高中数学必修1(北师版)第三章3.4 对数知识点总结含同步练习与答案

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高中数学必修1(北师版)知识点总结含同步练习题及答案第三章指数函数和对数函数 3.4对数

一、知识清单对数的概念与运算

二、知识讲解1.对数的概念与运算描述：对数一般地，如果 ax= N (a> 0, a≠ 1),那么数 x叫作以 a为底 N的对数，记作 x= loga N,其中 a叫做对数的底数， N叫做真数.也即 ax= N x= loga N,其中 a> 0, a≠ 1 .对数的性质根据对数的定义，有( a> 0, a≠ 1 ):①负数与零没有对数；② 1的对数等于 0,即 loga 1= 0;③底数的对数等于 1,即 loga a= 1;④ loga ax= x;⑤ aloga N= N (N> 0) .常用对数以 10为底的对数叫做常用对数，常用“ lg”表示(即“ log10”).自然对数以 e为底的对数叫做自然对数( e是无理数， e= 2.71828 ),常用“ ln”表示(即“ loge”).对数的运算性质①积的对数等于对数的和： loga (M N )= loga M+ loga N (a> 0且a≠ 1);②商的对数等于对数的差： loga M= loga M loga N (a> 0且a≠ 1);③幂的对数等于幂指数与幂的对数的积： loga M n= nloga M (a> 0且a≠ 1)换底公式N

.

loga N=例题：

logb N (a> 0且a≠ 1, b> 0且b≠ 1, N> 0) . logb a

3 1 1;(2)ln x=;(3)x= lg;(4)log5 (log2 x)= 0. 2 2 10 3 2 3解：(1)由 logx 27=,得 x 2= 27,所以 x= 27 3= 3 2= 9 . 2 1 1 1 (2)由 ln x=,得 e 2= x,所以 x= e 2=√e . 2 1 1 (3)由 x= lg,得 10x=,得 x= 1. 10 10= 1=2(1)logx 27=

将下列对数式化成指数式，并求 x的值：

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(4)由 log5 (log2 x)= 0,得 log2 x= 1,所以 x= 2 1= 2 .计算下列各式的值. (1)lg 5 2+

10

10

2 lg 8+ lg 5 lg 20+ (lg 2)2; 3 (2)2(lg√2 )2+ lg√2× lg 5+√(lg√2 )2 lg 2+ 1;(3)log2 3× log3 5× log5 16;解：(1)

原式= 2 lg 5+ 2 lg 2+ lg 5(2 lg 2+ lg 5)+ (lg 2)2

= 2 lg 10+ (lg 5+ lg 2)2

= 2+ (lg 10)2= 2+ 1= 3.(2)原式= lg√2× (2 lg√2+ lg 5)+√(lg√2 1)2

= lg√2× (lg 2+ lg 5)+ (1 lg√2 )= lg√2+ 1 lg√2= 1.

(3)原式=

lg 3 lg 5 lg 16 lg 16 lg 2 4××=== 4. lg 2 lg 3 lg 5 lg 2 lg 2 10,求 logb a loga b值； 3

(1)已知 a> b> 1,loga b+ logb a= (2)设 3 a= 4 b= 36,求

2 1的值；+ a b (3)已知 log18 9= a,18b= 5,用 a, b表示 log36 45的值. 1解：(1)令 loga b= x,则 logb a=,则 x (logb a loga b)2= (=(=(2 1 x) x

10 2 ) 4 3 64= . 9 logb a loga b=

2 1+ x) 4 x

又因为 a> b> 1,0< loga b< 1,logb a> 1.所以 logb a loga b> 0,所以

8 . 3 (2)(方法一)对 3 a= 4 b= 36取以 e为底的对数

,得 ln 3 a= ln 4 b= ln 36,即 a ln 3= b ln 4= ln 36,所以 1 ln 3 1 ln 4=,= a ln 36 b ln 36

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于是

2 1 2 ln 3 ln 4+=+ a b ln 36 ln 36 ln 3 2+ ln 4= ln 36 ln 36= ln 36= 1.(方法二)由 3 a= 36,得 a= log3 36,所以

1 1= log36 3 .同理= log36 4,所以 a b

2 1+= a b===

2 log36 3+ log36 4 log36 9+ log36 4 log36 36 1.

(3)因为 log18 9= a,18b= 5,所以 log18 5= b,于是

log36 45=

log18 45 log18 (9× 5)= log18 36 log18 (18× 2) log18 9+ log18 5= 1+ log18 2 log18 9+ log18 5= 18 1+ log18 9 log18 9+ log18 5 a+b== . 2 log18 9 2 a

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