2010年北京海淀区高考二模数学理科试题（word版含解析）（无水印）

数 学 （理科） 2010．5

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出

符合题目要求的一项．

1．已知集合A??xx?0?，B?{0,1,2}，则

A．A??B

B．B??A

C．A?B?B D．A?B??

2．函数f(x)?sin(2x?)图象的对称轴方程可以为

3A．x???12 B．x?5? 12C．x??3 D．x??6

3．如图，CD是⊙O的直径，AE切⊙O于点B，

连接DB，若?D?20?，则?DBE的大小为 A． 20? B． 40? C． 60? D． 70? 4．函数f(x)?x?2?lnx在定义域内零点的个数为

A．0 C．2

B．1 D．3

DOCABE?0?x?2,?5．已知不等式组?x?y?2?0,所表示的平面区域的面积为4，则k的值为

?kx?y?2?0?A．1 B．?3 C．1或?3 D．0

6．已知m，n是不同的直线，?，?是不同的平面，则下列条件能 使n??成立的是

A．???，m?? B．?//?，m?? C．???，n//? D．m//?，n?m

开始 k=1 S=0 是 M

7．按照如图的程序框图执行，若输出结果为15，则M处条件为 否 A．k?16 B．k?8 输出S S=S+k C．k?16 D．k?8 k?2?k 结束

8．已知动圆C经过点F(0，1)，并且与直线y??1相切，若直线3x?4y?20?0与圆C有公共点，则圆C的面积 A．有最大值为? B．有最小值为? C．有最大值为4? D．有最小值为4?

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．在极坐标系中，若点A(?0,)(?0?0)是曲线??2cos?上的一点，则?0? ．

310．某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙

两班各随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如

右图）．s1，s2分别表示甲、乙两班各自5名学生学分的 标准差，则s1 s2．（填“?”、“?”或“＝”）

11．已知向量a=(1,0)，b=(x,1)，若a?b?2，则x? ；a?b? ． 12． 已知数列?an?满足a1?1，anan?1?2n（n?N*），则a9?a10的值为 ． 13．在?ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若a?csinA，则大值为 ．

14．给定集合An?{1,2,3,...,n}，映射f:An?An满足： ①当i,j?An,i?j时，f(i)?f(j)；

②任取m?An,若m?2，则有m?{f(1),f(2),..,f(m)}．

．则称映射f：An?An是一个“优映射”．例如：用表1表示的映射f：A3?A3是一个“优映射”．

表1 表2

?a?b的最ci f(i) 1 2 2 3 3 1 i f(i) 1 2 3 3 4 （1）已知表2表示的映射f： A4?A4是一个优映射，请把表2补充完整（只需填出一个满足条件的映射）；

（2）若映射f：A10?A10是“优映射”，且方程f(i)?i的解恰有6个，则这样的“优映射”的个数是_____．

三、解答题： 本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明， 演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）

记等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a2?a4?6,S4?10．

（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；

（Ⅱ）令bn?an?2n(n?N)，求数列{bn}的前n项和Tn．

16．（本小题满分14分）

已知四棱锥P?ABCD，底面ABCD为矩形，侧棱PA?底面ABC，D其中

，M,N为侧棱PC上的两个三等分点，如图所示． BC?2AB?2P?A6P（Ⅰ）求证：AN//平面MBD； （Ⅱ）求异面直线AN与PD所成角的余弦值；

（Ⅲ）求二面角M?BD?C的余弦值．

*N

M

A

CB 17．（本小题满分13分）

为保护水资源，宣传节约用水，某校4名志愿者准备去附近的甲、乙、丙三家公园进行宣传活动，每名志愿者都可以从三家公园中随机选择一家，且每人的选择相互独立． （Ⅰ）求4人恰好选择了同一家公园的概率；

（Ⅱ）设选择甲公园的志愿者的人数为X，试求X的分布列及期望． 18．（本小题满分13分）

已知函数f(x)?(2ax?x2)eax，其中a为常数，且a?0． （Ⅰ）若a?1，求函数f(x)的极值点；

（Ⅱ）若函数f(x)在区间(2,2)上单调递减，求实数a的取值范围． 19．（本小题满分13分）

已知椭圆C1和抛物线C2有公共焦点F(1，0)， C1的中心和C2的顶点都在坐标原点，过点M（4，0）的直线l与抛物线C2分别相交于A，B两点． （Ⅰ）写出抛物线C2的标准方程；

D?????1????（Ⅱ）若AM?MB，求直线l的方程；

2（Ⅲ）若坐标原点O关于直线l的对称点P在抛物线C2上，直线l与椭圆C1有公共点，

求椭圆C1的长轴长的最小值．

20．（本小题满分14分）

已知函数f(x)的图象在[a,b]上连续不断，定义：

f1(x)?min{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])， f2(x)?max{f(t)|a?t?x}(x?[a,b])．

其中，min{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x?D}表示函数f(x)在D上的最大值．若存在最小正整数k，使得f2(x)?f1(x)?k(x?a)对任意的x?[a,b]成立，则称函数f(x)为[a,b]上的“k阶收缩函数”．

（Ⅰ）若f(x)?cosx，x?[0,?]，试写出f1(x)，f2(x)的表达式；

（Ⅱ）已知函数f(x)?x2，x?[?1,4]，试判断f(x)是否为[?1,4]上的“k阶收缩函数”，

如果是，求出对应的k；如果不是，请说明理由；

（Ⅲ）已知b?0，函数f(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数，求b的取值范围．

海淀区高三年级第二学期期末练习

数 学 （理）

参考答案及评分标准

2010．5

说明： 合理答案均可酌情给分，但不得超过原题分数．

第Ⅰ卷（选择题 共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）

题号 答案 1 B 2 A 3 D 4 C 5 A 6 B 7 A 8 D 第Ⅱ卷（非选择题 共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分， 有两空的小题，第一空3分，第二空2分，共30分）

9．1 10．? 11．2 ；10 12．48 13．2 14．

；84．

三、解答题(本大题共6小题，共80分) 15．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）设等差数列?an?的公差为d，由a2?a4?6,S4?10，

?2a1?4d?6? 可得? ， 4?34a1?d?10??2?a1?2d?3 即?，

2a?3d?5?1 解得? ………………………2分

?a1?1，

?d?1 ………………………4分

∴an?a1??n?1?d?1?(n?1)?n，

故所求等差数列?an?的通项公式为an?n． （Ⅱ）依题意，bn?an?2?n?2， ∴Tn?b1?b2???bn

?1?2?2?2?3?2???(n?1)?2 又2Tn?1?2?2?2?3?2? 两式相减得?Tn?(2?2?2???223nn………………………5分

23n?1………………………7分 ?n?2n，

234??(n?1)?2n?n?2n?1，………………9分

n?1?2n)?n?2n?1 ………………………11分

?2?1?2n?1?2?n?2n?1?(1?n)?2n?1?2， ………………………12分

n?1 ∴Tn?(n?1)?2?2．

………………………13分

16．（本小题满分14分）

（Ⅰ）证明：连结AC交BD于O，连结OM ， ?底面ABCD为矩形，

………… 1分 ?O为AC中点，

?M、N为侧棱PC的三等分点， ?CM?MN，

………… 3分 ?OM//AN ，

?OM?平面MBD,AN?平面MBD，

PNABO

MDC ………… 4分 ?AN//平面MBD．

（Ⅱ）如图所示，以A为原点，建立空间直角坐标系A?xyz， 则A(0,0,0)，B(3,0,0)，C(3,6,0)，D(0,6,0)，

zP(0,0,3)，M(2,4,1)，N(1,2,2)， P?????????AN?(1,2,2),PD?(0,6,?3)，

………………………5分

????????????????AN?PD0?12?625?cos?AN,PD?????????? ， ??153?35ANPD

………………………7分

25 ． 15N

AMDyC

xB

?异面直线AN与PD所成角的余弦值为………………………8分

（Ⅲ）?侧棱PA?底面ABCD，

?????平面BCD的一个法向量为AP?(0,0,3)， 设平面MBD的法向量为m?(x,y,z)，

………………………9分

???????????????????BD?(?3,6,0),BM?(?1,4,1)，并且m?BD,m?BM，

??3x?6y?0，令y?1得x?2，z??2， ???x?4y?z?0?． ?平面MBD的一个法向量为m?(2,1,?2) ????????AP?m2cos?AP,m???????， ?3APm

………………………11分 ………………………13分

由图可知二面角M?BD?C的大小是锐角，

?二面角M?BD?C大小的余弦值为

2 ． 3 ………………………14分

17． （本小题满分13分） 解：（Ⅰ）设“4人恰好选择了同一家公园”为事件A．

………………1分

每名志愿者都有3种选择，4名志愿者的选择共有34种等可能的情况

…………………2分 事件A所包含的等可能事件的个数为3， …………………3分 所以，P?A??31． ?4327即：4人恰好选择了同一家公园的概率为

1． 27 ………………5分 ………………………6分

1（Ⅱ）设“一名志愿者选择甲公园”为事件C，则P?C??．

34人中选择甲公园的人数X可看作4次独立重复试验中事件C发生的次数，因此，随机变量X服从二项分布．

………………………8分 X可取的值为0，1，2，3，4．

i1i24?iP?X?i??C4()()， i?0,1,2,3,4．

33 ．………………………10分

X的分布列为： 0 X P 16 811 32 812 24 813 8 814 1 81……………………12分

14X的期望为E?X??4??．

33

18．（本小题满分13分）

……………………13分

解法一：（Ⅰ）依题意得f(x)?(2x?x2)ex，所以f?(x)?(2?x2)ex，……………………1分 令f?(x)?0，得x??2，

………………………2分

f?(x)，f(x)随x的变化情况入下表：

x (??,?2) － ?2 0 极小值 (?2,2) + 2 0 极大值 (2,??) － f?(x) f(x) ? ? ?

………………………4分

由上表可知，x??2是函数f(x)的极小值点，x?2是函数f(x)的极大值点．

………………………5分

（Ⅱ） f?(x)?[?ax2?(2a2?2)x?2a]eax，

………………………6分

由函数f(x)在区间(2,2)上单调递减可知：f?(x)?0对任意x?(2,2)恒成立，

……7分

当a?0时，f?(x)??2x，显然f?(x)?0对任意x?(

．…………………8分

当a?0时，f?(x)?0等价于ax2?(2a2?2)x?2a?0，

22a2?2因为x?(2,2)，不等式ax?(2a?2)x?2a?0等价于x??，

xa………………………9分

222,2恒)成立；

2 令g(x)?x?,x?[2,2]，

x 则g?(x)?1?调递增，

2，在[2,2]上显然有g?(x)?0恒成立，所以函数g(x)在[2,2]单x2所以g(x)在[2,2]上的最小值为g(2)?0， ………………………11分

22a2?2由于f?(x)?0对任意x?(2,2)恒成立等价于x??对任意x?(2,2)恒

xa成立，

需且只需g(x)min2a2?22a2?2，即0?，解得?1?a?1，因为a?0，所以?aa0?a?1．

综合上述，若函数f(x)在区间(2,2)上单调递减，则实数a的取值范围为

0?a?1． ………………………13分

解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）f?(x)?[?ax2?(2a2?2)x?2a]eax，

………………………6分

由函数f(x)在区间(2,2)上单调递减可知：f?(x)?0对任意x?(2,2)恒成立，

即ax2?(2a2?2)x?2a?0对任意x?(2,2)恒成立， …………………7分

2,2恒)成立；

当a?0时，f?(x)??2x，显然f?(x)?0对任意x?(

…………………8分

22a2?1 当a?0时，令h(x)?ax?(2a?2)x?2a，则函数h(x)图象的对称轴为x?，

a．……………9分 a2?1 若?0，即0?a?1时，函数h(x)在(0,??)单调递增，要使h(x)?0对任意

ax?(2,2)恒成立，需且只需h(2)?0，解得?1?a?1，所以0?a?1；

．．………………………11分

a2?1 若?0，即a?1时，由于函数h(x)的图象是连续不间断的，假如h(x)?0对

a任意x?(2,2)恒成立，则有h(2)?0，解得?1?a?1，与a?1矛盾，所以h(x)?0不能对任意x?(2,2)恒成立．

综合上述，若函数f(x)在区间(2,2)上单调递减，则实数a的取值范围为

0?a?1． ……13分

19．（本小题满分13分）

解：（Ⅰ）由题意，抛物线C2的方程为：y2?4x，

…………2分

（Ⅱ）设直线AB的方程为：y?k(x?4),(k存在且k?0)． ?y?k(x?4)联立?2，消去x，得 ky2?4y?16k?0，

?y?4xyB ………………3分

显然??16?64k2?0，设A(x1,y1),B(x2,y2)，

则 y1?y2?4 ① kOFMPxA y1?y2??16 ② ?????1????1又AM?MB，所以 y1??y2 ③

22

…………………4分 …………………5分

由①② ③消去y1,y2，得 k2?2， 故直线l的方程为y?2x?42,或y??2x?42 ．

…………………6分

mn（Ⅲ）设P(m,n)，则OP中点为(,)， 因为O、P两点关于直线y?k(x?4)对称，

22?m8k2?n?k(?4)m??2??km?n?8k??221?k所以?，即?，解之得?，

…………………8分

?n?m?nk?0???m?k??1??n??8k1?k2将其代入抛物线方程，得：

(?8k28k21?k2)?4?1?k2，所以，k2?1． ?y?k(x?4)联立 ???x2?a2?y2b2?1，消去y，得：

(b2?a2k2)x2?8k2a2x?16a2k2?a2b2?0．

由??(?8k2a2)2?4(b2?a2k2)(16a2k2?a2b2)?0，得 16a2k4?(b2?a2k2)(16k2?b2)?0，即a2k2?b2?16k2，

将k2?1，b2?a2?1代入上式并化简，得 2a2?17，所以a?342，即2a?34， 因此，椭圆C1长轴长的最小值为34． 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意可得：

f1(x)?cosx,x?[0,?] ， f2(x)?1,x?[0,?] ．

（Ⅱ）f)???x2,x?[?1,0)1(x ?0,x?[0,4]，

f)???1,x?[?1,1)2(x?x2,x?[1,4] ，

?1?x2,x?f)?f?[?1,0)2(x1(x)??1,x?[0,1)，

??x2,x?[1,4]当x?[?1,0]时，1?x2?k(x?1)?k?1?x，k?2；

………………………9分

………………………10分 …………………12分………………………13分………………………1分 ………………………2分

………………………3分

………………………4分

………………………5分

当x?(0,1)时，1?k(x?1)?k?21?k?1； x?1x216当x?[1,4]时，x?k(x?1)?k??k?．

x?1516综上所述，?k?

5即存在k?4，使得f(x)是[?1,4]上的4阶收缩函数．

………………………6分 ………………………7分

（Ⅲ）f?(x)??3x2?6x??3x?x?2?，令f'(x)?0得x?0或x?2． 函数f?x?的变化情况如下：

令f(x)?0，解得x?0或3． ………………………8分

ⅰ）b?2时，f(x)在[0,b]上单调递增，因此，f2(x)?f?x???x3?3x2，f1(x)?f?0??0．

因为f(x)??x3?3x2是[0,b]上的2阶收缩函数， 所以，①f2(x)?f1?x??2?x?0?对x?[0,b]恒成立；

②存在x??0,b?，使得f2(x)?f1?x???x?0?成立． ………………………9分 ①即：?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立， 由?x3?3x2?2x，解得：0?x?1或x?2，

要使?x3?3x2?2x对x?[0,b]恒成立，需且只需0?b?1．…………………10分 ②即：存在x?[0,b]，使得x?x2?3x?1??0成立． 由x?x2?3x?1??0得：x?0或所以，需且只需b?综合①②可得：3?5． 23?53?5， ?x?223?5 ………………………11分 ?b?1．

23ⅱ）当b?2时，显然有?[0,b]，由于f(x)在[0,2]上单调递增，根据定义可得：

23273，f1()?0， f2()?28233?3?27可得 f2()?f1????2??3，

22?2?8

此时，f2(x)?f1?x??2?x?0?不成立． ………………………13分 综合ⅰ）ⅱ）可得：3?5?b?1． 2

3只是因为简单而已． 2注：在ⅱ）中只要取区间（1，2）内的一个数来构造反例均可，这里用

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