO?3. ???6?

（2）若圆F与圆O内切，设圆F的半径为r，因为OF?2?r?1即r?1

所以OB是圆F的直径，且过P点圆F的切线为PT

2则PT?PB?PO?2?4?8，即PT?22 ????10?

2. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学） （本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程

27

在极坐标系下，已知圆O：??cos??sin?和直线l:?sin(??（1）求圆O和直线l的直角坐标方程；

（2）当???0,??时，求直线l与圆O公共点的一个极坐标. 解：（1）圆O：??cos??sin?，即?2??cos???sin?

?4)?22，

圆O的直角坐标方程为：x2?y2?x?y，即x2?y2?x?y?0 ????3?

?422直线l:?sin(??)?，即?sin???cos??1

则直线l的直角坐标方程为：y?x?1，即x?y?1?0 ????6? ?x2?y2?x?y?0?x?0?8? （2）由?得?x?y?1?0?y?1?故直线l与圆O公共点的一个极坐标为(1,?2) ????10?

3. （哈师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学）（本小题满分10分） 选修4—5：不等式选讲

对于任意实数a(a?0)和b，不等式a?b?a?b?a(x?1?x?2)恒成立，试求实数x的取值范围．

解：由题知，|x?1|?|x?2|?|a?b|?|a?b||a|恒成立，

故x?1?x?2不大于

|a?b|?|a?b||a|的最小值 ????2?∵|a?b|?|a?b|?|a?b?a?b|?2|a|，当且仅当?a?b??a?b??0时取等号 ∴

|a?b|?|a?b||a|的最小值等于2. ????5?

∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解 ????7? 解不等式得

12?x?52 ????10?

4.（三明市三校联考）本题（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分。 （Ⅰ）（本小题满分7分）选修4-4：矩阵与变换

28

求矩阵A???3?22??的逆矩阵. 1?（Ⅱ）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是??4cos?．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l?2t?1?x?2的参数方程是：?，求直线?2?y?t??2l与曲线C相交

所成的弦的弦长．

（Ⅲ）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲 解不等式∣2x-1∣<∣x∣+1

?x解: （I） 设矩阵A的逆矩阵为??zy??3?,则?w??22??x??1??zy??1???w??00??, 1?3y?2w??10??3x?2z?1,?3y?2w?0,?,故 ?????2x?z2y?w012x?z?0,2y?w?1,??????解得：x??1,z?2,y?2,w??3，

即??3x?2z2?从而A的逆矩阵为A?.

?3?222

（Ⅱ）曲线C的极坐标方程是??4cos?化为直角坐标方程为x＋y－4x=0，即（x－2）

?1??1???2＋y=4 直线l?2t?1?x?的参数方程?，化为普通方程为2?2?y?t??22

x－y－1=0， 曲线C的圆心（2，0）到直

线l的距离为1?222 所以直线l与曲线C相交所成的弦的弦长24?1=14．

2（Ⅲ）当x<0时,原不等式可化为?2x?1??x?1,解得x?0又?x?0,?x不存在; 当0?x?当x?1212时,原不等式可化为?2x?1?x?1,解得x?0;又?0?x??x?2

12,?0?x?12;

,?12综上,原不等式的解集为{x|0?x?2}.

29

题组五

1.（2009番禺一模）在直角坐标系中圆C的参数方程为

?x?2cos?（?为参数），若以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标?y?2?2sin??系，则圆C的极坐标方程为______ __． 答案 ??4sin?

?a?cb??x??ax?by????????,该运算的几何意义为?????d??y??cx?dy?2.（2009上海十四校联考）矩阵的一种运算???a?c平面上的点(x,y)在矩阵??b??的作用下变换成点 d??2(ax?by,cx?dy),若曲线x?4xy?2y2?1?1在矩阵. ??b?a??的作用下变换成曲线?1?x?2y22?1,则a?b的值为

答案 2 3.（2009番禺一模）如图，EB、EC是⊙O的两条切线，B、C是

切点，A、D是⊙O上两点，如果∠E＝460，∠DCF＝320， 则∠A的大小为 ． 答案 99

x?12x?120x≥0的解为 ． 1?4.（2009上海卢湾区4月模考）不等式03答案 2?3≤x≤2?3 5.（2009番禺一模）若不等式x?1x?a?2?1对于一切非零实数x均成立，则实数

a的取值范围是_________________．

答案 (1,3)

lgx226.（2009上海八校联考）满足方程答案 x＝2

lgx?11?1的实数解x为________________。

30

7.（2009上海奉贤区模拟考）不等式答案 x??4

13?2x?2的解集为 。

8.（2009上海普陀区）关于x、y的二元线性方程组??1?00?2x?my?5,?nx?3y?2的增广矩阵经过变换，

最后得到的矩阵为??答案 4

3??，则x?y? . ?11?9.（2009上海普陀区）将函数f(x)=3sinx1cosx的图像向左平移a（a>0）个单位，所得

图像对应的函数为偶函数，则a的最小值为 .

56p

答案

10.（2009上海十校联考）若复数z满足

z?__________．

1?2zzi?3?2i（i是虚数单位），则

答案

45?75i

?25??1?11.（2009上海闸北区）增广矩阵为?　　　　??的线性方程组的解用向量的坐标形式可318??表示为 ． 答案 (3,?1) 二、解答题

abc??a?b?c. 12.（2009厦门集美中学）（不等式选讲）设a,b,c均为正数，证明：?bcaa2222证明

b?b2c2?c2a2?a?b?c?(a2b?b)?(b2c?c)?(c2a?a)?2a?2b?2c

即得

a2b?bc?ca?a?b?c.

另证 利用柯西不等式a1b1?a2b2?a3b3?

31

a1?a2?a3222b1?b2?b3.

222

取a1?ab,a2?bc,a3?ca,b1?b,b2?c,b3?a代入即证.

13.（2009上海十四校联考）在△ABC中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知a?23,c?2, sinCsinBb00?2c?0,求?ABC的面积S. 1 0cosA解：由行列式得：bsinC?2csinB?cosA?0 ????3分 由正、余弦定理得：bc?2cb?222b?c?a2bc222?0 ????6分

?b?c?a?bc,?A??3 ??????9分

又?a?23,c?2,?b?4 ??????12分 ?S??12bcsinA?23 ????????14分

14.（2009盐城中学第七次月考）不等式选讲已知x，y，z均为正数．求证：

xyz?yzx?zxy≥1x?1y?1z.

xyz?yzx?1xy2(?)≥zyxz证明 因为x，y，z无为正数．所以同理可得

yzx?zxy≥2zx2，?≥xxyyzy， ????????4分

， ???????????????7分

当且仅当x＝y＝z时，以上三式等号都成立． 将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，得

xyz?yzx?zxy≥1x?1y?1z．???10分

15.（2009南京一模）如图，已知四边形ABCD内接于⊙O,EF||CD,FG切⊙O于点G.求证：EF?FG.

证明：因为FG切⊙O于点G，所以FG2?FB?FA

因为EF||CD，所以 ?BEF??ECD

又A、B、C、D四点共圆，所以 ?ECD??EAF,所以 ?BEF??EAF 又?EFA??BFE，所以?EFA∽?BFE 所以

EFAF?FBFE 即EF2?FB?FA

32

所以 FG22?EF 即：EF?FG

16.（2009厦门同安一中）（极坐标与参数方程）若两条曲线的极坐标方程分别为??=l与

=2cos（θ+

π

），它们相交于A，B两点，求线段AB的长． 3

解 由??1得x2?y2?1， 又??2?2cos(???3)?cos??3sin?,????cos??23?sin?

?x?y?x??x由?223y?0，

?y?13y?02?22??x?y?x?2得A(1,0),B(?1,?232),

?AB??1?3??0????1??????2?2???2．??7分

317.（2009厦门北师大海沧附属实验中学）（极坐标与参数方程）以直角坐标系的原点O 为极点，x轴的正半轴为极轴．已知点P的直角坐标为(1，－5)，点M的极坐标为(4，

)．若直线l过点P，且倾斜角为 ，圆C以M为圆心、4为半径. 23(Ⅰ)求直线l的参数方程和圆C的极坐标方程； (Ⅱ)试判定直线l和圆C的位置关系.

1?x?1?t?2?解（Ⅰ）直线l的参数方程为?，

?y??5?3t??2圆C的极坐标方程为??8sin?

??（Ⅱ）因为M?4,???对应的直角坐标为?0,4?

2?3?0

直线l化为普通方程为3x?y?5?0?4?5?3?1圆心到直线l的距离d?3?9?23?5，所以直线l与圆C相离.

2009年联考题

一、选择题

33

1、（辽宁省抚顺一中2009届高三数学上学期第一次月考）极坐标方程?=cosθ化为直角坐

标方程为 A.（x+

12

1414

12

14 ( )

）2 +y2 =

12 B.x2 +（y+ D.（x-12）2 =

14C.x2 +（y-答案 D.

）2 =）2 + y2 =

102111?0的 12、（2009上海普陀区）以下向量中，能成为以行列式形式表示的直线方程xy

一个法向量的是 （ ）

????A.n??1,?2?； B.n???2,1?； C.n???1,?2?; D.n??2,1?. 答案 A

?x?y?4z?0?3、（2009上海青浦区）线性方程组?3x?y?5z?1?x?6y?8z?7??114??315?168?0??1?7???114?B．?315?168?0???1??7??的增广矩阵是 （ ）

A． C．

?114???315???168???

?131???D．?116??458???

答案 A

二、填空题

4、（2009广州一模） (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线ρsin(θ+

ρ=4截得的弦长为 ．

答案 43

5、（2009广州一模）(几何证明选讲选做题) 已知PA是圆O(O为圆心)的切线，切点为A，

0

PO交圆O于B，C两点，AC =3，∠PAB=30，则线段PB的长为 .

π4)=2被圆

答案 1

6、（2009广州一模）(不等式选讲选做题) 已知a，b，c∈R，且a+b+c=2，a2+2b2+3c2=4，

则a的取值范围为_____________

答案 [211，2]

7、（2009广东三校一模）(坐标系与参数方程选做题)极坐标方程分别为??2cos?和

??sin?的两个圆的圆心距为____________；

52答案

34

8、（2009广东三校一模） (不等式选讲选做题)若不等式x?数x均成立,则实数a的最大值是__________________； 答案 3

1x?a?2?1对一切非零实

9、（2009广东三校一模）(几何证明选讲选做题)如图,PT切圆O于点T,

PA交圆O于A、B两点，且与直径CT交于点D，

A C D O B P CD?2,AD?3,BD?6，则PB?______.

答案 15. T 10、（2009东莞一模）（几何证明选讲选做题）如图，AD是⊙O的切线，AC是 ⊙O的弦，过C做AD的垂线，垂足为B，CB与⊙O相交于点E，AE平分?CAB，且AE?2， 则AB? ，AC? ， BC? . 答案

3,23,；3

11、（2009东莞一模）(参数方程与极坐标选做题)在极坐标系中，点

?1,0?到直线??cos?答案

22?sin???2的距离为 ．

C

O

E

A

B D

12、（2009东莞一模）（不等式选讲选做题）函数f(x)?x?x?3

的最大值为 .

答案 3

13、（2009江门一模）（坐标系与参数方程选做题）P是曲线

?x?sin??cos?（??[0 , 2?)是参数）上一点，P到点Q(0 , 2)距离的最小值?y?1?sin2??是 ． 答案

72

14、（2009江门一模）（不等式选讲选做题）已知关于x的不等式|x?a|?|x?1|?a?2009 （a是常数）的解是非空集合，则a的取值范围是 ． 答案 (?? , 1004)

15、（2009江门一模）（几何证明选讲选选做题）如图4，三角形ABC中，

AB?AC，⊙O经过点A，与BC相切于B，

A 与AC相交于D，若AD?CD?1，则⊙O的 半径r? ． 答案

2147O? D

B 35

图4

C

16、（2009茂名一模）（坐标系与参数方程选做题）把极坐标方程?cos(??坐标方程是 ． 答案

3x?y?2?0

?6)?1化为直角

17、（2009茂名一模）（不等式选讲选做题）函数y?5x?1?10?2x的最大值为

_________。 答案 63

18、（2009茂名一模）（几何证明选讲选做题）如图，梯形ABCD，AB//CD，

E是对角线AC和BD的交点，S?DEC:S?DBC?1:3，

DEACB则S?DEC:SABD? ． 答案 1：6

19、（2009汕头一模）（坐标系与参数方程选做题）两直线

的位置关系是＿＿＿＿＿＿＿＿(判断垂直或平行

或斜交) 答案 垂直

|x?1x|?|a?5|?120、（2009汕头一模）（不等式选讲选做题）不等式成立，则实数a的取值范围是＿＿＿＿＿＿＿＿＿

对于一非零实数x均

答案 4＜a＜6 21、（2009汕头一模）（几何证明选讲选做题）如图，⊙O中的弦AB 与直径CD相交于点p，M为DC延长线上一点，MN为⊙O的切 线，N为切点，若AP＝8, PB＝6, PD＝4, MC＝6，则MN的长为 ＿＿＿ 答案233 22、（2009韶关一模）在极坐标系中，圆心在(2,?)且过极点的圆的方程 为_ . 答案 ???22co?s

D E C B A 23、（2009韶关一模）如图所示，圆O的直径AB＝6，C为圆周上一点，BC＝3， 过C作圆的切线l，则点A到直线l的距离AD为 .

O l

答案

92

24、（2009韶关一模）如果关于x的不等式x?3?x?4?a的解集是全体实数，则a的

36

取值范围是 . 答案 ???,1?

25、（2009深圳一模）（坐标系与参数方程选做题）在直角坐标系中，曲线C1的参数方程为

?x?cos?,??[0,?]，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2在极坐标系中?y?sin??的方程为??bsin??cos?．若曲线C1与C2有两个不同的交点，则实数b的取值范围

是 ． 答案 1?b?2

ADO?B26、（2009深圳一模）（几何证明选讲选做题）如图，PT 切⊙O于点T，PA交⊙O于A、B两点，且与直径 CT交于点D，CD?2，AD?3，BD?6，则 PB? ． 答案 15

27.（2009深圳一模）（不等式选讲选做题）若不等式

a?1?x?2y?2z，对满足x2?y2?z2?1的一切 CTP实数x、y、z恒成立，则实数a的取值范围是 ． 答案 a?4或a??2

28、（2009湛江一模）（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若过点A(3,0)且与极轴 垂直的直线交曲线??4cos?于A、B两点，则|AB|?_________ _． 答案 23

29、（2009湛江一模）（不等式选讲选做题）设x?y?z?1，则F?2x?y?3z的最 小值为________． 答案

611222

C A 30、（2009湛江一模）（几何证明选讲选做题）如图，已知PA、PB是 圆O的切线，A、B分别为切点，C为圆O上不与 P A、B重合的另一点，若∠ACB = 120°，则∠APB = ． 答案 60

?O B 三、解答题 31、（2009厦门北师大海沧附属实验中学） （不等式选讲）设x?y?z?1,求

F?2x?3y?z的最大值.

222 37

解

?F?2x?3y?z?2x123y13z1222

611

311211611当且仅当?? 且x?y?z?1,x?,y?,z?

F有最小值

611

1?2?2?3?????n(n?1) (n?N）,比较

*

32、（2009厦门一中）（不等式选讲）设an?an、

n(n?1)2、

(n?1)22的大小，并证明你的结论.

n(n?1)2解 ∵an?又∵an??1?22?1?2?2?3?????n(n?1)?1?2???n?

1?2?2?3242?3?????n(n?1) ???n?(n?1)2?n?2n222

?n(n?1)?n(n?3)?(n?1)22

∴

n(n?1)2

(n?1)2

33、（2009厦门二中）（不等式选讲）解不等式：x?1?x?2?5．

解 原不等式等价于：

?x??2??2?x?1?x?1 或 或 ???1?x?x?2?52x?1?5?2x?1?5???解得 ?3?x??2 或 ?2?x?1 或 1?x?2 所以 原不等式的解集为?x?3?x?2?

34、（2009厦门乐安中学）（不等式选讲）在设a,b,c为正数且a?b?c?1， 求证:(a?)2?(b?)2?(c?)2?abc1111003.

证明

121212121111222(1?1?1)[(a?)?(b?)?(c?)]?[1?(a?)?1?(b?)?1?(c?)] 3abc3abc 38

3335、（2009厦门十中）（不等式选讲）已知实数a,b,c,d满足a?b?c?d?3，

?13[1?(1a?1b?1c)]?213[1?(a?b?c)(1a?1b?1c)]?21(1?9)?2100a?2b?3c?6d?5试求a的最值

2222解 由柯西不等式得，有?2b2?3c2?6d2??2?1?2?13?1?2???b?c?d? 6?2即2b2?3c2?6d2??b?c?d? 由条件可得， 5?a2??3?a? 解得，1?a?2当且仅当代入b?1,c?13,d?162b12?3c13a?6d16 时等号成立，

23,d?13时， am?2 b?1,c?x?时 amin?1

36、（2009厦门同安一中）（不等式选讲）已知a、b?R，且的最小值

，求

解 因为所以

时成立，此时．

，所以，所以，，

。式中等号当且仅当

。所以当

时，

取最小值

37、（2009厦门英才学校）（不等式选讲）已知函数f?x??x?4?x?2． （Ⅰ）作出函数y?f?x?的图像； （Ⅱ）解不等式x?4?x?2?1 ??2?解（Ⅰ）依题意可知f(x)???2x?6?2?x?42?x?4 ， x?2则函数y?f?x?的图像如图所示：

（Ⅱ）由函数y?f?x?的图像容易求得原不等式的 解集为(??,)????7分

2?1?1 0? 0???，矩阵MN对应的变38、（2009厦门乐安中学）（矩阵）已知矩阵M???，N?2???0 2??0 1?

39

5

换把曲线y?sinx变为曲线C，求Ｃ的方程．

?1??1??1 0?? 0?? 0?解 MN??，设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点，它是曲线 ?2??2???0 2??0 1????0 2???1??x?? 0??x0?y?sinx上点P0(x0,y0)在矩阵MN变换下的对应点，则有???2??，即???y??0 2?y0???1??x?x0,所以2??y?2y.0?12?x0?2x,?又点P(x0,y0)在曲线y?sinx上，故y0?sinx0，从而?1?y0?y.?2y?sin2x，所求曲线C的方程为y?2sin2x．

39、（2009厦门十中）（矩阵）已知矩阵A=?①计算AB；

1??1?2?，B=???.

?1201?????2②若矩阵B把直线l:x?y?2?0变为直线l?，求直线l?的方程.

?2?3?解 ①AB=??

?14??②任取直线l上一点P（x,y）,设P经矩阵B变换后为P??x?,y??，则

?x???1?2??x??x?2y??x??x?2y??????????，???y01yy?????????y??y?x?x??2y???

?y?y? 代入l:x?y?2?0，得x??3y??2?0，∴直线l?的方程为x??3y??2?0. 40、（2009厦门同安一中）（矩阵）在直角坐标系中，?OAB的顶点坐标O(0,0)，A(2,0)，

B(1,2)，求?OAB在矩阵MN的作用下变换所得到的图形的面积，其中矩阵

??1N???0??2??2?2??2??1M???00???1?，

解

?2??1?2MN???2??0??2???，?????0?12?????2??0??0???2??2?0??????2分?1??0?02???4?2???2???2?????2??0??0????2???分.

40

?2??1???52???1???2??????2??2???1??0??2???分

可知O,A,B三点在矩阵MN作用下变换所得的点分别为O?(0,0),A?(2,0),B?(2,?1). 可得?O?A?B?的面积为1.??7分.

41、（2009厦门一中）（极坐标与参数方程）已知直线l经过点P(1,1),倾斜角???6，设

?x?2cos?l与曲线?（?为参数）交于两点A,B，求点P到A,B两点的距离之积。

y?2sin?????3x?1?tcosx?1?t????62解 直线的参数方程为?，即?

?y?1?1t?y?1?tsin???6??2?3x?1?t??22代入2?4，把直线?x?y?4

?y?1?1t??2曲线的直角坐标方程为x2?y2得(1?32t)?(1?212t)?4,t?(3?1)t?2?0

22t1t2??2，则点P到A,B两点的距离之积为2

42、（2009厦门二中）（极坐标与参数方程）已知直线l的参数方程：??x?2t?y?1?4t（t为参

数），圆C的极坐标方程：??22sin????????，试判断直线l与圆C的位置关系． 4?解 将直线l的参数方程化为普通方程为：y?2x?1 将圆C的极坐标方程化为普通方程为：?x?1???y?1??2

22从圆方程中可知：圆心C（1，1），半径r?所以，圆心C到直线l的距离d?2 ，

252?1?1?12?(?1)22??2?r

所以直线l与圆C相交．

41

43、（2009厦门集美中学）（极坐标与参数方程）求曲线?程.

?x?sin??y?cos2?过点(0,2)的切线方

22x?sin?,y?1?2sin?，消去参数?得2x?y?1.

设切线为y?kx?2，代入得2x2?kx?1?0

令??k2?8?0，得k??22，故y??22x?2即为所求.

b?2a1?2a?2a2或y???4x，设切点为(a,b)，则斜率为?4a?即得切线方程.

?，解得a??22，

44、（2009厦门乐安中学）（极坐标与参数方程）在极坐标系中,设圆??3上的点到直线

?cos??3sin??2的距离为d,求d的最大值.

??解 将极坐标方程??3转化为普通方程：x?y?9 ?cos??2222?3sin??2可化为x??3y?2

在x?y?9上任取一点A?3cos?,3sin??,则点A到直线的距离为

3cos??33sin??2d?,它的最大值为4 ?2245、（2009厦门十中）（极坐标与参数方程）已知圆C的参数方程为

6sin(??30)?20?x?1?2cos?,??为参数??y?3?2sin?? ，若P是圆C与x轴正半轴的交点，以原点O为极点,x

轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设过点P的圆C的切线为l，求直线l的极坐标方程． 解 由题设知,圆心 C1,3 ,P?2.0?

∠CPO=60°,故过P点的切线飞倾斜角为30°

设M??,??,是过P点的圆C的切线上的任一点，则在△PMO中， ∠MOP=? ?OMP?30?? ,?OPM?150 由正弦定理得

OMsin?OPM000???OPsin?OMP0 ,??sin1500?2sin30?0???

??cos??60???1 ?或?sin?30???1，即为所求切线的极坐标方程。

??46、（2009厦门英才学校）（极坐标与参数方程）求极坐标系中，圆??2上的点到直线

?cos???3sin??6的距离的最小值．

? 42

解 由 ??2即?2?4则易得x2?y2?4，由?co?s?x?3y?6??3sin??6易得

? 0?圆心(0,0)到直线的距离为d0?0?0?61?(3)22?3 ?

又圆的半径为2 , ?圆上的点到直线的距离的最小值为d?d0?2?3?2?1.

?01??0?1?，N????。在平面直角坐标系中，

?10??10?47、（2009南京一模）已知矩阵M??设直线2x?y?1?0 在矩阵MN对应的变换作用下得到的曲线F，求曲线F的方程

?01??0?1??10?解 由题设得MN?????????,设(x,y)是直线2x?y?1?0上任意一点,

10100?1??????点(x,y)在矩阵MN对应的变换作用下变为(x?,y?),

?10??x??x???x??x???x?x?则有? ???????, 即 ??????,所以??0?1yy?yyy??y???????????因为点(x,y)在直线2x?y?1?0上,从而2x??(?y?)?1?0,即：2x??y??1?0 所以曲线F的方程为 2x?y?1?0

48、（2009金陵中学三模）(1)设x是正数，求证：?1?x??1?x2??1?x3??8x3；

（2）若x?R，不等式?1?x??1?x2??1?x3??8x3是否仍然成立？如果仍成立，请给出证明；如果不成立，请举出一个使它不成立的x的值．

2简证：（1）∵x?0，∴1?x?2x?0， 1?x?2x?0，1?x?2xx?0，三个

3同向正值不等式相乘得?1?x??1?x2??1?x3??8x3． ---------5分 简解：（2）x?R时原不等式仍然成立．

思路1：分类讨论x?0、?1?x?0、x??1、x??1证； 思路2：左边=?1?x?22??1?3?1?xx??????2?4??0．---------------10分

??????249、（2009南京一模）选修4-5：不等式选讲，已知a,b为正数，求证：

1a4bba4ab1a?4b?9a?b.

证明：?a?0,b?0，所以 (a?b)(1a4b9a?b?)?5???5?2ba?4ab?9

???

43

??50、（2009通州第四次调研）（矩阵与变换）已知矩阵A（1）求矩阵A的特征值?1、?2和特征向量?1、?2； （2）求A5?的值.

解 (1)矩阵A的特征多项式为f(?)?令f(?)?0，得?1?2,?2?3,

??11????????2??1?? ???14?，向量??7?????4?.

?2??4???5??6，

2????1??2?当?1?2时，得?1???,当?2?3时，得?2???. ???????5分

?1??1??????????2m?n?7(2)由??m?1?n?2得?，得m?3,n?1.

?m?n?4??????????????5555∴A??A(3?1??2)?3(A?1)?A?2

??? ?3(?15?1)??25?2?3?25???35?????.????????10分

?1??1??339?51、（2009通州第四次调研）（不等式选讲）对于任意实数a（a≠0）和b，不等式|a＋

???????2??1??435?b|＋|a－b|≥|a|(|x－1|＋|x－2|恒成立，试求实数x的取值范围．

解 由题知，|x?1|?|x?2?||a?b|?|a?b||a|恒成立，故|x－1|＋|x－2|不大于

|a?b|?|a?b||a|的最小值

∵|a?b|?|a?b|?|a?b?a?b|?2|a|当且仅当（a＋b）(a－b) ≥0时取等号 |a?b|?|a?b||a|∴的最小值等于2. 5分

∴x的范围即为不等式|x－1|＋|x－2|≤2的解 解不等式得

12?x?52 10分

52、（2009扬州大学附中3月月考）设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐

标伸长到3倍的伸压变换．（Ⅰ）求矩阵M的特征值及相应的特征向量；

（Ⅱ）求逆矩阵M?14?2M?解（Ⅰ）由条件得矩阵??0以及椭圆

x2?y290??， 3??1在M?1的作用下的新曲线的方程．

它的特征值为2和3，对应的特征向量为??及??；

?0??1?1??0??1?（Ⅱ）M?1?1?2???0???0?1?3??，椭圆?x24?y29?1在M的作用下的新曲线的方程为x?y?1．

22 44

53、（2009通州第四次调研）求经过极点O(0,0),A(6,方程.

?2),B(62,9?4)三点的圆的极坐标

解 将点的极坐标化为直角坐标，点O,A,B的直角坐标分别为?0,0?,?0,6?,?6,6?， 故?OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，圆心为?3,3?，半径为32， 圆的直角坐标方程为?x?3???y?3??18，即x2?y2?6x?6y?0， 将x??cos?,y??sin?代入上述方程，得??6??cos??sin???0，

222即??62cos????????. 4???54、（2009盐城中学第七次月考）若两条曲线的极坐标方程分别为??1与??2cos???它们相交于A,B两点，求线段AB的长． 解 由??1得x2?y2?1， 又???2cos(???x?y?x?22??x?y?1由?22??x?y?x?22???，

3??3)?cos??3sin?,??2??cos??3?sin?

3y?0，

得A(1,0),B(?3y?02212,?32),

?AB??1?3??1??0????????2?2???3．

55、（2009南通一模）如图，PA切⊙O于点A，D为PA的中点，过点D引

割线交⊙O于B、C两点．求证: ?DPB??DCP． 证明 因为PA与圆相切于A， 所以DA2?DB?DC， 因为D为PA中点，所以DP=DA，

2

所以DP=DB·DC，即PD?DB ．

P

D A B · O DCPD因为?BDP??PDC，

所以?BDP∽?PDC， 所以?DPB??DCP．

C 45

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