四川省新津中学2013届高三一诊模拟考试数学(理)试题(二) Word版含答案

高2013届“一诊”模拟试题二理科数学试题

一、选择题：每题5分，共50分. 1、下列函数是偶函数的是（）

（A）y x（B）y 2x 3（C）y x2、函数y

lgx

9x

2

12

（D）y x2,x [0,1]

的零点所在的大致区间是（）

（A）（6,7）（B）（7,8）（C）（8,9）（D）（9,10） 3、下列结论正确的是（）

（A）当x 0且x 1时,lgx 1 2（B）当x 2时,x 1的最小值为2

lgx

x

（C）当x

02

的最小值为2（D）当0 x 2时，x

1x

有最大值.

4、已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为1，

）

（A

） 2) （B

） 2) （C）4 2 （D

）

3)

5、已知定义在区间(0,

P，

2

)上的函数y x的图象与函数y cosx的图象的交点为

过P作PP1 x轴于点P1，直线PP1与y tanx 的图象交于点P2，则线段P1P2的长为（）

2

3

2

（A

）（B

）（C

）（D

6、如图,若程序框图输出的S是126， 则判断框①中应为 （） （A）n 5? （B）n 6? （C）n 7? （D）n 8?

7、某学习小组共12人，其中有五名是“三好学生”， 现从该小组中任选5人参加竞赛，用 表示这5人中

C7

5“三好学生”的人数，则下列概率中等于C7+C的是（） 5

C12

5

1

4

（A）P 1

（B）P( 1)（C）P( 1)（D）P( 2)

1 2

NC,P是BN上的一点,若AP mAB AC,则实数 39

8、如右图,在 ABC中，AN m的值为( )

（A）

19

（B）

13

（C） 1 （D）3

9、现有16张不同的卡片,其中红色、黄色、蓝色、绿色卡片各4张.从中任取3张,要求这3张卡片不能是同一种颜色,且红色卡片至多1张.不同取法的种数为（ ）

（A）232 （B）252 （C）472 （D）484 10、给出若干数字按下图所示排成倒三角形， 其中第一行各数依次是1 , 2 , 3 , … , 2011， 123从第二行起每个数分别等于上一行左、右

35

两数之和，最后一行只有一个数M，

8则这个数M是（）

（A）2012 22009 （B）2011 22010 （C）2010 22011 （D）2010 22007

.....20092010..........

.....M

40198040

2011

4021

二、填空题：每题5分，共25分.

11、已知i为虚数单位，则1 i i2 i3 i4 i5 i6 ______. 12、在 ABC中，若 B

4

，b ，则 C ．

13、如图是某青年歌手大奖赛上七位评委为甲、乙两名选手打出的分数的茎叶图(其中m为数字0～9中的一个)，去掉一个最高分和 一个最低分后，甲、乙两名选手得分的 平均数分别为a1、a2，则a1、a2的 大小关系是_____________.

(填a1 a2，a2 a1，a1 a2之一)．

14.函数f(x) |2x 1| |ax|，若存在三个互不相等的实数x1,x2,x3， 使得f(x1) f(x2) f(x3)，则实数a .

15.已知数列A：a1,a2,...,an(0 a1 a2 an,n 3)具有性质P：对任意

i,j(1 i j n)，aj ai与aj ai两数中至少有一个是该数列中的一项，现给出以下四

个命题：

①数列0，1，3具有性质P；②数列0，2，4，6具有性质P； ③若数列A具有性质P，则a1 0；

④若数列a1,a2,a3(0 a1 a2 a3)具有性质P，则a1 a3 2a2.

其中真命题的序号是 .（填上所有正确命题的序号）

高2013届“一诊”模拟试题二理科数学试题答题卷

二、填空题：

11、；12、；13、；14、；15、 .

三、解答题：共6个小题，满分75分. 解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12

分）已知sin(A （Ⅰ）求cosA的值； （Ⅱ）求函数f(x) cos2x

17.（本小题满分12分）如图，在三棱柱ABC A1B1C1中，侧棱AA1 底面ABC，

AB BC，D为AC的中点，AA1 AB 2.

52

sinAsinx的值域．

π4

)

10

，A (

4,2

)．

A1

A

（I）求证：AB1//平面BC1D；

（II）若四棱锥B DAA1C1的体积为3， 求二面角C BC1 D的正切值.

BCB

18.（本小题满分12分）

已知函数f(x) ax x 0）的图象经过两点A

(0,1)和B2

.

（I）求f(x)的表达式及值域；

（II）给出两个命题p:f(m2 m) f(3m 4)和q:log2(m 1) 1.问是否存在实数m，使得复合命题“p且q”为真命题？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理

由.

19.（本小题满分12分）旅行社为某旅行团包飞机去旅游，其中旅行社的包机费为15000元. 旅行团中的每个人的飞机票按以下方式与旅行社结算：若旅行团的人数不超过．．．35人时，飞机票每张收费800元；若旅行团的人数多于的机．．35人时，则予以优惠，每多1人，每个人．．．票费减少10元，但旅行团的人数最多不超过60人.设旅行团的人数为x人，飞机票价格为y元，旅行社的利润为Q元.

（I）写出飞机票价格y元与旅行团人数x之间的函数关系式；

（II）当旅行团人数x为多少时，旅行社可获得最大利润？求出最大利润.

20.（本小题满分13分）已知各项均为正数的数列 an 前n项的和为Sn，数列 an项的和为Tn，且 Sn 2 3Tn 4,n N*． (I)证明数列 an 是等比数列，并写出通项公式； (II)若Sn2 Tn 0对n N*恒成立，求 的最小值； (III)若an,2xan 1,2yan 2成等差数列，求正整数x,y的值．

2

2

的前n

21.（本小题满分14分）已知函数f(x) ex kx，x R. （I）若k e，试确定函数f(x)的单调区间；

（II）若k 0，且对于任意x R，f(|x|) 0恒成立，试确定实数k的取值范围；

n

（III）设函数F(x) f(x) f( x)，求证：F(1)F(2)LF(n) (e

n 1

*

2)2（n N）.

2013届高三“一诊”模拟试题二理科试题参考答案

一、选择题：BDDAC BBACA

二、填空题：11、i；12、；13、a2 a1；14、 2；15、①③④

12三、解答题：

π4

π2

16、解：（Ⅰ）因为 A

，且sin(A

π4π4

)

10π4

，所以

π2

A

π4π4

3π4

，

cos(A

π4

)

10．因为cosA cos[(A ) ] cos(A

π4

)cos sin(A

π4

)sin

π4

10

2

1045

2

35

．所以cosA

35

． 6分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得sinA 所以f(x) cos2x

52

．

2

sinAsinx 1 2sinx 2sinx 2(sinx

12

12

)

2

32

，x R．

因为sinx [ 1,1]，所以，当sinx 时，f(x)取最大值

32

；

当sinx 1时，f(x)取最小值 3．

3

所以函数f(x)的值域为[ 3,]． 12分

2

17、解：（I）略； 4分

（II）过B作BE AC于E，则BE 面AA1C1C，设BC

x，则AC 从而体积V

13 12

(AD A1C1) AA1 BE 3，解得x 3. 6分

，

建系或直接作角得tan

3

. 12分

18、解：（I）由f(0)

1，f 2 a 1,b 1， 2分

故

f(x)

x(x 0)，

由于

f(x)

在[0, )上递减，所以f(x)的值域为(0,1]. 6分

（II）复合命题“p且q”为真命题，即p,q同为真命题。 7分 f x 在[0, )上递减，

故p真 m m 3m 4 0

2

m

43

且m

2

； 9分

q真 0 m 1 2 1 m 3， 11分

故存在m [

43

,2) (2,3)满足复合命题p且q为真命题。 12分

19、解：（I）依题意得，当1 x 35时，y 800；

当35 x 60时，y 800 10(x 35) 10x 1150； (1 x 35且x N) 800　　　　　　　

y 4分

(35 x 60且x N) 10x 1150　　　　

（II）设利润为Q，则

(1 x 35且x N) 800x 15000　　　　

Q y x 15000 6分 2

10x 11500x 15000　 (35 x 60且x N)

当1 x 35且x N时，Qmax 800 35 15000 13000，

2

当35 x 60时， Q 10x 1150x 15000 10(x

1152

)

2

361252

，

又 x N 当x 57或58时，Qmax 18060 13000，

答：当旅游团人数为57或58人时，旅行社可获得最大利润18060元。 12分 20、解．（I）当n 1时，由(a1 2)2 3a12 4，解得a1 1， 当n 2时，由(1 a2 2)2 3(1 a22) 4，解得a2

2

2

12

； 2分

由(Sn 2) 3Tn 4，知(Sn 1 2) 3Tn 1 4，两式相减得

(Sn 1 Sn)(Sn 1 Sn 4) 3an 1 0，即(Sn 1 Sn 4) 3an 1 0，

2

亦即2Sn 1 Sn 2，从而2Sn Sn 1 2,(n≥2)，再次相减得an 1 又a2

12

a1，所以

an 1an

12

12

an,(n≥2)， 4分 12

,(n≥1)，所以数列{an}是首项为1，公比为

*

的等比数列，

其通项公式为an

12

n 1

n N． 5分

n

（2）由（1）可得Sn

1

1

2

11

2

2 1

1

2

n

1

1 n

4 1 4

1 ， 7分 ，Tn

13 4 1 4

n

若Sn Tn 0对n N恒成立，只需

2

*

SnTn

2

3

1

1

2 1 1

2

n

n

3

62 1

n

对n N恒成

*

立，

因为3

62 1

x

n

*

3对n N恒成立，所以 ≥3,即 的最小值为3； 10分

（3）若an,2an 1,2an 2成等差数列，其中x,y为正整数，则

x

y 2

y

1

n 1

整理得2 1 2不能成立，

所以满足条件的x,y值为x 1,y 2． 13分

21、解：（I）当k

e

222

，当y 2时，等式右边为大于2的奇数，等式左边是偶数或1，等式

,

2

xn

,

2

y

n 1

成等差数列，

，故f(x)的单增区间是(1, )，单减区间是( ,1)。

（II）f(|x|) 0恒成立等价于x 0时f(x) 0恒成立。由f (x) ex k知f(x)在( ,lnk)上单减，在(lnk, )上单增。当k (0,1]时，lnk 0，故f(x) f(0) 1满足题意。当k 1时，lnk 0，所以f(x) f(lnk) k klnk 0，解得1 k e。综上所述，k的范围是(0,e)。

x

f (x) e e

时，

（III）F(x) ex

e

1

x

，

e

(x1 x2)

所以F(x1)F(x2) ex

x2

e

x1 x2

e

x2 x1

e

x1 x2

e

(x1 x2)

2 e

x1 x2

2

2

，

n 1

从而F(k)F(n k 1) en 1 2（k

n

1,2,L,n

）。所以[F(1)F(2)L

F(n)] (e 2)

n

，

即F(1)F(2)LF(n) (e

n 1

2)2

。

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