2019高中数学第二章解三角形本章高效整合北师大版必修51

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2016-2017学年高中数学 第二章 解三角形本章高效整合 北师大版

必修5

(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订)

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．在△ABC 中，sin 2 C ＝sin 2 A ＋sin 2 B ，则△ABC 为( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

解析： 由正弦定理a sin A ＝b sin B ＝c

sin C ＝2R ，

得sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ， C ＝c

2R ，

又∵sin 2 C ＝sin 2 A ＋sin 2 B ，

∴c 2＝a 2＋b 2.∴△ABC 为直角三角形．

答案： A

2．在三角形ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，BC ＝7，则∠BAC 的大小为(

) A.2π3 B.5π6

C.3π4

D.π3

解析： 由余弦定理得cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 2

2AB ·AC

＝52＋32－722×5×3＝－12.

∵0<∠BAC <π，∴∠BAC ＝2π3.故选A.

答案： A

3．在△ABC 中，若a ＝7，b ＝3，c ＝8，则△ABC 的面积等于( )

A ．12 B.212

C ．28

D ．6 3

解析： 由余弦定理可得cos A ＝b 2＋c 2－a 2

2bc ＝12，∴A ＝60°，

∴S △ABC ＝12bc sin A ＝6 3.

答案： D

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4．在△ABC 中，下列关系一定成立的是( )

A ．a

B ．a ＝b sin A

C ．a >b sin A

D ．a ≥b sin A

解析： 由正弦定理知a sin A ＝b sin B

， ∴sin B ＝b a sin A .

又∵在△ABC 中，0

∴0

sin A ≤1，∴a ≥b sin A .

答案： D

5．已知三角形的两边长分别为4,5，它们夹角的余弦是方程2x 2＋3x －2＝0的根，则第三边长是( ) A.20 B.21 C.22 D.61 解析： 设长为4,5的两边的夹角为θ，

由2x 2＋3x －2＝0得：x ＝12

或x ＝－2(舍)． ∴cos θ＝12

， ∴第三边长为

42＋52－2×4×5×12

＝21. 答案： B

6．符合下列条件的三角形有且只有一个的是( )

A ．a ＝1，b ＝2，c ＝3

B ．a ＝1，b ＝2，A ＝30°

C ．a ＝1，b ＝2，A ＝100°

D ．b ＝c ＝1，B ＝45° 解析： A ：a ＋b ＝3＝c ，不能构成三角形；

B ：b sin A

C ：a

D ：b ＝c ＝1，故△ABC 为等腰三角形，

∴C ＝B ＝45°，∴A ＝90°，故只有一解．

答案： D

7．在△ABC 中，已知2sin A cos B ＝sin C ，那么△ABC 一定是( )

A ．直角三角形

B ．等腰三角形

C ．等腰直角三角形

D ．正三角形

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解析： 由2sin A cos B ＝sin C 得

2sin A cos B ＝sin A cos B ＋cos A sin B .

∴sin A cos B －cos A sin B ＝0

∴sin(A －B )＝0

∴A －B ＝0，即A ＝B ，故选B.

答案： B

8．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为A ，B ，C 的对边，如果2b ＝a ＋c ，B ＝30°，△ABC 的面积为32，那么b 等于( ) A.1＋32 B ．1＋ 3 C.2＋22 D ．2 3

解析： ∵S △ABC ＝1

2ac sin B ，∴ac ＝6.

又∵b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac －2ac ·cos 30°

＝4b 2－12－6 3

∴b 2＝4＋23，∴b ＝1＋ 3.

答案： B

9．在△ABC 中，b 2－bc －2c 2＝0，a ＝6，cos A ＝7

8，则△ABC 的面积为(

) A ．2 B ．3 C.15

2 D.15

解析： 由b 2－bc －2c 2＝(b ＋c )(b －2c )＝0，得b ＝2c .

由余弦定理(6)2＝(2c )2＋c 2－2×2c ×c ×7

8，

得c ＝2，b ＝4. 故S △ABC ＝12bc sin A ＝15

2.

答案： C

10．在△ABC 中，已知b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，则△ABC 一定是( )

A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等边三角形

D ．等腰直角三角形

解析： b ＝a sin C ，c ＝a cos B ，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B .

a 2sin 2C ＝a 2＋a 2cos 2 B －2a cos B ·a cos B