理论力学1-7章答案

第7章 点的复合运动

7-1 图示车A沿半径R的圆弧轨道运动，其速度为vA。车B沿直线轨道行驶，其速度为vB。试问坐在车A中的观察者所看到车B的相对速度vB/A，与坐在车B中的观察者看到车A的相对速度vA/B，是否有vB/A??vA/B？（试用矢量三角形加以分析。）

?AOA?eO?A?2?A/B?B?1?B/A?

习题7-1图

(a)

?

?e??B(b)

B

答：vB/A??vA/B

1．以A为动系，B为动点，此时绝对运动：直线；相对运动：平面曲线；牵连运动：定轴转动。 为了定量举例，设OB?3R，vA?vB?v，则ve?3v

?vB/A?2v???60? ∴ ?1

2．以B为动系，A为动点。牵连运动为：平移；绝对运动：圆周运动；相对运动：平面曲线。

??vA/B?2v?? 此时??2?45? ∴ vB/A??vA/B

7-3 图示记录装置中的鼓轮以等角速度?0转动，鼓轮的半径为r。自动记录笔连接在沿铅垂方向并按y?asin(?1t)规律运动的构件上。试求记录笔在纸带上所画曲线的方程。 解：x?r?0t y?asin(?1t)

（1） （2）

r?0 由（1）

代入（2），得

?1xy?asin()习题7-3图

?0r

7-5 图示铰接四边形机构中，O1A = O2B = 100mm，O1O2 = AB，杆O1A以等角速度?= 2rad/s绕轴O1转动。AB杆上有一套筒C，此套筒与杆CD相铰接，机构的各部件都在同一铅垂面内。试求当?= 60?，CD杆的速度和加速度。

解：1．动点：C（CD上），动系：AB，绝对：直线，相对：直线，牵连：平移。 2．va?ve?vr（图a） ve = vA

va?vecos??0.1?2?1?0.012m/s（↑）

t?x 3． aa?ae?ar（图b）

22 ae?r??0.1?2?0.4m/s2 aa?aecos30??0.346m/s2（↑）

O1O1??aevAaavve??O2O2AAvrCCarBB

习题7-5图

7-7 图示瓦特离心调速器以角速度?绕铅垂轴转动。由于机器负荷的变化，调速器重球以角速度?1向外张开。如?= 10 rad/s，?1= 1.21 rad/s；球柄长l = 0.5m；悬挂球柄的支点到铅垂轴的距离e = 0.05m；球柄与铅垂轴夹角?= 30°。试求此时重球的绝对速度。 解：动点：A，动系：固连于铅垂轴，绝对运动：空间曲线，相对运动：圆图，牵连运动：定轴转动。

va?ve?vr

ve?(e?lsin?)??3m/s vr?l?1?0.605m/s

22 va?ve?vr?3.06m/s 或 ve??3i?m/s

z?ea?e?1?r?BA习题7-7图

x?y?vr?vrcos?j??vrsin?k?(a)

?0.520j??0.300k? va?(?3, 0.520, 0.300)m/s

7-9 图示直角曲杆OBC绕O轴转动，使套在其上的小环M沿固定直杆OA滑动。已知OB = 0.1m；OB与BC垂直；曲杆的角速度?= 0.5 rad/s。试求当?= 60°时小环M的速度和加速度。 C?r

?

M O? ?M?

?? B ?e? ? (a)

习题7-9图

解：动点：小环M，动系：OBC，绝对运动：直线，相对运动：直线，牵连运动：定轴转动。

图（a）：vM?ve?vr

OB??ve?OM????0.1cos? m/s vM?vetan??0.173m/s

图（b）：aM?ae?ar?aC 上式向aC投影，

aMcos???aecos??aC

2 又 ae?OM???0.05m/s2

aC?2?vr?2??ve/cos??0.20m/s2

arOaeMaMAaC(b)

??（1）

?? 代入（1），得 aM = 0.35m/s2（→）

7-`11 图示偏心凸轮的偏心距OC = e，轮半径r?3e。凸轮以等角速度?0绕O轴转动。设某瞬时OC与CA成直角，试求此瞬时从动杆AB的速度和加速度。 解：1．动点：A（AB上），动系：轮O，绝对运动：直线，相对运动：圆周，牵连运动：定轴转动。 2．va?ve?vr（图a） vr?2e?0，

va?vetan30??2343e?0vr?2va?e?033（↑），

nτ 3．aa?ae?ar?ar?aC（图b）

?e

习题7-11图

?aA?raCA?OCaτr?anraeC?(a)

? O? (b)

? 向ar投影，得

n aacos30??aecos30??ar?aC

2arn?aC?2e?2?2(vr?2?v)aa?ae?e0r33ecos30?

n333

7-13 A、B两船各自以等速vA和vB分别沿直线航行，

2?2e?0?2(162e?0?2?043e?0)2e?203=9（↓）

如图所示。B船上的观察者记录下两船的距离?和角?，

试证明：

???2?????????r??2 ?，?

解：证法一：∵vA、vB均为常矢量，∴B作惯性运动。 在B船上记录下的两船距离?和角?为A船相对B

船运动的结果。以A为动点，B为动系，则牵连运动为平移，绝对运动为直线，相对运动：平面曲线。 aa?ae?ar

∵ aa?aA?0，aa?aB?0 ∴ ar?0

由教科书公式（2-35），

习题7-13图

????????2)e??(?????2??)e??0ar?(?

????????2????2????????? ∴ ? 证法二：建立图（a）坐标系Bxy，则

??? xA??cos?，xA???sin?????cos?

y?AA??B?Bx??(a)

??? yA??sin?，yA??cos?????sin?

??cos??2?????A???sin?????2cos??????sin?x

????????2)cos??(2???????)sin??(???sin??2?????A???cos????sin??????cos?y?2?????????????)cos??(??2)sin??(2?

22?????????A??A?2)2?(?????2??)2?0a?x?y?(?r

2????????????2????????? ∴ ?

7-15 图示直升飞机以速度?H= 1.22 m/s和加速度aH = 2m/s2向上运动。与此同时，机身（不是旋翼）绕铅垂轴（z）以等角速度?H= 0.9 rad/s转动。若尾翼相对机身转动的角速度为?B/H= 180 rad/s，试求位于尾翼叶片顶端的一点的速度和加速度。

解：vP?vHk?6.1?Hi?0.762?B/Hj

??5.49i?137.2j?1.22k

22 aP?aHk?6.1?Hj?0.762?B/Hk?(2?Hk?0.762?B/Hj) ?2k?4.94j?24689k?246.9i ?(?246.9i?4.94j?24687k)m/s2

习题7-15

图

第6章 点的一般运动与刚体的简单运动

6－1 试对图示五个瞬时点的运动进行分析。若运动可能，判断运动性质；若运动不可能，说明原因。 答：（a）减速曲线运动； （b）匀速曲线运动； （c）不可能，因全加速度应指向曲线凹 （d）加速运动；

（e）不可能，v?0时，an?0，此时a应指向凹面，不能只有切向加速度。

习题6-1图

6-3 图示点P沿螺线自外向内运动。它走过的弧长与时间的一次方成正比，试问该点的速度是越来越快，还是越来越慢？加速度是越来越大，还是越来越小？ 解：s = kt

??k?const，匀速运动； v?s aτ?0 v2an?? ∴a?an

∵?逐渐变小，∴ 加速度a越来越大。

6-5 已知运动方程如下，试画出轨迹曲线、不同瞬时点的v、a图像，说明运动性质。

习题6-3图

2??x?4t?2t?x?2sint??2?y?3t?1.5t， 2．?y?2cos(2t) 1．?式中，t以s计；x以mm计。 解：1．由已知得 3x = 4y （1）

y3?O4x??4?4t?x???3?3t ∴v?5?5t ?y ?????4x??(a) ???y??3a??5? ∴ y 为匀减速直线运动，轨迹如图（a），其v、a图像从略。

2 2．由已知，得

1?yx1xarcsin?arccosO12?3322 ?142??2???y?2?x 9 化简得轨迹方程：（2）

轨迹如图（b），其v、a图像从略。 (b) 习题6-7图

6-7 搅拌机由主动轴O1同时带动齿轮O2、O3转动，搅杆ABC用销钉A、B与O2、O3轮相连。若已知主动轮转速为n = 950 r/min，AB = O2O3，O2A = O3B = 250mm，各轮的齿数Z1、Z2、Z3如图中所示。试求搅杆端点C的速度和轨迹。

解：搅杆ABC作平移，∴ vC = vA，C点的轨迹为半径250mm的圆。

Z2π20?2??1?1?950???39.8Z60502 rad/s

vA?0.25??2?9.95m/s

6-9 图示凸轮顶板机构中，偏心凸轮的半径为R，偏心距OC = e，绕轴O以等角速转动，从而带动顶板A作平移。试列写顶板的运动方程，求其速度和加速度，并作三者的曲线图像。 解：（1）顶板A作平移，其上与轮C接触点坐标： y?R?esin? t（?为轮O角速度）

??e?cos? t v?y???e?2sin? t y a??y

ωt

x

（2）三者曲线如图（a）、（b）、（c）。

习题6-9图

? y a

R?e ?e?R e?2O

?t?tR-e O?e?? ?tπ-e?2O ? (b)

?

(a) (c)

6-11 图示绳的一端连在小车的的点A上，另一端跨过点B的小滑车绕在鼓轮C上，滑车离AC的高

度为h。若小车以速度v沿水平方向向右运动，试求当?= 45°时B、C之间绳上一点P的速度、加速度和

??绳AB与铅垂线夹角对时间的二阶导数?各为多少。 解：1．∵P点速度与AB长度变化率相同

?d12xxvvP?(h2?x2)2???dt2h2?x22（?= 45°，x = h时） ∴

?P?aP?v??2dxxxv2()??dth2?x222h22h

习题6-11图

12．同样：

??0，x = h） x（∵?xxtan????tan?1h，h 3．

1?x?hxh????x2h2?x21?2h ∴

?2?2hxxv2????2??222(h?x)2h（顺） ∴

6-13 自行车B沿近似用抛物线方程y = Cx2（其中C = 0.01m-1）描述的轨道向下运动。当至点A（xA =

?20m，y = 4m）时，?B= 8m/s，d?B/dt=4m/s2 。试求该瞬时B的加速度大小。假设可将车－人系统看成

A

点。

解：A点的曲率半径?： y = 0.01x2

0.02

x = 20m时，?= 62.47m

???1?(y??x322)?y?x?322(1?0.0004x)

an?v2??1.024m/s2

习题6-13图

2222a?a?a?4?1.024?4.13m/s2 Bτn

6-15 由于航天器的套管式悬臂以等速向外伸展，所以通过内部机构控制其以等角速度?= 0.05 rad/s绕轴z转动。悬臂伸展长度l从0到3m之间变化。外伸的敏感试验组件受到的最大加速度为0.011m/s2。

?试求悬臂被允许的伸展速度l。

解：用极坐标解，由书上公式（2－35）：

????????2)e??(?????2??)e?aP?(?

2????????2)2?(?????2??)2 得 aP?(???= 0（等速向外）本题中 aP = 0.011 m/s2，?，

??= 0（等角速度?） ?224?2???4??2 ∴ aP?????l? ???，? 这里??1.2?l，?224?22 即 aP?(1.2?l)??4l?

2242?2 即 0.011?(1.2?3)?0.05?4?0.05?l

? ∴ lmax?32.8mm/s

习题6-15图

运动学篇

第5章 引 论

5－1 图中所示为游乐场内大回转轮上的游人坐椅（B）。当回转轮绕固定轴转动时，试分析座椅－人的运动形式。 答：平移。

习题5-1图 习题5-2图

5－3 直杆AB分别在图a和b所示的导槽内运动。其中图a所示的槽壁分别为铅垂面与水平面；图b所示的槽壁为圆柱面与水平面相连接。试分析杆在两种情形下的运动形式。 答：（a）杆AB之A端位于铅垂面时作平面运动；当A端下滑至水平面时，AB作平移。

（b）当B位移于圆弧段时，AB绕O作定轴转动；当B过C点而A尚未过C点时作平面运动；当A过C点时作平移。

习题5-3图 习题5-4图

第4章 摩擦平衡问题

4－1 一叠纸片按图示形状堆叠，其露出的自由端用纸粘连，成为两叠彼此独立的纸本A和B。每张纸重0.06N，纸片总数有200张，纸与纸之间以及纸与桌面之间的摩擦因数都是0.2。假设其中一叠纸是固定的，试求拉出另一叠纸所需的水平力FP。 解：1．将A从B中拉出：

A中最上层，这里称第1层纸，其上、下所受正压力分别为 FN1 = mg = 0.06N FN2 = 2mg

以此类推，A中第i层纸上、下受力图（a）

习题4-1图 FNis?(2i?1)mg

FNix?2img

其最下层，即第100层纸，上、下受正压力 FN100s = 199 mg FN100x = 200 mg

所受总摩擦力

FsA??fdFNi

FNisFSisAiFNixFSix?fdmg[(1?2)?(3?4)???(2i?1?2i)???(199?200)]

?0.2?0.06?200?(200?1)?2412N

(a)

∴ FPA = 241 N 2．将B从A中拉出：

B中第i层纸上、下受正压力（图b）： FNis?(2i?2)mg，FNix?(2i?1)mg

所受总压力

FN?mg[(0?1)?(2?3)???(198?199)] 所受总摩擦力

FNisFSisBiFSixFNix (b)

∴ FPB = 239 N

4－3 砖夹的宽度为250mm，杆件AGB和GCED在点G铰接。砖的重为W，提砖的合力FP作用在砖夹的对称中心线上，尺寸如图所示。如砖夹与砖之间的静摩擦因数fs = 0.5，试问d应为多大才能把砖夹起（d是点G到砖上所受正压力作用线的距离）。 B G FPF F d 'FN2FN1FN1 A F' W (a) (b) 习题4-3图 解：1．整体（题图）

?Fy?0 ，FP = W （1） 2．图（a）

WF??Fy?02 ，（2） ?Fx?0，FN1 = FN2

F?fFN1

3．图（b） ?MG?0

FsB?fdmg(1?2?3???199)?0.2?0.06?199?(199?1)?2392N

（3） （4）

FN1?FN2?FW?f2f

?1d?0 FP?95?F??30?FNWW95W?30??d?022f

d?110mm

4－5 图示为凸轮顶杆机构，在凸轮上作用有力偶，其力偶矩的大小为M，顶杆上作用有力FQ。已知顶杆与导轨之间的静摩擦因数fs，偏心距为e，凸轮与顶杆之间的摩擦可忽略不计，要使顶杆在导轨中向上运动而不致被卡住，试问滑道的长度l应为多少？ 解：

1．对象：凸轮；受力图（b）

W?2?FN?M?0Oe ，（1） 2．对象：顶杆，受力图（a）

?Fy?0F?2Fs?FN2 ，Q （2） Fs?Fs1?Fs2 Fs?fsFN1 （1）、（3）代入（2），得

MFQ?2fsFN1?e

?MC(F)?0，FN1?l?FN2?e?M

MFN1?l

（3） （4） 习题4-5图 FQFN1eFN2Fs1C'F'N1Fs1OMe(a) F'N2 (b) 代入（4），得

MMFQ?2fs??le

2Mefsl?M?FQe ∴

2Mefslmin?M?FQe 即

4－7 一人用水平力F将电气开关插头插入插座。二者初始接触的情形如图所示，当F = 13.3N时，插头完成所述动作。试问开始插入时，垂直于插座中每个簧片上的接触分量是多少？设摩擦因数为0.25。 解：图（a），由对称性 Fs1?Fs2，FN1?FN2

?Fx?0， 2Fscos??2FNsin??F （1） Fs?fsFN （2） 由（1）、（2）

F13.3FN???9.282(fcos??sin?)312(0.25??)22 ∴ N

FN1?

Fs1 Fx

?Fs2

FN2习题4-7图

(a) 4－9 图示均质杆重W，长l，置于粗糙的水平面上，二者间的静摩擦因数为fs。现在杆一端施加与杆垂直的力FP，试求使杆处于平衡时FP的最大值。设杆的高度忽略不计。

Wq?fsl 解：设杆在FP作用下有绕A转动趋势，杆单位长度受摩擦力，方向如图（a）。 即

?Fy?0，

FP?WWfsx?fs(l?x)?0ll

（1） （2） （3） 习题4-9图 FP?fsW?2fsWx?0l

l?xWl?fsx?02l2 2x)?0l

?MC?0， 由（2），

FP?FP?fsW(1?（4） y2xl?xxfsW(1?)??fsW??0l22 代入（3）， 2x(1?)(l?x)?x?0l

(l?2x)(l?x)?lx?0

22 2x?4lx?l?0

q1(l?x)2OACqxFPxl2x?(1?)l?0.293l(a) 2

12fsW 代入（4），FP?0.4

4－11 图示为螺旋拉线装置。两个螺旋中一个为左旋，另一个为右旋，因而当转动中间的眼状螺母时，两端钢丝绳可拉紧或松开。已知螺纹是矩形的，螺旋半径为6.35mm，螺距为2.54mm，该装置现承受拉力FT = 5kN。为松开拉线，克服阻力转动螺母，需作用力矩M = 30.2N·m。试求在螺旋中的有效摩擦因数。 解：取眼状螺母上端螺纹，受力图（a）

螺纹斜率

tan??l2.54??0.063662πr2π?6.35 FT ??3.6426?

sin??0.06353，cos??0.9980 作用在螺纹上的切向力

M30.2Fτ???23782r0.0127 N

其平衡方程：

FN?FTcos??Fτsin??0 （1） F?FTsin??Fτcos??0 （2） 临界：F = f FN （3） 解（1）、（2）、（3）联立，得松开时

?FτFs(a) FN FTFcos??FTsin?f?τFTcos??Fτsin?? 习题4-11图 Fτ2373?318?4990?151

?0.556（松开）

讨论：原书答案对应于拉紧时摩擦系数，其受力图（b）， 其平衡方程：

FN?FTcos??F?sin??0

F?FTsin??Fτcos??0 F = f FN

Fcos??FTsin?f?τ?0.400Fcos??Fsin?Tτ 解得（拧紧）

Fs(b) FN

4－13 图示均质杆重22.2N，B端放置于地面，A端靠在墙上。设B端不滑动，试求A端不滑动时的最小静摩擦因数。 解：BA?(?3)?1?22122?4??26

(?3,1,4)26 BA的单位矢量 e1 =

A端可能滑动的方向在平行于yz面过A点的平面内，且⊥e1，设其单位矢为e2，则

e 2 =(0,cos?,?sin?) ?为e2与y正向夹角。 ∵ e⊥e，即e1?e2?0

1

2

1

习题4-13图

(?3,1,4)?(0,cos?,?sin?)?0 26

??4sin??0 即 cos41cos??sin??17，17

墙对A端的法向反力 FN = FN i 摩擦力 F??fFNe2

A点总反力：

B1zFF3 e1e2?4mA FN3m1m(a) FRA?FN?F?(FN,?fFN?FN(1,?4517417,,fFNf17)

117xy) ?FN?1?fFN?417?3?0

由平衡方程：?Mz(F)?0，

4－15 平板闸门宽度l = 12m（为垂直于图面方向的长度），高h = 8m，重为400kN，安置在铅垂滑槽内。A、B为滚轮，半径为100mm，滚轮与滑槽间的滚动阻碍系数?= 0.7mm，C处为光滑接触。闸门由起重机启闭，试求：

1．闸门未启动时（即FT = 0时，A、B、C三点的约束力）； 2．开启闸门所需的力FT（力FT通过闸门重心）。 解：闸门受水压如图（a）线性分布

最大压强：qm?h??8?9.8?78.4kN/m2 总压力

Q?lh11qm?12?8??78.4?376322kN

f?17?0.34412

h 位于距C为3处

1．闸门未启时平衡：

?Fx?0，Q?FRA?FRB?0

?Fy?0FRC?W?0 ， 86FRA?Q(?1)?03 ?MB?0，

（1） （2） （3） A

习题4-15图

解得

FRA?FRB?5Q?104518kN 13Q?271818kN

FRAFTAFRA FRC?W?400kN

（原书答案为设水重度?= 10 kN/m3所致） 2．启动闸门时，图（b）

?0.7FA?FRA??104?57.3R100 摩擦阻力 kN FB?FRBR

闸门能启动的条件是

FT?W?FA?FB?426.3kN

FQWBFQFRBh3FAWBqmCFBFRC (b) FRB ?0.7??2718?19.0100kN

(a)

第3章 力系的平衡

3－1 试求图示两外伸梁的约束反力FRA、FRB，其中（a）M = 60kN·m，FP = 20 kN；（b）FP = 10 kN，FP1 = 20 kN，q = 20kN/m，d = 0.8m。 解：图（a-1）

?Fx?0，F = 0

Ax

?MA?0，?M?FP?4?FRB?3.5?0 ?60?20?4?FRB?3.5?0 FRB = 40 kN（↑）

?Fy?0FAy?FRB?FP?0 ，

F??20 AykN（↓） 图（b-1），M = FPd

dqd??FPd?FRB?2d?FP1?3d?02 ?MA?0，

1qd?FP?2FRB?3FP1?0 即 2

（a）

（b）

习题3－1图

1?20?0.8?10?2FRB?3?20?0 2 FRB = 21 kN（↑）

?Fy?0 ，FRA = 15 kN（↑） MqdFP FP1M BFAxAB CCABD

FRBFAy FRAFRB (a) (b)

3－3 拖车重W = 20kN，汽车对它的牵引力FS = 10 kN。试求拖车匀速直线行驶时，车轮A、B对地面的正压力。

Fs?M(F)?0A 解：图（a）：

W ?W?1.4?FS?1?FNB?2.8?0

FNB?13.6 kN

?Fy?0FNA?6.4 ，kN

习题3－3图

3－5 钥匙的截面为直角三角形，其直角边AB = d1，BC = d2。设在钥匙上作用一个力偶矩为M的力偶。试求其顶点A、B、C对锁孔边上的压力。不计摩擦，且钥匙与锁孔之间的隙缝很小。 ant 解：图（a）：

FAAFBB

FNA(a)

FNB ??d1d2

（1） （2） （3）

A习题3－5图

ΣMA = 0，FB?d1?FC?d2?M ΣFx = 0，FB?FAsin??0 ΣFy = 0，FC?FAcos??0 解（1）、（2）、（3）联立，得

FAMd22d12?d2

MdFB?212d1?d2

FC?FA?M2122d1FBBM?CFC

d2(a)

d?d

3－7 起重机装有轮子，可沿轨道A、B移动。起重机桁架下弦DE的中点C上挂有滑轮（图未画出），用来提起挂在索链CG上的重物。从材料架上提起的物料重W = 50 kN，当此重物离开材料架时，索链与铅垂线成?= 20°角。为了避免重物摆动，又用水平绳索GH拉住重物。设索链张力的水平分力仅由右轨道B承受，试求当重物离开材料架时轨道A、B的受力。 TC?

CTH

?' GTC BFBxA

W FByFRA (b) (a)

习题3－7图

解：图（a），ΣFy = 0，TC?W/cos? （1）

?sin??W tan? 图（b），ΣF = 0，FBx?TCx

?cos??2h?TC?sin??4h?0 ΣMB = 0，?FRA?4h?TC1FRA?(?tan?)W2 （↑）

1FBy?(?tan?)W2 ΣFy = 0，（↑）

3－9 题图上部为小腿的骨架。通过附着在髋部A和膝盖骨B上的四头肌，使小腿抬起。膝盖骨可在膝关节的软骨上自由滑动。四头肌进一步延伸，并与胫骨C相附着。小腿的力学模型示于题图的下部。试求四头肌的拉力FT和股骨（铰）D受到的合力大小。小腿质量为3.2kg，质心为G1，脚的质量为1.6kg，质心为G2。

251tan???753，??18.43? 解：

图（a）：ΣMD = 0

FT?25?(G1?425?G2?725)sin75??0

25FT?(3.2?9.8?425?1.6?9.8?725)sin75? FT = 954N

ΣF = 0，FDx?FTcos(??15?)?0

x

习题3－9图

FT?FDx FDx?954?cos33.43??796N D?75G1CFDy?FTsin(??15?)?G1?G2?0 ΣFy = 0，

FDyG2FDy954sin33.43??(3.2?1.6)?9.8?0 G1 FDy = 479 N

G2

(a)

3－11 一活动梯子放在光滑水平的地面上，梯子由AC与BC两部分组成，每部分的重均为150N，重心在杆子的中点，彼此用铰链C与绳子EF连接。今有一重为600N的人，站在D处，试求绳子EF的拉力和A、B两处的约束力。

FP CC

WWW

TEFEFF

BBA

FRB

FFRBRA (b) (a) 习题3－11图

解：图（a）：ΣMA = 0

FRB?2?2.4cos75??600?1.8cos75??W(1.2?3.6)cos75??0 FRB = 375 N ΣFy = 0，FRA = 525 N 图（b）：ΣMC = 0

?TEF?1.8sin75??150?1.2cos75??FRB?2.4cos75??0 TEF = 107 N

3－13 飞机起落架由弹簧液压杆AD和油缸D以及两个绕枢轴转动的连杆OB和CB组成，假设该装置正以匀速沿着跑道运动，轮子所支承的载荷为24kN。试求A处销钉所受的力。

sin?sin60??70解：图（a）：250 ??18.0167??18?

ΣMO = 0

FBCcos12??500?FDA?250cos30??0

（1）

F?FDA?FBCcos18??0 ΣFy = 0，Oy （2） FOy = 24 kN （3） 解（1）、（2）、（3），得 FDA = 41.5 kN

C

?

FBC?

FDA

60?B A ?30FOx O FOy (a)

习题3－13图

3－15 厂房构架为三铰拱架。桥式吊车顺着厂房（垂直于纸面方向）沿轨道行驶，吊车梁的重W1 = 20kN，其重心在梁的中点。跑车和起吊重物的重W2 = 60kN。每个拱架重W3 = 60kN，其重心在点D、E，正好与吊车梁的轨道在同一铅垂线上。风压的合力为10kN，方向水平。试求当跑车位于离左边轨道的距离等于2m时，铰支承A、B两处的约束力。

W3W3R 10kN FlW2W1Fr W2W1 FAxBFBx 2m2m4m

FAyFBy

(a) (b)

习题3－15图 解：图（a）：ΣML = 0，

Fr?8?2W2?4W1?0

8Fr?2?60?4?20?0 Fr = 25 kN （1） 图（b）：ΣMA = 0，

F?12?10?5?W3?2?W3?10?W2?4?W1?6?0 By

12FBy?50?120?600?240?120?0

F?94.2 BykN

ΣFy = 0，FAy = 106 kN

ΣFx = 0，FBx?FAx?10kN （2） 图（c）：ΣMC = 0，

?(W3?Fr?)?4?FBx?10?WBy?6?0 FBx = 22.5 kN

.5kN 代入（2），得 FAx??12

CFr?W3BFBxFBy(c)

3－17 体重为W的体操运动员在吊环上做十字支撑。已知l、?、d（两肩关节间距离）、W1（两臂总重）。假设手臂为均质杆，试求肩关节受力。 解：图（a）：ΣF = 0，2FTcos??W

y

图（b）：ΣFx = 0， ΣFy = 0，

FTcos??W2

Wtan?2

Fx?FTsin??Fy?W?W12

l?dl?dW1M?FTcos????2?0222 ΣM = 0， Wl?dM?(W?1)42 ∴ FTFTFT ? ??Fx习题3－17图

W1F ye-d2W 2 (b) (a)

3－19 厂房屋架如图所示，其上承受铅垂均布载荷。若不计各构件重，试求杆1、2、3的受力。 解：图（a）：ΣFx = 0，FAx = 0

9FAy?FRE?q?(4.37?)?177.42 kN

图（b）：ΣMC = 0

12?2F3?(4.37?4.5)FAy?q(4.37?4.5)2??02

F2 = 358 kN（拉）

10ant??437，?= 12.89° 图（c）：习题3－19图 ΣFx = 0，F1 cos?= F3

F1?F3?367cos?kN（拉）

ΣFy = 0，F1sin??F2?0

F2??F1sin???81.8 kN（压）

qqCF2F1FAxABCDAEFAyFREFAyFF3(b)

?(a)

FF3(c)

3－21 夹钳手柄的倾斜角?，力FP，试求夹钳施加给物体的力。（注：原题已知尺寸不具体，故这儿改之）

解：原题载荷对荷，结构对称，故中对称面上水平方向约束力为0，因若不为零，则上约束力朝左，下约束力朝右，这是不可能的；由于对称，水平的约束力应都朝左或都朝右，这与作用力反作用又矛盾，故只能为0，得受力图（a）、（b）：

图（a）：ΣMB = 0

aF2b （1）

图（b）：ΣMD = 0

F2?asin??FP(lcos??asin?) （2）

F?（1） 代入（2），得

Fbsin??FP(lcos??asin?)

lcos??asin?F?FPbsin?

F2

C

FPAE?l?F2CBFF3aa?bD(a)

(b)

3－23 作用在踏板上的铅垂力FP使得位于铅垂位置的连杆上产生拉力FT = 400N，图中尺寸均已知。

试求轴承A、B的约束力。

y z

FT30? FAzFAy FByFBz xA FP (a)

习题322－23习题3－图 图

解：整体图（a）：

ΣM = 0，FP?200?FT?120cos30?

x

FP?400?120cos30??208200N

ΣMAy = 0，?FBz?200?FP?100?FT?160?0 208?100?400?160FBz???424200 N ΣFz = 0，FAz?FBz?FP?FT?0

FAz = 184N ΣMAz = 0，FBy = 0 ΣFy = 0，FAy = 0

∴ FA?184kN；FB?424kN

3－25 图示两匀质杆AB和BC分别重为W1和W2，其端点A和C处用固定球铰支撑在水平面上，另一端B用活动球铰相联接，并靠在光滑的铅垂墙上，墙面与AC平行。如杆AB与水平线成45°角，∠BAC = 90°，试求支座A和C的约束力及墙在B处的支承力。

解：1．取AB + BC杆为研究对象，受力图（a）

AO(W1?W2)??FRB?OB?02 ΣMAC = 0,

习题3－25图

1(W1?W2)2 ∴

ΣMAz = 0，FCy = 0

(F?FAy)?AC?0 ΣMCz = 0, RB

FRB?zFRBBW2W1OFCzC ∴

FAy1??(W1?W2)2

FCyFAzAFCxFCz ΣMAy = 0,

WFCz?22（↑）

AC?AC?W2??02

FAxxFAyyz(a)

ΣMCy = 0,

FAz?W1?(?FAz?W1)?AC?W2?AC?02

BFBzFByFAzFBxOW22

ΣFx = 0，FAx + FCx = 0 （1） 2．AB杆，受力图（b） ΣMOz = 0，FAx = 0 （2） 代入（1），∴ FCx = 0

W1xAFAx(b)

FAyy

第2章 力系的等效与简化

2－1 脊柱上低于腰部的部位A是脊椎骨受损最敏感的部位，因为它可以抵抗由力F对A之矩引起的过大弯曲效应，如图所示。已知F、d1和d2。试求产生最大弯曲变形的角度?。

解：本题实际是求使A处产生最大约束力偶。由力矩特性：F?AC（图a）时力臂最大。

d??tan?12d1 此时：

A

MA

FRA

习题2－1图

(a)

2－3 如图所示，试求F对点A的力矩。 解：MA(F)?rAB?F

F?C?d1d2B

(a)

ijk?-ddd43FF055 1Fd(?3,4,?7) =5

习题2－3图

rAB

(a)

2－5 齿轮箱有三个轴，其中A轴水平，B和C轴位于yz铅垂平面内，轴上作用的力偶如图所示。试求合力偶。

解：MA =（1, 0, 0）MA =3.6（1, 0, 0）kN·m

MB =（0, sin40°,cos40°）MB =6（0, sin40°,cos40°）kN·m MC =（0, sin40°,-cos40°）MC =6（0, sin40°,-cos40°）kN·m ∴ M = ΣMi = MA+ MB + MC =（3.6, 12sin40°, 0）kN·m

2－7 已知图示一平面力系对A（3,0），B（0,4）和C（–4.5,2）三点的主矩分别为：MA = 20kN·m，MB = 0，MC =–10kN·m。试求该力系合力的大小、方向和作用线。

解：由已知MB = 0知合力FR过B点；

由MA = 20kN·m，MC = -10kN·m知FR位于A、C间，且 AG?2CD（图（a）） 在图（a）中： 设 OF = d，则

d?4cot?

(d?3sin?)?AG?2CD

dCD?CEsin??(4.5?)sin?2 d(d?3)sin??2(4.5?)sin?2 即

d?3?9?d

d?3

∴ F点的坐标为（-3, 0） 合力方向如图（a），作用线如图过B、F点；

4tan??3

4AG?6sin??6??4.85

MA?FR?AG?FR?4.8 2025?kN4.86 510FR?(,)kN23 即

FR?4x?43 作用线方程：

讨论：本题由于已知数值的特殊性，实际G点与E点重合。

2－9 图示电动机固定在支架上，它受到自重160N、轴上的力120N以及力偶矩为25N·m的力偶的作用。试求此力系向点A简化的结果。

z 解：由已知

F1 =160N z F1 F2 =120N

Ay F3 =25N·m 7575r F1 =（0, 0, -160）N 2575200 F2 =（-120, 0, 0）N xM M =（25, 0, 0）N·m

r =（0.075, 0.2, 0.025）m 向A点简化，得 F2 FR = F1 + F2

=（-120, 0, -160）N (a) MA?M?r?F1?r?F2

y?（1）

习题2－7图

（2）

GEy423CD?4.5??dFOAx

FR(a)

=M?r?(F1?F2)

习题2－9图

ijk0.025?0.0750.20?160=（-7, 9, 24）N·m =（25, 0, 0）?120

2－11 折杆AB的三种支承方式如图所示，设有一力偶矩数值为M的力偶作用在曲杆AB上。试求支承处的约束力。

习题2－11图 FBDFB BDFB B45?FBB FBDFDM FMDMMA AA AFAFA FA F A (d)

(b) (c) (a)

MMFA?FB?FA?FB?2l； 图（b）l 解：图（a）：：

由图（c）改画成图（d），则

MFA?FBD?l

MFB?FBD?l ∴

2－13 齿轮箱两个外伸轴上作用的力偶如图所示。为保持齿轮箱平衡，试求螺栓A、B处所提供的约束力的铅垂分力。 FBy FAy

习题2－13图 (a)

?500?125?FAy?0.5?0 解：ΣMi = 0， FAy = 750N（↓） FBy = 750N（↑）

（本题中FAx ，FBx等值反向，对力偶系合成结果无贡献。）

2－15 试求图示结构中杆1、2、3所受的力。 解：3杆为二力杆 图（a）：ΣM = 0，F3?d?M?0

i

FD?2FBD?2Ml

F3?Md

F = F3（压） 图（b）：ΣFx = 0，F2 = 0

ΣFy = 0，

1d

A

F

习题2－15图

2－17 试求图示两种结构的约束力FRA、FRC。 解：（a），CD为二力杆，图（c）—力偶系

ΣMi = 0

FRA?FRC?M?2MdF1?F?Md（拉）

d2F1M3F2AF3

(a)

FA

(b)

2d2 习题2－17图

（b）AB为二力杆 图（d）ΣMi = 0

MM??FRC?FD?FRA?FDd d，

DFD

AM ?BD45

MAFRA

FRAFRCCF RC

(c) (d)

2－19 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。 解：AB为二力杆， 图（a）：ΣFx = 0， FABcos??F （1）

??dcos??M （2） 图（b）：ΣM = 0， FABi

'FDB

D(e)

由（1）、（2），得M = Fd 习题2－19图

AFAB'FAB?BFFOOM

FN

(a)

(b)

静力学篇

第1章 引 论

1－1 图a、b所示，Ox1y1与Ox2y2分别为正交与斜交坐标系。试将同一

方F分别对两坐标系进行分解和投影，并比较分力与力的投影。

y

Fy1F

Fy ?Fx1

Fx1

（c）

os? i1?Fnis? j1 解：（a），图（c）：F?Fc1y2Fy2FFy2Fx2x

x2

（d）

Fx2F?Fsin? j1

分力：Fx1?Fcos? i1 ， y1F?Fsin?

投影：Fx1?Fcos? ， y1 讨论：?= 90°时，投影与分力的模相等；分力是矢量，投影是代数量。 （b），图（d）：

Fsin?Fy2?j2F?(Fcos??Fsin? tan?)isin?x22 分力： ， F?Fcos(???) 投影：Fx2?Fcos? ， y2

讨论：?≠90°时，投影与分量的模不等。

1－3 试画出图示各物体的受力图。

F AxF

习题1－3图

FDCDCCBFFBAABBFAxAFA(a-1)

FBFAy或(a-2)

FB FAy(b-1)

FCB B D FBCFDFB A? BCFAxW FA A FAFAyD

(c-1) 或(b-2) (d-1)

FC DF CF C FAx?A FcB C A FAyDBFFA A FBFD (e-1) F 或(d-2) D (e-2)

DFFO1 'FAFO1C AAFOxO FOxOO1 FOyFOy ABFAAFA FA FFA WB W FB (f-2)

(f-3) (f-1) (e-3)

1－5 试画出图示结构中各杆的受力图。

习题 1－5图

F FET FCFBEBE FCx CCC FCy''F FCE B(a-2) FE W

'E(b-1) FD FB

(b-2)

'F BD' FAxFAxCFCxA DABFAy(a-1)

FD(a-3)

FAy(b-3)

'FCy

'FCFC' FB CC 'FE'FF DEDFDD EFAxE AB

FAy习题1－6图 FB

(c)

1－7 试画出图示连续梁中的AC和CD梁的受力图。

F1'FCFAxxCA

FCxBC FBFCyFAy 'FC y

(a)

习题1－7图

1－9 两种正方形结构所受力F均已知。试分别求其中杆1、2、3所受的力。

os45??F?0 解：图（a）：2F3c

F2DFDx

FDy(b)

2F2 （拉）

F1 = F3（拉）

F2?2F3cos45??0 F2 = F（受压） 图（b）：F3?F3??0

F3? F1 = 0

∴ F2 = F（受拉）

习题1－9图

FF F3D3F3 F3F3D?45A A 1F2

F2

F1F3?F1 (a-1) F3? (a-2) (b-1) (b-2)

1－11 图示起重机由固定塔AC与活动桁架BC组成。桁架BC用铰链连接于点C，并由钢索AB维持其平衡。重W = 40kN的物体悬挂在钢索上，钢索绕过点B的滑轮，并沿直线BC引向铰盘。长度AC = BC，不计桁架重量和滑轮摩擦。试用角?=∠ACB的函数来表示钢索AB的张力FAB以及桁架上沿直线BC的压力FBC 。

y FAB? 2

??FBCW(a) x

W习题1－11图

解：图（a）：?Fx?0， ∴ 即

FABcos?2?Wsin??0

FAB?2Wsin?2

?Fy?0，

FBC?W?Wcos??FABsin?2?0

2

?W?Wcos??W(1?cos?)?2W ∴ FBC?2W

1－13 图示用柔绳机连的两个小球A、B放置在光滑圆柱面上，圆柱面（轴线垂直于纸平面）半径OA = 0.1m，球A重1N，球B重2N，绳长0.2m。试求小球在平衡位置时半径OA和OB分别与铅垂线

2FBC?W?Wco?s?2Wsin?TATBA1N?1?2FNABFNB2NOC之间的夹角?1和?2，并求在点A和B

处小球对圆柱的压力FN1和FN2。小球的尺寸忽略不计。

解：AB?0.2m

360??1??2?2??114?35?2? （1） 图（a）：A平衡： B平衡：

?Fy?0?Fy?0?

习题1－13图

(a)

，TA?1?sin?1 （2）

，TB?2?sin?2 （3）

∵ TA = TB ∴ sin?1?2sin?2 sin?1?2sin(114?35???1) ?1?84?44? （4） ∴ ?2?29?51? （5） 由A平衡：FNA?1?cos?1?0.092N 由B平衡：FNB?2?cos?2?1.73N

1－15 由三脚架ABCD、铰车E和滑轮D组成的提升机构，从矿井中吊重W = 30 kN的物体，如图所示。若图中ABC为等边三角形，各杆和绳索DE与水平面都成60°角。试求当物体被匀速起吊时各杆所受的力。

解：节点D，受力图（a）：

zFBB60?FCFA?TEW6060?60?DyC60?EA(a)

x

习题1－15图

?Fx?0，FA = FB 显然TE = W

11F??T??2FA?cos260??0CE?Fy?022 ， 即 FC?TE?FA?0

（1）

（2）

（3）

333?2F??W?T??0AE222 ?Fz?0， （4）

解（1）、（2）、（3）、（4）联立，得 FC = -1.55kN（受压） FA = -31.5kN（受压） FB = -31.5kN（受压）

?FC?

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