电磁学（赵凯华）答案第2章 稳恒磁场

1. 一边长为2a的载流正方形线圈，通有电流I。试求：(1)轴线上距正方形中心为r0

处的磁感应强度；(2) 当a=1.0cm , I=5.0A , r0=0 或10cm时，B等于多少特斯拉？

解 （1）沿轴向取坐标轴OX，如图所示。利用一段载

流直导线产生磁场的结果，

正方形载流线圈每边在点P产生的磁感应强度的大小

均中:

为:

,式

由分析可知，4条边在点P的磁感应强度矢量的方向并不相同，其中AB边在P点的 B1方向如图所示。由对称性可知，点P上午B应沿X轴，其大小等于B1在X轴投影 的4倍。设B1与X轴夹角为α则:

把r0=10cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=3.9×10-7(T)。把r0=0cm , a=1.0cm ,I=5.0A 带入上式，得B=2.8×10-7(T)。可见，正方形载流线圈中心的B要比轴线上的一点大的多。

2. 将一根导线折成正n边形，其外接圆半径为a，设导线栽有电流为I，如图所示。试求：(1)外接圆中心处磁感应强度B0；(2) 当n→∞时，上述结果如何？

解: （1）设正n边形线圈的边长为b，应用有限长载流直导线产生磁场的公式，可知各边在圆

心

处

的

感

应

强

度

大

小

相

等

，

方

向

相

同

，

即

：

所以，n边形线圈在O点产生的磁感应强度为：

因为2θ=2π/n,θ=π/n，故有：于纸面向外。

由右手法则，B0方向垂直

（2）当n→∞时，θ变的很小，tanθ≈θ，所以：代入上述结果中，得：

此结果相当于一半径为a，载流为I的圆线圈在中心O点产生磁感应强度的结果，这一点在n→∞时，

是不难想象的。

3. 如图所示，载流等边三角形线圈ACD，边长为2a，通有电流I。试求轴线上距中心为r0处的磁感应强度。

解:由图可知，要求场点P的合场强B，先分别求出等边三角形载流线圈三条边P点产生的磁感

应强度Bi ，再将三者进行矢量叠加。

由有限长载流导线的磁场公式可知，AC边在P点产生的磁感应强度 BAC的大小为：

由于⊿ACP为等腰三角形，且PC垂直AC，即：

代入上述结果中，得：

由右手螺旋定则可知，BAC的方向垂直于ACP平面向外，如图所示。由对称性可知，AC，CD，DA三段载流导线在P点产生的磁感应强度BAC、 BCD、BDA在空间方位上对称，且它们在垂直于Z轴方向上的分量相互抵消，而平行于Z轴方

向

上

的

分

量

相

等

，

所

以

：

根据等边三角形性质，O点是⊿ACP的中心，故: ，并由⊿EOP可知

sinα=,所以P点的磁感应强度BP的大小为：

磁感应强度BP的方向沿Z轴方向。

4. 一宽度为b的半无限长金属板置与真空中，均匀通有电流I0。P点为薄板边线延长线上一点，与薄板边缘距离为d。如图所示。试求P点的磁感应强度B。

解: 建立坐标轴OX，如图所示，P点为X轴上一点。整个金属板可视为无限多条无限长的载流

导组成，取其任意一条载流线，其宽度为dx，上载有电流dI=I0dx/b，它在P点产生的场强为：

dB的方向垂直纸面向里。由于每一条无限长直载流线P点激发上的磁感应强度dB具有相同的方向，所以整个载流金属板在P点产生的磁感应强度为各载流线在该点产生的dB的代数和，即：

BP方向垂直纸面向里。

5. 两根导线沿半径方向引到金属环上的A、C两点，电流方向如图所示。试求环中心O处的磁感应强度。

解: 由毕-萨定律可知，两载流直线的延长线都通过圆心O，因此

她们在O点产生的磁感应强度为零。图中电流为I1的大圆弧在O点产生的B2的方向垂直纸面向里。应用载流圆线圈在中心处产生磁场的结果B=μ0I/2r，可知B1、B2的大小

为:则

O

点

的

磁

感

应

强

度

的

大

小

为:

设大圆弧和小圆弧的电阻为R1、R2，则:

有:B0=0。

, 因大圆弧和小圆弧并联，故I1R1 = I2R2，即:,代入表达式得

6. 如图所示，一条无限长导线载有电流I，该导线弯成抛物线形状，焦点到顶点的距离为a，试求焦点的磁感应强度B。

解: 本题采用极坐标。用毕-萨定律得电流元Idl在焦点P处产生的磁感应强度为:

, 由于Idl与r的夹角为θ，由图可知，Idlsinθ=Irdψ,

所以dB的大小为:

方向由右手螺旋定则可知，

,

垂直纸面向外。由于所有电流元Idl在P点产生的磁感应强度方向相同，所以P点 的

总

产

生

的

磁

感

应

强

度

为:程为:

,因抛物线的极坐标方

, 因此:

7. 如图所示，两块无限大平行载流导体薄板M、N，每单位宽度上所载电流为j，方向如图所示，试求两板间Q点处及板外P点处的磁感应强度B。

解: 无限长载流直导线产生磁感应强度的公式

B=μ0Ir0/2πr可知，M板Q点激发的磁感应强度BM

的大小为：

dBy = dBsinα由对称性可知：点到

M

, dBx = -dBcosα，

, 设Qa，则：

板的垂直距离为

由几何关系可知：a/r=cosα,x=tanα,dx=ada/cos2α，代入

上

式

：

BM的方向沿X轴方向，因此，Q点的磁感应强度BM+BN=0，采用同样的方法得，M板在P

点产生磁感应强度为：

N板在P点产生磁感应强度为：,表明在P点两块板产生磁感应强度相同，所以P

点的B为B = BM+BN= -μ0ji，B的方向沿X轴负向。

8. 如图所示，通有电流强度为I的细导线，平行的、紧密的单层缠绕在半个木球上，共有N匝，设木球的半径为R，试求球心O点处的磁感应强度。

解: 由图可知，绕有载流导线的木球可看成是有无限多

个不同半径的同心载流圆线圈组成，球心O在载流圆线圈的轴线上，则球心O点的磁感应强度B0是各个载流圆线圈在该点激发的磁感应强度的矢量和。如图坐标系OXY，在X轴线上距原点Ox处任取一弧宽为dl的圆环，半径为y，圆环上绕有dN匝导线，即：

通过该圆环上的电流dI=IdN=2INdθ/ π,由载流线圈在轴线上任意一点产生的磁感应强度公式，可知dI在O点激发的磁感应强度dB大小为：

dB的方向沿X轴正向。由几何关系：x=Rsinθ,y=Rcosθ,带入上式得：

由于所有载流线圈在O点激发的B方向相同，故O点总的磁感应强度可由矢量积分简化为标量积分，即：

B0的方向沿X轴正向。

9.均匀带电的球面绕着它的某一直径作匀速旋转。试求在该球面上各点的磁感应强度B.

解: 如图所示，均匀带电的球面绕沿X轴的直径以角速度ω旋转。球面上任意面元所带电荷因

旋转而形成电流。将球面分成许多环状球带，每一球带因旋转而形成的电流在X轴上任意一点P处都将产生磁感应强度dB。设球面半径为R，面电荷密度为σ，绕沿X轴的直径以角速度为ω旋转，球心在原点O。取从φ到（φ+dφ）的环状球带，其面积为dS=2πrdl=2πrRdφ，所带电量为dQ=σdS=2πRrσdφ，由于旋转，该球带上电荷形成沿环状带流动的电流，电流强度为dI=dQ/T ,T为旋转周期，故： dI=ωdQ/2π=ω2πRrσdφ/2π=Rσωr dφ

设该环状球带的中心位于x处，则：x=Rcosφdx= -Rsinφdφ = -rdφ

因此，dI可表为dI = -Rσωdx，该环状球带dI在直径上任意一点P点产生的dB为：

, 式中i是X轴方向的单位矢量，式中的r为 r2 = R2 △x2，

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