09 第九编 解析几何（共67页）

第九编 解析几何

§9.1直线的倾斜角与斜率

1.设直线l与x轴的交点是P，且倾斜角为?,若将此直线绕点P按逆时针方向旋转45°，得到直线的倾斜角为?+45°，则?的范围为 . 答案 0°＜?＜135°

2.（20082全国Ⅰ文）曲线y=x3-2x+4在点（1，3）处的切线的倾斜角为 . 答案 45°

3.过点M（-2，m），N（m，4）的直线的斜率等于1，则m的值为 . 答案 1

4.已知直线l的倾斜角为?，且0°≤?＜135°，则直线l的斜率取值范围是 . 答案 （-∞,-1）∪［0，+∞）

5.若直线l经过点（a-2，-1）和（-a-2，1）且与经过点（-2，1），斜率为-2323基础自测

的直线垂直，则实数a的值为 .

答案 -

例1 若?∈?,?，则直线2xcos?+3y+1=0的倾斜角的取值范围是 .

?62?答案 ??5??,???6?????

例2 （14分）已知直线l1:ax+2y+6=0和直线l2:x+(a-1)y+a2-1=0, （1）试判断l1与l2是否平行； （2）l1⊥l2时，求a的值.

解 （1）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0, l2:x=0,l1不平行于l2; 当a=0时，l1:y=-3,

l2:x-y-1=0,l1不平行于l2; 分

当a≠1且a≠0时，两直线可化为 l1:y=-a2x 2

-3,l2:y=

11?ax-(a+1),

?a1l1∥l2????2?1?a，

解得a=-1, ???3??(a?1)5分

综上可知，a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. 分

方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-132=0， 由A1C2-A2C1≠0，得a(a2-1)-136≠0, 分

∴l??a(a?1)?1?2?01∥l2??

??a(a2

?1)?1?6?0分

???a2?a?2?0??a=-1, ??a(a2?1)?6分

故当a=-1时，l1∥l2，否则l1与l2不平行. 分

（2）方法一 当a=1时，l1:x+2y+6=0,l2:x=0, l1与l2不垂直，故a=1不成立. 分

当a≠1时，la1:y=-2x-3,

l2:y=1x1?a-(a+1),

12分 由???a?2

1?a=

2 ?2??1?a=-13. 14分

方法二 由A1A2+B1B2=0， 得a+2(a-1)=0?a=

23. 14分

例3 已知实数x,y满足y=x2-2x+2 (-1≤x≤1). 试求：

y?3x?2的最大值与最小值.

解 由y?3x?2的几何意义可知，它表示经过定点P（-2，-3）与

点（x,y)的直线的斜率k, 如图可知：kPA≤k≤kPB,

由已知可得：A（1，1），B（-1，5）， ∴

43≤k≤8，

6

2

4

5

6

8

AB上任一

曲线段故

y?3x?2的最大值为8，最小值为

43.

1.直线xcos?+3y+2=0的倾斜角的取值范围是 . 答案 ?0,?????5??,?????6??6?

2.已知两条直线l1:(3+m)x+4y=5-3m,l2:2x+(5+m)y=8.当m分别为何值时，l1与l2: （1）相交？（2）平行？（3）垂直？ 解 m=-5时，显然，l1与l2相交；

当m≠-5时，易得两直线l1和l2的斜率分别为 k1=-3?m4

，k2=-

25?m

，

5?3m425?m

85?m

它们在y轴上的截距分别为b1=（1）由k1≠k2,得-m≠-7且m≠-1.

3?m4

，b2=.

≠-，

∴当m≠-7且m≠-1时，l1与l2相交.

2?3?m????k?k,?1?245?m（2）由?,得?8?b1?b2,?5?3m??5?m?4，m=-7.

∴当m=-7时，l1与l2平行. （3）由k1k2=-1, 得-3?m4

2???133???5?m?2=-1，m=-

133.

∴当m=-时，l1与l2垂直.

yx3.若实数x,y满足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值为 .

答案 3

一、填空题

1.直线xcos?+y-1=0 (?∈R)的倾斜角的范围是 . 答案 ?0,?????3?????,??4??4?

2.（20092姜堰中学高三综合练习）设直线l1:x-2y+2=0的倾斜角为?1,直线l2:mx-y+4=0的倾斜角为?2,且

?2=?1+90°,则m的值为 .

答案 -2

3.已知直线l经过A（2，1），B（1，m2）（m∈R）两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是 . 答案 ?0,??????????,??4??2?

4.已知直线l1：y=2x+3，直线l2与l1关于直线y=x对称，直线l3⊥l2，则l3的斜率为 . 答案 -2

5.若直线l沿x轴负方向平移3个单位，再沿y轴正方向平移1个单位后，又回到原来位置，那么直线l的斜率是 . 答案 -13

6.（20082浙江理，11）已知a＞0,若平面内三点A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共线，则a= . 答案 1+2

7.已知点A（-2，4）、B（4，2），直线l过点P（0，-2）与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是 . 答案 （-∞，-3］∪［1，+∞）

8.已知两点A（-1，-5），B（3，-2），若直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，则l的斜率是 . 答案

13

二、解答题

9.已知线段PQ两端点的坐标分别为（-1，1）、（2，2），若直线l：x+my+m=0与线段PQ有交点，求m的取值范围.

解 方法一 直线x+my+m=0恒过A（0，-1）点. kAP=则-?1?10?1=-2，kAQ=

32?1?20?2=

32，

1m23≥或-121m≤-2，

∴-≤m≤且m≠0.

又∵m=0时直线x+my+m=0与线段PQ有交点， ∴所求m的取值范围是-23≤m≤

12.

方法二 过P、Q两点的直线方程为 y-1=

2?12?1(x+1),即y=

13x+

43,

代入x+my+m=0, 整理，得x=-7mm?37mm?3

.

由已知-1≤-解得-23≤2,

≤m≤

12.

10.已知直线l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m=0,求m的值，使得： （1）l1与l2相交；（2）l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合. 解 （1）由已知133≠m(m-2),

即m2-2m-3≠0, 解得m≠-1且m≠3.

故当m≠-1且m≠3时，l1与l2相交. （2）当12（m-2）+m23=0，即m=

1m?2

1m?2

12时，l1⊥l2.

(3)当=

m3≠

62m62m,即m=-1时，l1∥l2. ，

（4）当=

m3=

即m=3时，l1与l2重合.

11.已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.

解 设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0， ∴kAB2kBC=0≠-1，

即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边. ①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD， ∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3. 又kAD=kBC，∴

y?3x=0，即y=3.

此时AB与CD不平行.

故所求点D的坐标为（3，3）. ②若AD是直角梯形的直角边， 则AD⊥AB，AD⊥CD， kAD=

y?3x，kCD=

yx?3.

由于AD⊥AB，∴

y?3xy23=-1.

又AB∥CD，∴

x?3=3.

18?x?,??5解上述两式可得??y?9,?5?

此时AD与BC不平行. 故所求点D的坐标为??189?,??55?,

?189?,??55?综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或?12.已知两点A（-1，2），B（m，3）. （1）求直线AB的方程； （2）已知实数m∈?????.

??1,3?1?，求直线AB的倾斜角?的取值范围. 3??3解 （1）当m=-1时，直线AB的方程为x=-1,

当m≠-1时，直线AB的方程为y-2=

?21m?1(x+1).

（2）①当m=-1时，?=;

②当m≠-1时，m+1∈??????,0??0,3， ?3?3??∴k=

1m?1∈（-∞，-3］∪??3?,???，

?3???∴?∈?,???,?.

?62??23?综合①②知，直线AB的倾斜角?∈?,?. 63????2????????2??

§9.2 直线的方程、直线的交点坐标与距离公式

基础自测

①经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y-y0=k（x-x0）表示

②经过任意两个不同点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)的直线都可以用方程（y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)表示 ③不经过原点的直线都可以用方程

xa?yb?11.下列四个命题中真命题的序号是 .

表示

④经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示 答案 ②

2.A、B是x轴上两点，点P的横坐标为2，且|PA|=|PB|，若直线PA的方程为x-y+1=0，则直线PB的方程为 . 答案 x+y-5=0

3.（20082全国Ⅱ文）原点到直线x+2y-5=0的距离为 . 答案 5

4.过点P（-1，2）且方向向量为a=（-1，2）的直线方程为 . 答案 2x+y=0

5.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成的三角形的面积为1，则此直线的方程为 . 答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0

例1 求适合下列条件的直线方程：

（1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的截距相等；

（2）经过点A（-1，-3），倾斜角等于直线y=3x的倾斜角的2倍. 解 （1）方法一 设直线l在x,y轴上的截距均为a, 若a=0，即l过点（0，0）和（3，2）， ∴l的方程为y=

23x，即2x-3y=0.

xa2ayb若a≠0，则设l的方程为

3a??1，

∵l过点（3，2），∴??1，

∴a=5，∴l的方程为x+y-5=0,

综上可知，直线l的方程为2x-3y=0或x+y-5=0. 方法二 由题意知，所求直线的斜率k存在且k≠0, 设直线方程为y-2=k(x-3), 令y=0，得x=3-2k2k,令x=0,得y=2-3k,

23由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,

∴直线l的方程为： y-2=-（x-3）或y-2=

23(x-3),

即x+y-5=0或2x-3y=0.

（2）由已知：设直线y=3x的倾斜角为?， 则所求直线的倾斜角为2?. ∵tan?=3,∴tan2?=

2tan?1?tan?2=-

34.

又直线经过点A（-1，-3）， 因此所求直线方程为y+3=-即3x+4y+15=0.

例2 过点P（2，1）的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|2|PB|最小时l的方程. 解 方法一 设直线的方程为

2a1bxa?yb?1 (a＞2,b＞1),

34(x+1),

由已知可得

??1. 2a

1b

（1）∵2∴S△AOB=

122a?1b≤

?

=1，∴ab≥8.

ab≥4.

2a当且仅当（2）由

2a=

1b1b=

12,即a=4,b=2时，S△AOB取最小值4，此时直线l的方程为

x4?y2=1,即x+2y-4=0.

+=1,得ab-a-2b=0,

变形得(a-2)(b-1)=2, |PA|2|PB|

=(2?a)2?(1?0)22(2?0)2?(1?b)2

2[(=[(2?a)2?1]2 1?b)?4]

4 (b?1). ≥2(a?2)2

当且仅当a-2=1,b-1=2,

即a=3,b=3时，|PA|2|PB|取最小值4.

此时直线l的方程为x+y-3=0.

方法二 设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0), 则l与x轴、y轴正半轴分别交于 A?2???1?,0?k?、B（0，1-2k）.

1?1??2??2?k?（1）S△AOB==

1（1-2k）

3?4?(?4k)?(?)?

2k??12?1?≥（4+4）=4.

1k当且仅当-4k=-,即k=-1k12时取最小值，此时直线l的方程为y-1=-

12(x-2),即x+2y-4=0.

2（2）|PA|2|PB|=()2?124 ?4k

=

4k2?4k2?8≥4,

2

当且仅当

4k2=4k,即k=-1时取得最小值，此时直线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0.

例3 （14分）已知直线l过点P（3，1）且被两平行线l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的线段长为5，求直线l的方程.

解 方法一 若直线l的斜率不存在，

则直线l的方程为x=3,此时与l1,l2的交点分别是 A（3，-4），B（3，-9），

截得的线段长|AB|=|-4+9|=5,符合题意. 若直线l的斜率存在时， 则设直线l的方程为y=k(x-3)+1, 分别与直线l1,l2的方程联立， 由??y?k(x?3)?1?x?y?1?0 4分

,

.

8分

解得A?由??3k?21?4k?,?k?1??k?1?y?k(x?3)?1?x?y?6?0,解得B??3k?71?9k?，?, k?1??k?1由两点间的距离公式，得

3k?7??3k?2???k?1??k?12?1?4k1?9k??+??k?1??k?12=25，

12分 14分

解得k=0,即所求直线方程为y=1.

综上可知，直线l的方程为x=3或y=1.

方法二 设直线l与l1,l2分别相交于A(x1,y1),B(x2,y2), 则x1+y1+1=0,x2+y2+6=0, 两式相减，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 又(x1-x2)2+(y1-y2)2=25

① ②

6分

联立①②可得??x1?x2?5?y1?y2?0或??x1?x2?0?y1?y2?5, 12分

由上可知，直线l的倾斜角分别为0°和90°， 故所求的直线方程为x=3或y=1.

14分

例4 求直线l1:y=2x+3关于直线l:y=x+1对称的直线l2的方程. 解 方法一 由??y?2x?3?y?x?1

知直线l1与l的交点坐标为（-2，-1）， ∴设直线l2的方程为y+1=k(x+2), 即kx-y+2k-1=0.

在直线l上任取一点（1，2），

由题设知点（1，2）到直线l1、l2的距离相等， 由点到直线的距离公式得

k?2?2k?11?k22=

2?2?322，

2?(?1)解得k=

12(k=2舍去)，

∴直线l2的方程为x-2y=0.

方法二 设所求直线上一点P（x,y）,

则在直线l1上必存在一点P1（x0,y0）与点P关于直线l对称. 由题设：直线PP1与直线l垂直，且线段PP1的中点 P2????x?x02,y?y0???在直线l上. 2??y0?y?1??1??x0?y?1?x0?x∴?，变形得?,

x?x0?y0?x?1?y?y0??1?22?代入直线l1:y=2x+3，得x+1=23(y-1)+3, 整理得x-2y=0.

所以所求直线方程为x-2y=0.

1.（1）求经过点A（-5，2）且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程；

（2）过点A（8，6）引三条直线l1,l2,l3，它们的倾斜角之比为1∶2∶4，若直线l2的方程是y=线l1,l3的方程.

解 （1）①当直线l在x、y轴上的截距都为零时， 设所求的直线方程为y=kx, 将（-5，2）代入y=kx中， 得k=-2534x,求直

，此时，直线方程为y=-

25x,

例3 双曲线C：

xa22?yb22=1 (a＞0,b＞0)的右顶点为A，x轴上有一点Q（2a，0），若C上存在一点P，使

AP2PQ=0，求此双曲线离心率的取值范围.

解 设P点坐标为（x,y）， 则由AP2PQ=0，得AP⊥PQ， 则P点在以AQ为直径的圆上，

3a??即?x??2??2+y

2

?a?=???2?2

xa22

yb22 ①

又P点在双曲线上，得由①，②消去y,得

?=1 ②

(a2+b2)x2-3a3x+2a4-a2b2=0.

即［（a2+b2）x2-（2a3-ab2）］（x-a）=0. 当x=a时，P与A重合，不符合题意，舍去. 当x=需x=

2aa2aa3232?ab?b22时，满足题意的P点存在，

2?ab?b2＞a,化简得a2＞2b2,

即3a＞2c,

22

ca＜

62.∴离心率e=

ca2∈?1,???6??. 2??例4 (14分)已知双曲线C：

N两点，

x21??-

y?=1（0＜?＜1）的右焦点为B，过点B作直线交双曲线C的右支于M、

试确定?的范围，使OM2ON=0，其中点O为坐标原点. 解 设M（x1，y1），N（x2，y2），由已知易求B（1，0）， ①当MN垂直于x轴时，MN的方程为x=1， 设M（1，y0），N（1，-y0）（y0＞0）， 由OM2ON=0，得y0=1， ∴M（1，1），N（1，-1）.

又M（1，1），N（1，-1）在双曲线上， ∴分

因为0＜?＜1,所以?=分

②当MN不垂直于x轴时，设MN的方程为y=k(x-1).

2?x2y???1由?1??, ??y?k(x?1)?11??-

1?2

=1??+?-1=0??=

?1?25， 4

5?12. 5

得［?-(1-?)k2］x2+2(1-?)k2x-(1-?)(k2+?)=0,

8分

由题意知：?-(1-?)k≠0, 所以x1+x2=x1x2=

?2k(1??)222

,

??(1??)k?(1??)(k2??)2,

k?222??(1??)k2

于是y1y2=k(x1-1)(x2-1)=

10分

,

??(1??)k因为OM2ON=0,且M、N在双曲线右支上，

?(1??)?2?x1x2?y1y2?0?k?2??????1 所以?x1?x2?0???k2???xx?0?12?1??????(1??)??2??????11????2?????1?05?12＜?＜

23.

13分 由①②，知

5?12≤?＜

23.

14分

1.由双曲线标.

解 由双曲线方程知 a=3,b=2,c=13.

如右图，根据从圆外一点引圆的两条切线长相等及双曲线定义可得 |PF1|-|PF2|=2a.

由于|NF1|-|NF2|=|PF1|-|PF2|=2a.

①

②

|NF1|+|NF2|=2c. 由①②得|NF1|=

2a?2c2x29?y24=1上的一点P与左、右两焦点F1、F2构成△PF1F2，求△PF1F2的内切圆与边F1F2的切点坐

=a+c.

∴|ON|=|NF1|-|OF1|=a+c-c=a=3. 故切点N的坐标为（3，0）.

根据对称性，当P在双曲线左支上时，切点N的坐标为（-3，0）. 2.已知双曲线的渐近线的方程为2x±3y=0,

（1）若双曲线经过P（6，2），求双曲线方程；

（2）若双曲线的焦距是213，求双曲线方程； （3）若双曲线顶点间的距离是6，求双曲线方程. 解 方法一 （1）由双曲线的渐近线方程y=±＞0,b＞0）

故可设双曲线方程为

ya2223x及点P（6，2）的位置可判断出其焦点在y轴上，（a

?xb22?1.

2?a4?2??3?b?a?.3 依题意可得???46??b2?3.??1?22?b?a故所求双曲线方程为

34y2?13x2?1.

(2)若焦点在x轴上，可设双曲线方程为

2?b2????a?9,依题意?a3 ??2??a2?b2?13?b?4.?xa22?yb22?1.

此时所求双曲线方程为

x29?y24=1.

ya22若焦点在y轴上，可设双曲线方程为

2?a2????a?4,依题意?b3 ??2?b?9.?a2?b2?13???xb22?1.

此时所求双曲线方程为故所求双曲线方程为

x2y24??y2x29?1.

y294=1或

ba4?23x29?1.

（3）若焦点在x轴上，则a=3,且

x2=.

∴a=3,b=2,双曲线方程为

9?ab2y24=1. .

2若焦点在y轴上，则a=3,且

92=

23∴a=3,b=,双曲线方程为

x2y9y2?4x81y?1.

2故所求双曲线方程为

9?4=1或

x3?9y2?4x281?1.

方法二 由双曲线的渐近线方程

x2=0,

可设双曲线方程为

9?y24??(?≠0).

(1)∵双曲线经过点P（6，2）， ∴

69?44

=?,即?=-

1334,

2故所求双曲线方程为

y?13x2=1.

(2)若?＞0，则a2=9?,b2=4?,c2=a2+b2=13?. 由题设2c=213,则13?=13,即?=1. 此时，所求双曲线方程为

x29?y24=1.

若?＜0，则a2=-4?,b2=-9?,c2=a2+b2=-13?. 由题设2c=213,得?=-1. 此时，所求双曲线方程为

x2x29y2?y24=-1.

y2故所求双曲线方程为

9?4=1或

4?x29=1.

（3）若?＞0，则a2=9?,由题设知2a=6. ∴?=1，此时所求双曲线方程为

x29?y24=1.

94若?＜0，则a2=-4?,由题设知2a=6,知?=-y2.

此时所求双曲线方程为

x29??y24x281?1. y2故所求双曲线方程为

94=1或

9?4x281?1.

3.已知双曲线的中心在原点，焦点F1、F2在坐标轴上，离心率为2,且过点P（4，-10）. （1）求双曲线方程；

（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：MF12MF2=0； （3）求△F1MF2的面积. （1）解 ∵e=2，

∴可设双曲线方程为x2-y2=?(?≠0). ∵过点（4，-10），∴16-10=?，即?=6. ∴双曲线方程为x-y=6.

（2）证明 方法一 由（1）可知，双曲线中a=b=6,

2

2

∴c=23,∴F1(-23,0),F2(23,0), ∴kMF1=

m3?23,kMF2=

m3?23,

kMF2kMF=

12m29?12=-

m23.

∵点（3，m)在双曲线上，∴9-m2=6,m2=3,

故kMF2kMF=-1,∴MF1⊥MF2，∴MF12MF2=0.

12方法二 ∵MF1=（-3-23，-m），

MF2=（2

3-3，-m），

∴MF12MF2=（3+23）3（3-23）+m2=-3+m2. ∵M点在双曲线上，∴9-m2=6，即m2-3=0, ∴MF12MF2=0.

（3）解 △F1MF2的底|F1F2|=43, △F1MF2的高h=|m|=3,∴S?F1MF2=6.

4.（20082天津理，21）已知中心在原点的双曲线C的一个焦点是F1(-3,0),一条渐近线的方程是5x-2y=0. (1)求双曲线C的方程;

(2)若以k(k≠0)为斜率的直线l与双曲线C相交于两个不同的点M,N且线段MN的垂直平分线与两坐标轴围成的三角形的面积为

812,求k的取值范围.

xa22解 （1）设双曲线C的方程为

?yb22=1（a＞0,b＞0）.

?a2?b2?9,2???a?4,由题设得?b 解得? 52?,???b?5.2?a所以双曲线C的方程为

x24?y25=1.

（2）设直线l的方程为y=kx+m (k≠0). 点M（x1，y1），N（x2，y2）的坐标满足方程组

?y?kx?m?2 ?x2y??1?5?4①

②

将①式代入②式，得

x24-

(kx?m)52=1,整理得

(5-4k2)x2-8kmx-4m2-20=0.

此方程有两个不等实根，于是5-4k≠0,且

Δ=(-8km)+4(5-4k)(4m+20)＞0,

2

2

2

2

整理得m2+5-4k2＞0. ③

x1?x22由根与系数的关系可知线段MN的中点坐标（x0,y0）满足x0==

4km5?4k2,y0=kx0+m=

5m5?4k2.

1.已知椭圆的长轴长是8，离心率是

x234，则此椭圆的标准方程是 .

答案

16?y27=1或

x27?y216=1

2.若椭圆的对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离为3，则这个椭圆的方程为 .

x2答案

12?y29?1或

y212?x29?1

123.若椭圆的中心在原点，一个焦点为（0，52），直线y=3x-2与它相交所得的中点横坐标为圆的方程为 . 答案 4.椭圆

x2，则这个椭

x225??y2y275?1

123?1的左、右焦点分别为F1和F2，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点在y轴上，那么|PF1|是

|PF2|的 倍. 答案 7 5.已知椭圆

xa22?y225F2，且|F1F2|=8，弦AB过点F1，则△ABF2的周长为 . ?1(a＞5)的两个焦点为F1、

答案 441

6.已知以F1（-2,0），F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+3y+4=0有且仅有一个交点，则椭圆的长轴长为 . 答案 27

x27.经过椭圆

2+y2=1的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于A、B两点，设O为坐标原点，则OA2OB等于 . 答案 -13

7188.（20082全国Ⅰ理，15）在△ABC中，AB=BC，cosB=-离心率e= . 答案

38，若以A、B为焦点的椭圆经过点C，则该椭圆的

二、解答题

9.求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点坐标分别为（-4，0）和（4，0），且椭圆经过点（5，0）； （2）焦点在y轴上，且经过两个点（0，2）和（1，0）； （3）经过P（-23，1），Q（3，-2）两点.

解 （1）由于椭圆的焦点在x轴上，所以设它的标准方程为

xa22?yb22=1(a＞b＞0).

∴2a=(5?4)2?(5?4)2=10, ∴a=5.又c=4,∴b2=a2-c2=25-16=9. 故所求椭圆的方程为

x225?y29=1.

(2)由于椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为

ya22?xb22=1 (a＞b＞0).

由于椭圆经过点（0，2）和（1，0），

0?4??1,?222??a?4,?ab∴?∴?

2?b?1.?0?1?1,?2?a2b?故所求椭圆的方程为

y24+x2=1.

(3)设椭圆的标准方程为 mx+ny=1 (m＞0,n＞0,m≠n),

点P（-23,1）,Q(3,-2)在椭圆上， 代入上述方程得??12m?n?1?3m?4n?12

2

1?m?,22?yx?15?解得?∴=1. 1551?n?,?5?10.如图所示，点P是椭圆

y2y25?x24=1上的一点，F1和F2是焦点，且∠F1PF2=30°,求△F1PF2的面积.

解 在椭圆

5?x24=1中，

a=5,b=2.∴c=a2?b2 =1. 又∵点P在椭圆上， ∴|PF1|+|PF2|=2a=25. 由余弦定理知：

|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos30° =|F1F2|2=(2c)2=4. ①式两边平方得

|PF1|2+|PF2|2+2|PF1|2|PF2|=20， ③-②得（2+3）|PF1|2|PF2|=16， ∴|PF1|2|PF2|=16（2-3），

③

②

①

∴S?PF1F2=

12|PF1|2|PF2|sin30°=8-43.

1211.已知椭圆的中心在原点，离心率为（1）求椭圆的方程；

，一个焦点是F（-m，0）（m是大于0的常数）.

（2）设Q是椭圆上的一点，且过点F、Q的直线l与y轴交于点M，若|MQ|=2|QF|，求直线l的斜率. 解 （1）设所求椭圆方程是由已知，得c=m，

caxa22?yb22=1（a＞b＞0）.

=

12，∴a=2m，b=3m.

x22故所求的椭圆方程是：

?y22=1.

4m3m（2）设Q（xQ，yQ），直线l：y=k（x+m），则点M（0，km）， 当MQ=2QF时，由于F（-m，0），M（0，km）， ∴（xQ-0，yQ-km）=2（-m-xQ，0-yQ） ∴xQ=

0?2m1?2=-

2m3，yQ=

km?01?2=

km3.

又点Q???4m2?2m3,km??在椭圆上， 3?22km?93m2所以

94m2=1.

解得k=±26.

当MQ=-2QF时， xQ=

0?(?2)?(?m)1?2=-2m，yQ=

km1?2=-km.

于是

4m4m22+

km3m222=1,解得k=0.

故直线l的斜率是0，±26. 12.已知椭圆

12xa22?yb22=1(a＞b＞0)的离心率为

32，直线y=

12x+1与椭圆相交于A、B两点，点M在椭圆上，

OM =OA +32322

OB，求椭圆的方程.

解 由e=得a=4b,椭圆可化为:

2

x2+4y2=4b2. 将y=

12x+1代入上式，消去y并整理得：

①

x2+2x+2-2b2=0.

∵直线y=

12x+1与椭圆交于A、B两点，

22∴Δ=4-4（2-2b2）＞0,∴b＞.

设A（x1,y1）,B(x2,y2),M(x,y),则由

OM=

12OA +

32OB,

1?x?(x1?3x2)??2得?.

1?y?(y?3y)12?2?∵M在椭圆上，∴∴x1x2+4y1y2=0. ∴x1x2+??114（x1+3x2)2+(y1+3y2)2=4b2,

??1?x1?1??x2?1??2??2?24=0，

②

即x1x2+(x1+x2)+2=0

又由①知x1+x2=-2,x12x2=2-2b2, 代入②中得b2=1,满足b＞

x222.

∴椭圆方程为

4+y2=1.

§9.7 双曲线

基础自测

21.已知双曲线的离心率为2，焦点是（-4，0），（4，0），则双曲线方程为 . 答案

x24?y12=1

2.过双曲线x2-y2=8的左焦点F1有一条弦PQ在左支上，若|PQ|=7，F2是双曲线的右焦点，则△PF2Q的周长是 . 答案 14+82 3.已知椭圆

xa22?yb22=1（a＞b＞0）与双曲线

2

2

2

xm22?yn22=1（m＞0,n＞0）有相同的焦点（-c，0）和（c，0）.

若c是a与m的等比中项，n是m与c的等差中项，则椭圆的离心率等于 . 答案

33

xa224.设F1、F2分别是双曲线

?yb22=1的左、右焦点.若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90°且|AF1|=3|AF2|,则

双曲线的离心率为 . 答案

102

xa225.（20082上海春招）已知P是双曲线

?y29=1右支上的一点，双曲线的一条渐近线方程为3x-y=0,设F1、

F2分别为双曲线的左、右焦点.若|PF2|=3，则|PF1|= . 答案 5

例1 已知动圆M与圆C1：（x+4）+y=2外切，与圆C2：（x-4）+y=2内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解 设动圆M的半径为r， 则由已知|MC1|=r+2， |MC2|=r-2， ∴|MC1|-|MC2|=22. 又C1（-4，0），C2（4，0）， ∴|C1C2|=8，∴22＜|C1C2|.

根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1（-4，0）、C2（4，0）为焦点的双曲线的右支. ∵a=2，c=4， ∴b=c-a=14， ∴点M的轨迹方程是

x22

2

2

2

2

2

2

2?y214=1（x≥2）.

例2 根据下列条件，求双曲线的标准方程. （1）与双曲线

x29x2?y216y2=1有共同的渐近线，且过点（-3，23）； =1有公共焦点，且过点（32，2）.

x2（2）与双曲线

16?4解 （1）设所求双曲线方程为将点（-3,23）代入得?=

x29?y24=?(?≠0),

14,

14所以双曲线方程为

9?22y216=

22，即

4x92?y24=1.

(2)设双曲线方程为

xa?yb=1.由题意易求c=25.

2又双曲线过点（3

?32?，∴2，2）

a2-

4b2=1.

又∵a2+b2=（25）2，∴a2=12，b2=8.

x2故所求双曲线的方程为

12?y28=1.

∵直线与圆无公共点，∴d＞r,即∴m＞5或m＜-5.

m5＞5,

故当m＞5或m＜-5时，直线与圆无公共点. （2）如图所示，由平面几何垂径定理知 r2-d2=12，即5-m25=1.

得m=±25,

∴当m=±25时，直线被圆截得的弦长为2. （3）如图所示，由于交点处两条半径互相垂直， ∴弦与过弦两端的半径组成等腰直角三角形， ∴d=

22r，即

5225222

2

m5?2225,

解得m=±.

故当m=±时，直线与圆在两交点处的两条半径互相垂直.

2.从圆C：x+y-4x-6y+12=0外一点P（a，b）向圆引切线PT，T为切点，且|PT|=|PO| （O为原点）.求|PT|的最小值及此时P的坐标.

解 已知圆C的方程为(x-2)+(y-3)=1. ∴圆心C的坐标为（2，3），半径r=1. 如图所示，连结PC，CT.由平面几何知， |PT|2=|PC|2-|CT|2 =（a-2）2+（b-3）2-1.

由已知，|PT|=|PO|，∴|PT|2=|PO|2， 即（a-2）2+（b-3）2-1=a2+b2. 化简得2a+3b-6=0. 得|PT|2=a2+b2=

1213192

2

（13a2-24a+36）.

当a=时，

13|PT|min=

13?(1213613)2?24?1213?36=

61313.

?1218?,??1313?|PT|的最小值为13，此时点P的坐标是?2

2

.

3.求过点P（4，-1）且与圆C：x+y+2x-6y+5=0切于点M（1，2）的圆的方程. 解 方法一 设所求圆的圆心为A（m,n)，半径为r, 则A,M,C三点共线，且有|MA|=|AP|=r，

因为圆C：x2+y2+2x-6y+5=0的圆心为C（-1，3），

2?3?n?2??则?m?11?1?22?(m?1)?(n?2)?,

(m?4)2?(n?1)2?r解得m=3,n=1,r=5,

所以所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5.

方法二 因为圆C：x+y+2x-6y+5=0过点M（1，2）的切线方程为2x-y=0, 所以设所求圆A的方程为 x2+y2+2x-6y+5+?(2x-y)=0,

因为点P（4，-1）在圆上，所以代入圆A的方程， 解得?=-4,

所以所求圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0.

4.圆x2+y2=8内一点P（-1，2），过点P的直线l的倾斜角为?，直线l交圆于A、B两点. （1）当?=

3?42

2

时,求AB的长；

（2）当弦AB被点P平分时，求直线l的方程. 解 （1）当?=

3?4时，kAB=-1，

直线AB的方程为y-2=-（x+1），即x+y-1=0. 故圆心（0，0）到AB的距离d=从而弦长|AB|=28?

12

0?0?12=

22，

=30.

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-2，y1+y2=4.

22??x1?y1?8,由?

22??x2?y2?8,两式相减得（x1+x2）（x1-x2）+（y1+y2）（y1-y2）=0， 即-2（x1-x2）+4（y1-y2）=0， ∴kAB=

y1?y2x1?x2?12.

12∴直线l的方程为y-2=

（x+1），即x-2y+5=0.

一、填空题

1.（20082辽宁理）若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点，则k的取值范围为 . 答案 (-3,3)

2.（20082重庆理，3）圆O1：x+y-2x=0和圆O2：x+y-4y=0的位置关系是 . 答案 相交

3.已知圆C：（x-a）2+(y-2)2=4 (a＞0)及直线l:x-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为23时，则a= .

2

2

2

2

答案 2-1

4.（20082全国Ⅰ文）若直线答案

1a2xa?yb?1与圆x2+y2=1有公共点，则

1a2?1b2与1的大小关系是 .

?1b2≥1

5.能够使得圆x2+y2-2x+4y+1=0上恰有两个点到直线2x+y+c=0距离等于1的c的取值范围为 . 答案 （-35，-5）∪（5，35）

6.（20082湖北理）过点A（11，2）作圆x2+y2+2x-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有 条. 答案 32

7.设直线ax-y+3=0与圆（x-1）2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a= . 答案 0

8.（20082湖南文，14）将圆x2+y2=1沿x轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是 ；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是 . 答案 （x-1）+y=1 二、解答题

9.已知圆C：x2+y2+2x-4y+3=0.若圆C的切线在x轴和y轴上的截距的绝对值相等，求此切线的方程. 解 ∵切线在两坐标轴上截距的绝对值相等， ∴切线的斜率是±1，或切线过原点.

当切线不过原点时，设切线方程为y=-x+b或y=x+c,分别代入圆C的方程得2x-2（b-3）x+（b-4b+3）=0. 或2x2+2(c-1)x+(c2-4c+3)=0, 由于相切，则方程有等根，∴Δ1=0，

即［2(b-3)］2-4323（b2-4b+3)=-b2+2b+3=0, ∴b=3或-1,Δ2=0,

即［2(c-1)］2-4323(c2-4c+3)=-c2+6c-5=0.

∴c=5或1,当切线过原点时，设切线为y=kx,即kx-y=0. 由

?k?21?k22

2

2

2

33或-

33

=2，得k=2±6,∴y=(2±6)x.

故所求切线方程为：x+y-3=0，x+y+1=0，x-y+5=0，x-y+1=0,y=(2±6)x. 10.已知曲线C：x2+y2-4ax+2ay-20+20a=0.

（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；

（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上； （3）若曲线C与x轴相切，求a的值. （1）证明 曲线C的方程可变形为 (x2+y2-20)+(-4x+2y+20)a=0， 由?22??x?y?20?0???4x?2y?20?0,解得??x?4?y??2，

点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）. （2）证明 原方程配方得(x-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,

∵a≠2时，5(a-2)2＞0,

∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是5|a-2|的圆. 设圆心坐标为（x,y），则有?消去a得y=-12?x?2a?y??a,

12x,故圆心必在直线y=-x上.

5?25（3）解 由题意得5|a-2|=|a|,解得a=.

11.已知圆C：x2+y2-2x+4y-4=0,问是否存在斜率是1的直线l，使l被圆C截得的弦AB，以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程；若不存在，说明理由.

解 假设存在直线l满足题设条件，设l的方程为y=x+m,圆C化为（x-1）2+(y+2)2=9,圆心C（1，-2），则AB中点N是两直线x-y+m=0与y+2=-(x-1)的交点即N????m?1m?1?,?22?,以AB为直径的圆经过原点，

∴|AN|=|ON|，又CN⊥AB，|CN|=

(3?m)221?2?m2，

∴|AN|=9?又|ON|=(?.

?(m?12)2m?12)2，

由|AN|=|ON|，解得m=-4或m=1. ∴存在直线l，其方程为y=x-4或y=x+1.

12.设O为坐标原点，曲线x2+y2+2x-6y+1=0上有两点P、Q，满足关于直线x+my+4=0对称，又满足OP2OQ=0.

（1）求m的值；

（2）求直线PQ的方程.

22

解 （1）曲线方程为（x+1）+(y-3)=9表示圆心为（-1，3），半径为3的圆. ∵点P、Q在圆上且关于直线x+my+4=0对称， ∴圆心（-1，3）在直线上，代入得m=-1. （2）∵直线PQ与直线y=x+4垂直，

∴设P（x1，y1）、Q(x2，y2)，PQ方程为y=-x+b. 将直线y=-x+b代入圆的方程， 得2x2+2(4-b)x+b2-6b+1=0.

Δ=4(4-b)-4323(b-6b+1)＞0,

2

2

得2-32＜b＜2+32. 由根与系数的关系得 x1+x2=-(4-b),x12x2=

2

b2?6b?12b2.

y12y2=b-b(x1+x2)+x12x2=

?6b?122

+4b.

∵OP2OQ=0，∴x1x2+y1y2=0，即b-6b+1+4b=0, 解得b=1∈(2-32,2+32), ∴所求的直线方程为y=-x+1.

§9.5 曲线与方程

基础自测

①曲线C上的点的坐标都适合方程F（x，y）=0 ②凡坐标不适合F（x，y）=0的点都不在C上

③不在C上的点的坐标有些适合F（x，y）=0，有些不适合F（x，y）=0 ④不在C上的点的坐标必不适合F（x，y）=0 答案 ①②③

2.到两定点A（0，0），B（3，4）距离之和为5的点的轨迹是 . 答案 线段AB

3.动点P到两坐标轴的距离之和等于2，则点P的轨迹所围成的图形面积是 . 答案 8

4.（20082北京理）若点P到直线x=-1的距离比它到点（2，0）的距离小1，则点P的轨迹为 (写出曲线形状即可). 答案 抛物线

5.已知直线l的方程是f（x，y）=0，点M（x0，y0）不在l上，则方程f（x，y）-f（x0，y0）=0表示的曲线与l的位置关系是 . 答案 平行

1.已知坐标满足方程F（x，y）=0的点都在曲线C上，那么下列说法错误的是 （只填序号）.

例1 如图所示，过点P（2，4）作互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A，l2交y轴于B， 求线段AB中点M的轨迹方程. 解 设点M的坐标为（x,y）, ∵M是线段AB的中点，

∴A点的坐标为（2x,0），B点的坐标为（0，2y）. ∴PA=（2x-2，-4），PB=（-2，2y-4）.

由已知PA2PB=0，∴-2（2x-2）-4（2y-4）=0， 即x+2y-5=0.

∴线段AB中点M的轨迹方程为x+2y-5=0.

例2 （5分）在△ABC中，A为动点，B、C为定点，B（-则动点A的轨迹方程是 . 答案

16xa22a2,0），C（

a2，0）且满足条件sinC-sinB=

12sinA,

-

16y3a22=1（y≠0)的右支

例3 如图所示，已知P（4，0）是圆x2+y2=36内的一点，A、B是圆上两动点，且满足∠APB=90°，求矩形

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