中考数学高分复习教材同步复习函数课时13二次函数的综合与应用真题在线

第一部分 第三章 课时13

命题点 二次函数与几何图形的综合

(2017·遵义)如图，抛物线y＝ax＋bx－a－b(a＜0，a，b为常数)与x轴交于A，C两816

点，与y轴交于B点，直线AB的函数关系式为y＝x＋. 93

2

(1)求该抛物线的函数关系式与C点坐标；

(2)已知点M(m,0)是线段OA上的一个动点，过点M作x轴的垂线l分别与直线AB和抛物线交于D，E两点，当m为何值时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形？

(3)在(2)问条件下，当△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形时，动点M相应位置记为点M′，将OM′绕原点O顺时针旋转得到ON(旋转角在0°到90°之间)；

i．探究：线段OB上是否存在定点P(P不与O，B重合)，无论ON如何旋转，始终保持不变. 若存在，试求出P点坐标；若不存在，请说明理由；

3

ii.试求出此旋转过程中，(NA＋NB)的最小值．

481616

解：(1)在y＝x＋中，令x＝0，则y＝，

93316

令y＝0，则x＝－6，∴B(0，)，A(－6,0)．

3

36a－6b－a－b＝0，??162

把A(－6,0)，B(0，)代入y＝ax＋bx－a－b，得?16

3－a－b＝，?3?8

a＝－，??9?40??b＝－9.

NPNB

解得

824016

∴抛物线的函数关系式为y＝－x－x＋，

993824016

令y＝0，则－x－x＋＝0，

993

∴x1＝－6，x2＝1，∴C(1,0)．

816824016

(2)∵M(m, 0), ∴D(m，m＋)，E(m, －m－m＋), 如答图1，当DE为底时，过

939931

点B作BG⊥DE于点G，则EG＝GD＝ED，

2

答图1

GM＝OB＝，

18161824016816

∵DM＋DG＝GM＝OB，∴DM＋(EM－DM)＝OB，∴m＋＋(－m－m＋－m－)＝

29329939316

， 3

解得m1＝－4，m2＝0(不合题意，舍去)，∴当m＝－4时，△BDE恰好是以DE为底边的等腰三角形．

(3)i：存在，

16

如答图2，由题意可知ON＝OM′＝4，OB＝. 3

163

答图2

∵∠NOP＝∠BON， ∴当△NOP∽△BON时，

OPNPON3＝＝＝， ONNBOB4

NP33

∴不变，即OP＝ON＝×4＝3，∴P(0,3)； NB44

NPOP3

ii：如答图2，∵点N在以O为圆心，4为半径的半圆上，由(i)知，＝＝，∴NPNBON4

3

＝NB， 4

3

∴(NA＋NB)＝NA＋NP，∴当N，A，P三点共线时，NA＋NP的值最小，即为AP的长，

4322

∴(NA＋NB)的最小值为3＋6＝35.

4

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