线性代数知识点全归纳

线性代数知识点

1、行列式

1.

n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

2. 代数余子式的性质：

①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A； ?ji?j3.

代数余子式和余子式的关系：Mij?(?1)iAijAij?(?1)Mij

4. 设n行列式D：

n(n?1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1?(?1)2D； n(n?1)将D顺时针或逆时针旋转90?，所得行列式为D2，则D2?(?1)2D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3?D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4?D；

5. 行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

n(n?1)②、副对角行列式：副对角元素的乘积??(?1)2；

③、上、下三角行列式（?◥???◣?）：主对角元素的乘积； n(n?1)④、?◤?和?◢?：副对角元素的乘积??(?1)2；

⑤、拉普拉斯展开式：

AOCB?ACOB?AB、CABO?OABC?(?1)m?nAB ⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

6. 对于n阶行列式A，恒有：?E?A??nn??(?1)kSk?n?k，其中Sk为k阶主子式；k?17. 证明A?0的方法：

①、A??A； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax?0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)?n； ⑤、证明0是其特征值；

1

2、矩阵

1.

A是n阶可逆矩阵：

?A?0（是非奇异矩阵）；

?r(A)?n（是满秩矩阵） ?A的行（列）向量组线性无关； ?齐次方程组Ax?0有非零解； ??b?Rn，Ax?b总有唯一解； ?A与E等价；

?A可表示成若干个初等矩阵的乘积； ?A的特征值全不为0；

?ATA是正定矩阵；

?A的行（列）向量组是Rn的一组基； ?A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

2. 对于n阶矩阵A：AA*?A*A?AE 无条件恒成立；

3.

(A?1)*?(A*)?1(A?1)T?(AT)?1(A*)T?(AT)* (AB)T?BTAT(AB)*?B*A*(AB)?1?B?1A?1

4. 矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；

5. 关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

??A1?若A??A?2?????，则： ?A?s?Ⅰ、A?A1A2?As； ?A?1?1??Ⅱ、A?1??A?12?????； ??A?1?s???1②、??AO??A?1O??OB?????OB?1?；（主对角分块） ??1③、??OA?B?1??BO?????O?A?1O?；（副对角分块） ??1?1④、??AC????A?1?ACB?1??OB???OB?1?；（拉普拉斯） ??1⑤、??AO??A?1O??CB??????B?1CA?1B?1?；（拉普拉斯） ?

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3、矩阵的初等变换与线性方程组

?EO??； O?m?n1. 一个m?n矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：F??r?O等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵； 对于同型矩阵A、B，若r(A)?r(B)?????A?B；

2. 行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得；

②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

3. 初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、 若(A?,?E)???(E?,?X)，则A可逆，且X?A?1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A?1B，即：(A,B)???(E,A?1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Ax?b，如果(A,b)?(E,x)，则A可逆，且x?A?1b；

4. 初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

??1?②、??????rrc?2???，左乘矩阵A，?乘A的各行元素；右乘，?乘A的各列元素；

ii????n??13

?1??1??????1?1③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)?E(i,j)，例如：?1???；

??1?1??????11④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))?1?E(i())，例如：?k?k???1?1??1?????k1???????(k?0)； ?1??k??k??1?1?????1⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))?1?E(ij(?k))，如：?1???(k?0)；

??1?1??????15. 矩阵秩的基本性质：

①、0?r(Am?n)?min(m,n)；

②、r(AT)?r(A)；

③、若A?B，则r(A)?r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)?r(PA)?r(AQ)?r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))?r(A,B)?r(A)?r(B)；（※） ⑥、r(A?B)?r(A)?r(B)；（※） ⑦、r(AB)?min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是m?n矩阵，B是n?s矩阵，且AB?0，则：（※） Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX?0解（转置运算后的结论）；

Ⅱ、r(A)?r(B)?n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)?r(A)?r(B)?n；

6. 三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）?行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

?1a②、型如?c??01b??的矩阵：利用二项展开式；

??001??n 二项展开式：(a?b)n?C0n1n?11man?mbm???Cn?11n?1nnmmn?mna?Cnab???Cnnab?Cnb??Cnab；

m?0

注：Ⅰ、(a?b)n展开后有n?1项；

Ⅱ、Cmn(n?1)??(n?m?1)n!n?1?2?3???m?m!(n?m)!C0?Cnnn?1

Ⅲ、组合的性质：Cm?Cn?mmmnnCn?1?C?Cm?1nn ?nCrn?2nrCrr?1n?nCn?1； r?0③、利用特征值和相似对角化：

7. 伴随矩阵：

?r(A)?n?????①、伴随矩阵的秩：r(A*)??n?1r(A)?n?1； ??0r(A)?n?1②、伴随矩阵的特征值：A???(AX??X,A*?AA?1???A*X?A?X)；

③、A*?AA?1、A*?An?1

8. 关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)?n，A中有n阶子式不为0，n?1阶子式全部为0；（两句话）

②、r(A)?n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)?n，A中有n阶子式不为0；

9. 线性方程组：Ax?b，其中A为m?n矩阵，则：

①、m与方程的个数相同，即方程组Ax?b有m个方程；

②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Ax?b为n元方程；

10. 线性方程组Ax?b的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）；

②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

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11. 由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

?a11x1?a12x2???a1nx①、?n?b1?????a21x1?a22x2???a2nxn?b2???； ??????????????am1x1?am2x2???anmxn?bn?a11a12?a1n??x1??②、??a21a22?a????b1??2nA为m?n矩阵，m个方程，n个未知数）

???x2????b2????????Ax?b（向量方程，?am1am2?a??????x?????b?mnm??m??③、?x1??b1??a1a?ax???22n??????（全部按列分块，其中???b2?????）； ???x??n??b?n?④、a1x1?a2x2???anxn??（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)?r(A,?)?n（n为未知数的个数或维数）

4、向量组的线性相关性

1.

m个n维列向量所组成的向量组A：?1,?2,?,?m构成n?m矩阵A?(?1,?2,?,?m)； ???T1?T?m个n维行向量所组成的向量组B：?TTT?1,?2,?,?m构成m?n矩阵B??2??；

??????T?m??含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应；

2. ①、向量组的线性相关、无关 ?Ax?0有、无非零解；（齐次线性方程组）

②、向量的线性表出 ?Ax?b是否有解；（线性方程组） ③、向量组的相互线性表示 ?AX?B是否有解；

（矩阵方程）

3. 矩阵Am?n与Bl?n行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax?0和Bx?0同解；(P101例14)

4.

r(ATA)?r(A)；(P101例15)

5.

n维向量线性相关的几何意义： ①、?线性相关 ???0；

②、?,?线性相关 ??,?坐标成比例或共线（平行）；

③、?,?,?线性相关 ??,?,?共面；

6. 线性相关与无关的两套定理：

若?1,?2,?,?s线性相关，则?1,?2,?,?s,?s?1必线性相关；

若?1,?2,?,?s线性无关，则?1,?2,?,?s?1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶） 若r维向量组A的每个向量上添上n?r个分量，构成n维向量组B：

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若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减） 简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

7. 向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则r?s； 向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)?r(B)；

向量组A能由向量组B线性表示

?AX?B有解； ?r(A)?r(A,B)

向量组A能由向量组B等价??r(A)?r(B)?r(A,B)

8. 方阵A可逆?存在有限个初等矩阵P1,P2,?,Pl，使A?P1P2?Pl；

①、矩阵行等价：A~B?PA?B（左乘，P可逆）?Ax?0与Bx?0同解 ②、矩阵列等价：A~B?AQ?B（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~B?PAQ?B（P、Q可逆）；

cr

9. 对于矩阵Am?n与Bl?n：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax?0与Bx?0同解，A与B的任何对应的列向量组有相同的线性相关性； ③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩；

10. 若Am?sBs?n?Cm?n，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵； ②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

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11. 齐次方程组Bx?0的解一定是ABx?0的解，【考试中可以直接作为定理使用，而无需证明】 ①、ABx?0 只有零解???Bx?0只有零解；

②、Bx?0 有非零解???ABx?0一定存在非零解；

12. 设向量组Bn?r:b1,b2,?,br可由向量组An?s:a1,a2,?,as线性表示为：

(b1,b2,?,br)?(a1,a2,?,as)K（B?AK）

其中K为s?r，且A线性无关，则B组线性无关?r(K)?r；（B与K的列向量组具有相同线性相关性）

（必要性：?r?r(B)?r(AK)?r(K),r(K)?r,?r(K)?r；充分性：反证法）

注：当r?s时，K为方阵，可当作定理使用；

13. ①、对矩阵Am?n，存在Qn?m，AQ?Em ?r(A)?m、Q的列向量线性无关；

②、对矩阵Am?n，存在Pn?m，PA?En ?r(A)?n、P的行向量线性无关；

14. ?1,?2,?,?s线性相关

?存在一组不全为0的数k1,k2,?,ks，使得k1?1?k2?2???ks?s?0成立；（定义）

?x1????(?1,?2,?,?s)?x2??0有非零解，即Ax?0有非零解；

??????xs??r(?1,?2,?,?s)?s，系数矩阵的秩小于未知数的个数；

15. 设m?n的矩阵A的秩为r，则n元齐次线性方程组Ax?0的解集S的秩为：r(S)?n?r；

16. 若?*为Ax?b的一个解，?1,?2,?,?n?r为Ax?0的一个基础解系，则?*,?1,?2,?,?n?r线性无关；

5、相似矩阵和二次型

1. 正交矩阵?ATA?E或A?1?AT（定义），性质：

①、A的列向量都是单位向量，且两两正交，即aTi?jiaj???1?0i?j(i,j?1,2,?n)； ②、若A为正交矩阵，则A?1?AT也为正交阵，且A??1； ③、若A、B正交阵，则AB也是正交阵；

注意：求解正交阵，千万不要忘记施密特正交化和单位化；

2. 施密特正交化：(a1,a2,?,ar)

b1?a1；

b1r2?a2?[b1,a2][bb?b ??? b[b,a]b[a,]b?ra[1r,]1r?ar??b1?2r?b2????b?r; 11,1][b1,b1]b[2b,2]br?b[r1?,1]

3. 对于普通方阵，不同特征值对应的特征向量线性无关；

对于实对称阵，不同特征值对应的特征向量正交；

4. ①、A与B等价 ?A经过初等变换得到B；

?PAQ?B，P、Q可逆； ?r(A)?r(B)，A、B同型；

②、A与B合同 ?CTAC?B，其中可逆；

?xTAx与xTBx有相同的正、负惯性指数； ③、A与B相似 ?P?1AP?B；

5. 相似一定合同、合同未必相似；

若C为正交矩阵，则CTAC?B?A?B，（合同、相似的约束条件不同，相似的更严格）；

6. A为对称阵，则A为二次型矩阵；

7.

n元二次型xTAx为正定：

?A的正惯性指数为n；

?A与E合同，即存在可逆矩阵C，使CTAC?E； ?A的所有特征值均为正数；

?A的各阶顺序主子式均大于0；

?aii?0,A?0；(必要条件)

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第一章 随机事件

互斥对立加减功，条件独立乘除清； 全概逆概百分比，二项分布是核心； 必然事件随便用，选择先试不可能。 第二、三章

一维、二维随机变量

1）离散问模型，分布列表清，边缘用加乘，条件概率定联合，独立试矩阵 2）连续必分段，草图仔细看，积分是关键，密度微分算3）离散先列表，连续后求导；分布要分段，积分画图算第五、六章

数理统计、参数估计

正态方和卡方出，卡方相除变F， 若想得到t分布，一正n卡再相除。 样本总体相互换，矩法估计很方便； 似然函数分开算，对数求导得零蛋； 区间估计有点难，样本函数选在前； 分位维数惹人嫌，导出置信U方甜。 第七章 假设检验

检验均值用U-T，分位对称别大意； 方差检验有卡方，左窄右宽不稀奇； 不论卡方或U-T，维数减一要牢记； 代入比较临界值，拒绝必在否定域！

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