九年级数学二次函数教案

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

第二十六章 二次函数

[本章知识要点]

1． 探索具体问题中的数量关系和变化规律．

2． 结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义，并了解二次函数的有关概念． 3． 会用描点法画出二次函数的图象，能通过图象和关系式认识二次函数的性质． 4． 会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴． 5． 会利用二次函数的图象求一元二次方程（组）的近似解．

6． 会通过对现实情境的分析，确定二次函数的表达式，并能运用二次函数及其性质解决

简单的实际问题．

26．1 二次函数

[本课知识要点]

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义． [MM及创新思维]

（1）正方形边长为a（cm），它的面积s（cm2）是多少？

（2）矩形的长是4厘米，宽是3厘米，如果将其长与宽都增加x厘米，则面积增加y平方厘米，试写出y与x的关系式．

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是函数，请你结合学习一次函数概念的经验，给它下个定义． [实践与探索]

例1． m取哪些值时，函数y (m2 m)x2 mx (m 1)是以x为自变量的二次函数？ 分析 若函数y (m2 m)x2 mx (m 1)是二次函数，须满足的条件是：

m2 m 0．

解 若函数y (m m)x mx (m 1)是二次函数，则 m m 0． 解得 m 0，且m 1．

22

因此，当m 0，且m 1时，函数y (m m)x mx (m 1)是二次函数． 2

回顾与反思 形如y ax bx c的函数只有在a 0的条件下才是二次函数．

2

22

探索 若函数y (m m)x mx (m 1)是以x为自变量的一次函数，则m取哪些

22

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

值？

例2．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S（cm2）与正方体棱长a（cm）之间的函数关系； （2）写出圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y（元）与所存年数x之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系． 解 （1）由题意，得 S 6a2(a 0)，其中S是a的二次函数；

x2

(x 0)，其中y是x的二次函数； （2）由题意，得 y 4 0x≥0且是正整数）， （3）由题意，得 y 10000 1.98%x 1000（

其中y是x的一次函数； （4）由题意，得 S

11

x(26 x) x2 13x(0 x 26)，其中S是x的二次函数． 22

例3．正方形铁片边长为15cm，在四个角上各剪去一个边长为x（cm）的小正方形，用余

下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S（cm2）与小正方形边长x（cm）之间的函数关系式； (2)当小正方形边长为3cm时，求盒子的表面积． 解 （1）S 15 4x 225 4x(0 x

2

2

2

2

15)； 2

（2）当x=3cm时，S 225 4 3 189（cm2）． [当堂课内练习]

1．下列函数中，哪些是二次函数？ （1）y x 0 （3）y x

2

2

（2）y (x 2)(x 2) (x 1)

2

1

（4）y x2 2x 3 x

2

2．当k为何值时，函数y (k 1)xk

2

k

1为二次函数？

3．已知正方形的面积为y(cm)，周长为x（cm）． (1)请写出y与x的函数关系式； (2)判断y是否为x的二次函数． [本课课外作业]

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

A组

1． 已知函数y (m 3)x

m2 7

是二次函数，求m的值．

2． 已知二次函数y ax2，当x=3时，y= -5，当x= -5时，求y的值．

3． 已知一个圆柱的高为27，底面半径为x，求圆柱的体积y与x的函数关系式．若圆柱

的底面半径x为3，求此时的y．

4． 用一根长为40 cm的铁丝围成一个半径为r的扇形，求扇形的面积y与它的半径x之

间的函数关系式．这个函数是二次函数吗？请写出半径r的取值范围．

B组

5．对于任意实数m，下列函数一定是二次函数的是 （ ） A．y (m 1)2x2 B．y (m 1)2x2 C．y (m2 1)x2 D．y (m2 1)x2 6．下列函数关系中，可以看作二次函数y ax2 bx c（a 0）模型的是 （ ） A． 在一定的距离内汽车的行驶速度与行驶时间的关系

B． 我国人口年自然增长率为1%，这样我国人口总数随年份的变化关系 C． 竖直向上发射的信号弹，从发射到落回地面，信号弹的高度与时间的关系（不计

空气阻力）

D． 圆的周长与圆的半径之间的关系 [本课学习体会]

26．2 二次函数的图象与性质（1）

[本课知识要点]

会用描点法画出二次函数y ax的图象，概括出图象的特点及函数的性质． [MM及创新思维]

我们已经知道，一次函数y 2x 1，反比例函数y y x的图象是什么呢？

（1）描点法画函数y x的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x取互为相反数的值时，y的值如何？

（2）观察函数y x的图象，你能得出什么结论？

2

2

22

3

的图象分别是 x

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）y 2x2 （2）y 2x2

分别描点、连线，画出这两个函数的图象，这两个函数的图象都是抛物线，如图26．2．1．

共同点：都以y轴为对称轴，顶点都在坐标原点．

不同点：y 2x

2的图象开口向上，顶点是抛物线的最低点，在对

称轴的左边，曲线自左向右下降；在对称轴的右边，曲线自左向右上升．

y 2x2的图象开口向下，顶点是抛物线的最高点，在对

称轴的左边，曲线自左向右上升；在对称轴的右边，曲线自左向右下降．

回顾与反思 在列表、描点时，要注意合理灵活地取值以及图形的对称性，因为图象是抛物线，因此，要用平滑曲线按自变量从小到大或从大到小的顺序连接． 例2．已知y (k 2)xk

2

k 4

是二次函数，且当x 0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；

（2）求顶点坐标和对称轴．

k2 k 4 2

解 （1）由题意，得 ， 解得k=2．

k 2 0

（2）二次函数为y 4x，则顶点坐标为（0，0），对称轴为y轴．

例3．已知正方形周长为Ccm，面积为S cm2． （1）求S和C之间的函数关系式，并画出图象； （2）根据图象，求出S=1 cm2时，正方形的周长； （3）根据图象，求出C取何值时，S≥4 cm2． 分析 此题是二次函数实际应用问题，解这类问题时要注意自变量的取值范围；画图象时，自变量C的取值应在取值范围内．

2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

解 （1）由题意，得S 12

C(C 0)．

16

描点、连线，图象如图26．2．2．

（2）根据图象得S=1 cm2时，正方形的周长是4cm． （3）根据图象得，当C≥8cm时，S≥4 cm2． 回顾与反思

（1）此图象原点处为空心点．

（2）横轴、纵轴字母应为题中的字母C、S，不要习惯地写成x、y． （3）在自变量取值范围内，图象为抛物线的一部分． [当堂课内练习]

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并分别写出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

（1）y 3x2 （2）y 3x2 （3）y 2．（1）函数y

12x 3

22

x的开口，对称轴是； 312

（2）函数y x的开口，对称轴是，顶点坐标是

4

3．已知等边三角形的边长为2x，请将此三角形的面积S表示成x的函数，并画出图象的草图．

[本课课外作业]

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

2

（1）y 4x （2）y

12x 4

2．填空：

（1）抛物线y 5x，当y有最值，是 （

2）当m= 时，抛物线y (m 1)xm（3）已知函数y (k2 k)xk随x的增大而增大． 3．已知抛物线y kxk

2

2

2

2

m

开口向下．

2k 1

是二次函数，它的图象开口时，y

k 10

中，当x 0时，y随x的增大而增大．

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

（1）求k的值； （2）作出函数的图象（草图）．

4．已知抛物线y ax2经过点（1，3），求当y=9时，x的值．

B组

5．底面是边长为x的正方形，高为0．5cm的长方体的体积为ycm3．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）画出函数的图象；（3）根据图象，求出y=8 cm3时底面边长x的值；（4）根据图象，求出x取何值时，y≥4．5 cm3．

6．二次函数y ax2与直线y 2x 3交于点P（1，b）．

（1）求a、b的值；

（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小． 7． 一个函数的图象是以原点为顶点，y轴为对称轴的抛物线，且过M（-2，2）． （1）求出这个函数的关系式并画出函数图象；

（2）写出抛物线上与点M关于y轴对称的点N的坐标，并求出⊿MON的面积． [本课学习体会]

26．2 二次函数的图象与性质（2）

[本课知识要点]

会画出y ax2 k这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM及创新思维]

同学们还记得一次函数y 2x与y 2x 1的图象的关系吗？ ，你能由此推测二次函数y x2与y x2 1的图象之间的关系吗？ ，那么y x与y x 2的图象之间又有何关系？ [实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出函数y 2x与y 2x 2的图象．

2

2

2

2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．3所示．

回顾与反思 当自变量x取同一数值时，这两个函数的函数值之间有什么关系？反映在图象上，相应的两个点之间的位置又有什么关系？

探索 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？你能由此说出函数y 2x2与y 2x2 2的图象之间的关系吗？

例2．在同一直角坐标系中，画出函数y x2 1与y x2 1的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线y x2 1得到抛物线y x2 1．

描点、连线，画出这两个函数的图象，如图26．2．4所示．

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

可以看出，抛物线y x2 1是由抛物线y x2 1向下平移两个单位得到的． 回顾与反思 抛物线y x2 1和抛物线y x2 1分别是由抛物线y x2向上、向下平移一个单位得到的．

探索 如果要得到抛物线y x2 4，应将抛物线y x2 1作怎样的平移？ 例3．一条抛物线的开口方向、对称轴与y

12

x相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过2

点（1，1），求这条抛物线的函数关系式．

解 由题意可得，所求函数开口向上，对称轴是y轴，顶点坐标为（0，-2）， 因此所求函数关系式可看作y ax2 2(a 0)， 又抛物线经过点（1，1），

2

所以，1 a 1 2， 解得a 3．

故所求函数关系式为y 3x2 2．

回顾与反思 y ax2 k（a、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标

[当堂课内练习]

1． 在同一直角坐标系中，画出下列二次函数的图象：

y

1211

x， y x2 2， y x2 2． 222

观察三条抛物线的相互关系，并分别指出它们的开口方向及对称轴、顶点的位置．你能说

12

x k的开口方向及对称轴、顶点的位置吗？ 212

2．抛物线y x 9的开口，顶点坐标是，它可

4

12

以看作是由抛物线y x向平移

4

出抛物线y

3．函数y 3x 3，当时，函数值y随x的增大而减小．当数取得最 值，最 值y= ． [本课课外作业]

2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

A组

1．已知函数y

1211

x， y x2 3， y x2 2． 333

（1）分别画出它们的图象；

（2）说出各个图象的开口方向、对称轴、顶点坐标；

12

x 5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标． 3

12

2． 不画图象，说出函数y x 3的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明它是由函

4

12

数y x通过怎样的平移得到的．

4

（3）试说出函数y

3．若二次函数y ax2 2的图象经过点（-2，10），求a的值．这个函数有最大还是最小值？是多少？

B组

4．在同一直角坐标系中y ax2 b与y ax b(a 0,b 0)的图象的大致位置是( )

5．已知二次函数y 8x (k 1)x k 7，当k为何值时，此二次函数以y轴为对称轴？写出其函数关系式． [本课学习体会]

2

26．2 二次函数的图象与性质（3）

[本课知识要点]

会画出y a(x h)这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM及创新思维]

我们已经了解到，函数y ax k的图象，可以由函数y ax的图象上下平移所

2

2

2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

得，那么函数y

11

(x 2)2的图象，是否也可以由函数y x2平移而得呢？画图试一22

试，你能从中发现什么规律吗？

[实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

y

1211

x，y (x 2)2 ，y (x 2)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐222

标．

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．5所示．

它们的开口方向都向上；对称轴分别是y轴、直线x= -2和直线x=2；顶点坐标分别是 （0，0），（-2，0），（2，0）． 回顾与反思 对于抛物线y

1

(x 2)2，当y随x的增大而减小；2

当x 时，函数值y随x的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值y= ．

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

11

(x 2)2和抛物线y 1(x 2)2分别是由抛物线y x2向左、向右222

1122

平移两个单位得到的．如果要得到抛物线y (x 4)，应将抛物线y x作怎样的

22

探索 抛物线y 平移？

例2．不画出图象，你能说明抛物线y 3x2与y 3(x 2)2之间的关系吗?

解 抛物线y 3x2的顶点坐标为（0，0）；抛物线y 3(x 2)2的顶点坐标为（-2，0）．

因此，抛物线y 3x2与y 3(x 2)2形状相同，开口方向都向下，对称轴分别是y轴和直线x 2．抛物线y 3(x 2)2是由y 3x2向左平移2个单位而得的． 回顾与反思 y a(x h)2（a、h是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称轴、顶点坐

[当堂课内练习]

1．画图填空：抛物线y (x 1)的开口，对称轴是是 ，它可以看作是由抛物线y x向平移个单位得到的． 2．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

2

2

y 2x2，y 2(x 3)2 ，y 2(x 3)2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点

坐标．

[本课课外作业]

A组

1．已知函数y

1211

x，y (x 1)2， y (x 1)2． 222

（1）在同一直角坐标系中画出它们的图象；

（2）分别说出各个函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）分别讨论各个函数的性质．

2．根据上题的结果，试说明：分别通过怎样的平移，可以由抛物线y

12

x得到抛物2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

线y

11

(x 1)2和y (x 1)2？ 22

3．函数y 3(x 1)2，当时，函数值y随x的增大而减小．当时，函数取得最 值，最 值y= ．

4．不画出图象，请你说明抛物线y 5x2与y 5(x 4)2之间的关系．

B组

5．将抛物线y ax2向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点 （1，3），求a的值．

[本课学习体会]

26．2 二次函数的图象与性质（4）

[本课知识要点]

1．掌握把抛物线y ax2平移至y a(x h)2+k的规律；

2．会画出y a(x h)2+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． [MM及创新思维]

由前面的知识，我们知道，函数y 2x2的图象，向上平移2个单位，可以得到函数函数y 2x2的图象，向右平移3个单位，可以得到函数y 2(x 3)2y 2x2 2的图象；

的图象，那么函数y 2x的图象，如何平移，才能得到函数y 2(x 3) 2的图象呢？ [实践与探索]

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

2

2

y

1211

x，y (x 1)2，y (x 1)2 2，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点222

坐标．

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

描点、连线，画出这三个函数的图象，如图26．2．6所示．

它们的开口方向都

向 ，对称轴分别

为 、 、 ，顶点坐标分别为 、 、 ．请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系． 回顾与反思 二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数y a(x h)+k中k的值；左右平移，只影响h的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关． 探索 你能说出函数y a(x h)+k（a、h、k是常数，a≠0）的图象的开口方向、对称2

2

2

例2．把抛物线y x bx c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线

y x2，求b、c的值．

分析 抛物线y x的顶点为（0，0），只要求出抛物线y x bx c的顶点，根据

2

2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

顶点坐标的改变，确定平移后的函数关系式，从而求出b、c的值．

b2b2b2b2

c (x ) c ． 解 y x bx c x bx 4424

2

2

b2b2

2， 向上平移2个单位，得到y (x ) c

24bb22

2， 再向左平移4个单位，得到y (x 4) c

24

bb2

2)，而抛物线y x2的顶点为（0，0），则 其顶点坐标是( 4,c

24

b

4 0 2

2

b c 2 0 4

解得

b 8

c 14

探索 把抛物线y x2 bx c向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线

y x2，也就意味着把抛物线y x2向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛

物线y x bx c．那么，本题还可以用更简洁的方法来解，请你试一试． [当堂课内练习]

1．将抛物线y 2(x 4) 1如何平移可得到抛物线y 2x （ ） A．向左平移4个单位，再向上平移1个单位 B．向左平移4个单位，再向下平移1个单位 C．向右平移4个单位，再向上平移1个单位 D．向右平移4个单位，再向下平移1个单位 2．把抛物线y

2

2

2

32

x向左平移3个单位，再向下平移4个单位，所得的抛物线的函数2

121

x可由抛物线y x2向再向22

关系式为 ． 3．抛物线y 1 2x

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

移 个单位而得到． [本课课外作业]

A组

1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

y 3x2，y 3(x 2)2，y 3(x 2)2 1，并指出它们的开口方向、对称轴和顶

点坐标．

2．将抛物线y x2 2x 5先向下平移1个单位，再向左平移4个单位，求平移后的抛物线的函数关系式． 3．将抛物线y

1231

x x 如何平移，可得到抛物线y x2 2x 3？ 222

B组

4．把抛物线y x2 bx c向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线 y x2 3x 5，则有 （ ）A．b =3，c=7 B．b= -9，c= -15 C．b=3，c=3 D．b= -9，c=21

5．抛物线y 3x2 bx c是由抛物线y 3x2 bx 1向上平移3个单位，再向左平移2个单位得到的，求b、c的值．

6．将抛物线y ax(a 0)向左平移h个单位，再向上平移k个单位，其中h＞0，k＜0，求所得的抛物线的函数关系式．

[本课学习体会]

2

26．2 二次函数的图象与性质（5）

[本课知识要点]

1．能通过配方把二次函数y ax bx c化成y a(x h)+k的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；

2．会利用对称性画出二次函数的图象． [MM及创新思维]

我们已经发现，二次函数y 2(x 3) 1的图象，可以由函数y 2x的图象先向 平移 个单位，再向 平移 个单位得到，因此，可以直接得出：函数y 2(x 3) 1的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ．那么，对于任意一个二次函

2

2

2

2

2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

数，如y x2 3x 2，你能很容易地说出它的开口方向、对称轴和顶点坐标，并画出图象吗？ [实践与探索]

例1．通过配方，确定抛物线y 2x2 4x 6的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图．

解 y 2x2 4x 6

2(x2 2x) 6 2(x2 2x 1 1) 6 2(x 1) 1 6 2(x 1)2 8

因此，抛物线开口向下，对称轴是直线x=1，顶点坐标为（1，8）．

2

描点、连线，如图26．2．7所示．

回顾与反思 （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，函数值可由对称性得到，． （2）描点画图时，要根据已知抛物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

探索 对于二次函数y ax bx c，你能用配方法求出它的对称轴和顶点坐标吗？请你完成填空：对称轴 ，顶点坐标

． 例2．已知抛物线y x (a 2)x 9的顶点在坐标轴上，求a的值．

分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y轴上，则顶点的横坐标等于0．

2

2

a 22(a 2)2

) 9 解 y x (a 2)x 9 (x ， 24

2

a 2(a 2)2

则抛物线的顶点坐标是 ,9 ．

4 2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

a 2

0， 2

解得 a 2．

当顶点在x轴上时，有

(a 2)2

0， 当顶点在y轴上时，有 9

4

解得 a 4或a 8．

所以，当抛物线y x2 (a 2)x 9的顶点在坐标轴上时，a有三个值，分别是 –2，4，8．

[当堂课内练习]

1．（1）二次函数y x2 2x的对称轴是．

（2）二次函数y 2x2 2x 1的图象的顶点是，当时，y随x的增大而减小．

（3）抛物线y ax2 4x 6的顶点横坐标是-2，则a．

2

2．抛物线y ax 2x c的顶点是(, 1)，则a、c的值是多少？

13

[本课课外作业]

A组

1．已知抛物线y

125

x 3x ，求出它的对称轴和顶点坐标，并画出函数的图象． 22

2．利用配方法，把下列函数写成y a(x h)2+k的形式，并写出它们的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标． （1）y x 6x 1

22

（2）y 2x 3x 4

2

2

（3）y x nx （4）y x px q 3．已知y (k 2)xk

2

2k 6

是二次函数，且当x 0时，y随x的增大而增大．

（1）求k的值；（2）求开口方向、顶点坐标和对称轴．

B组

22

4．当a 0时，求抛物线y x 2ax 1 2a的顶点所在的象限．

2

5. 已知抛物线y x 4x h的顶点A在直线y 4x 1上，求抛物线的顶点坐标．

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

[本课学习体会]

26．2 二次函数的图象与性质（6）

[本课知识要点]

1．会通过配方求出二次函数y ax2 bx c(a 0)的最大或最小值；

2．在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的最大或最小值． [MM及创新思维]

在实际生活中，我们常常会碰到一些带有“最”字的问题，如 问题：某商店将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可销出约100件．该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润．经过市场调查，发现这种商品单价每降低1元，其销售量可增加约10件．将这种商品的售价降低多少时，能使销售利润最大？ 在这个问题中，设每件商品降价x元，该商品每天的利润为y元，则可得函数关系式为二次函数y 10x2 100x 2000．那么，此问题可归结为：自变量x为何值时函数y取得最大值？你能解决吗? [实践与探索]

例1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）y 2x2 3x 5； （2）y x2 3x 4．

分析 由于函数y 2x2 3x 5和y x2 3x 4的自变量x的取值范围是全体实数，所以只要确定它们的图象有最高点或最低点，就可以确定函数有最大值或最小值． 解 （1）二次函数y 2x 3x 5中的二次项系数2＞0， 因此抛物线y 2x 3x 5有最低点，即函数有最小值．

2

因为y 2x 3x 5=2(x )

2

2

34

2

49， 8

所以当x

3492

时，函数y 2x 3x 5有最小值是 ． 48

2

（2）二次函数y x 3x 4中的二次项系数-1＜0， 因此抛物线y x 3x 4有最高点，即函数有最大值． 因为y x 3x 4= (x

2

2

3225

) ， 24

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

所以当x

325时，函数y x2 3x 4有最大值是． 24

回顾与反思 最大值或最小值的求法，第一步确定a的符号，a＞0有最小值，a＜0有最大

值；第二步配方求顶点，顶点的纵坐标即为对应的最大值或最小值．

探索 试一试，当2．5≤x≤3．5时，求二次函数y x2 2x 3的最大值或最小值． 例2．某产品每件成本是120元，试销阶段每件产品的销售价x（元）与产品的日销售量y

若日销售量y是销售价x的一次函数，要获得最大销售利润，每件产品的销售价定为多少元？此时每日销售利润是多少？

分析 日销售利润=日销售量×每件产品的利润，因此主要是正确表示出这两个量． 解 由表可知x+y=200，

因此，所求的一次函数的关系式为y x 200． 设每日销售利润为s元，则有

s y(x 120) (x 160)2 1600．

因为 x 200 0,x 120 0，所以120 x 200．

所以，当每件产品的销售价定为160元时，销售利润最大，最大销售利润为1600元． 回顾与反思 解决实际问题时，应先分析问题中的数量关系，列出函数关系式，再研究所得的函数，得出结果．

例3．如图26．2．8，在Rt⊿ABC中，∠C=90°，BC=4，AC=8，点D在斜边AB上，分别作DE⊥AC，DF⊥BC，垂足分别为E、F，得四边形DECF，设DE=x，DF=y． （1）用含y的代数式表示AE；

（2）求y与x之间的函数关系式，并求出x的取值范围；

（3）设四边形DECF的面积为S，求S与x之间的函数关系，并求出S的最大值．

解 （1）由题意可知，四边形DECF为矩形，因此

AE AC DF 8 y．

（2）由DE∥BC，得

DEAEx8 y

，即

， BCAC48

所以，y 8 2x，x的取值范围是0 x 4．

（3）S xy x(8 2x) 2x 8x 2(x 2) 8，

2

2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

所以，当x=2时，S有最大值8． [当堂课内练习]

1．对于二次函数y x2 2x m，当x= 时，y有最小值．

2．已知二次函数y a(x 1)2 b有最小值 –1，则a与b之间的大小关系是 （ ） A．a＜b B．a=b C．a＞b D．不能确定

3．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40件，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经过市场调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．

（1）若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天盈利最多？ [本课课外作业]

A组

1．求下列函数的最大值或最小值．

（1）y x2 2x； （2）y 2x2 2x 1． 2．已知二次函数y x2 6x m的最小值为1，求m的值．，

3．心理学家发现，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：分）之间满足函数关系：y 0.1x2 2.6x 43(0 x 30)．y值越大，表示接受能力越强． （1）x在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？

（2）第10分时，学生的接受能力是多少？ （3）第几分时，学生的接受能力最强？

B组 4．不论自变量x取什么数，二次函数y 2x 6x m的函数值总是正值，求m的取值范围．

5．如图，有长为24m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度a为10m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．设花圃的宽AB为x m，面积为S m2．

（1）求S与x的函数关系式；

（2）如果要围成面积为45 m2的花圃，AB的长是多少米？ （3）能围成面积比45 m2更大的花圃吗？如果能，请求出 最大面积，并说明围法；如果不能，请说明理由．

6．如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，线段EF在对角线

AC

2

1.探索具体问题中的数量关系和变化规律.2.结合具体情境体会二次函数作为一种数学模型的意义,并了解二次函数的有关概念.3.会用描点法画出二次函数的图象,能通过图象和关系式认识二次函数的性质.4.会运用配方法确定二次函数图象的顶点、开口方向和对称轴.5.会利用二次函数的图象求一元二次方程(组)的近似解.6.会通过对现实情境的分析,确定二次函数的表达式,并能运用二次函数及其性质解决简单的实际问题.

上，EG⊥AD，FH⊥BC，垂足分别是G、H，且EG+FH=EF． （1）求线段EF的长；

（2）设EG=x，⊿AGE与⊿CFH的面积和为S， 写出S关于x的函数关系式及自变量x的取值范围， 并求出S的最小值． [本课学习体会]

26 . 2 二次函数的图象与性质（7）

[本课知识要点]

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式． [MM及创新思维]

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数y kx b(k 0)的关系式时，通常需要两个独立的条件：确定反比例函数y

k

(k 0)的关系式时，通常只需要一个条件：如果要确x

定二次函数y ax2 bx c(a 0)的关系式，又需要几个条件呢？ [实践与探索]

例1．某涵洞是抛物线形，它的截面如图26．2．9所示，现测得水面宽1．6m，涵洞顶点O到水面的距离为2．4m，在图中直角坐标系内，涵洞所在的抛物线的函数关系式是什么？

分析 如图，以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立了直角坐标系．这时，涵洞所在的抛物线的顶点在原点，对称轴是y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式是

y ax2(a 0)．此时只需抛物线上的一个点就能求出抛物线的函

数关系式．

解 由题意，得点B的坐标为（0．8，-2．4），

又因为点B在抛物线上，将它的坐标代入y ax(a 0)，得

2

2.4 a 0.82

15． 4

所以 a 因此，函数关系式是y

152

x． 4

例2．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

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