构造对偶式在数学解题中的应用(八种方法)

构造对偶式在数学解题中的应用（八种方法）

数学中的对偶关系是指形式相似,并具有某种对称关系的一对关系式。在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决。

一． 和差对偶

对于表达式u(x)?v(x)，我们可构造表达式u(x)例１若0????2v(x)作为它的对偶关系式。

，且3sin??4cos??5，求tan?的值。

解析：构造对偶式：3sin??4cos??y

5?y?sin????3sin??4cos??5?6则? ,得???3sin??4cos??y?cos??5?y?8?再由sin??cos??1，得：y??2275,?tan??34。

点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。 例２已知：a,b,c,d?R，且a?b?c?d4442222?1，

44求证：(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)?6。 解：

设M?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d),构造对偶式:N?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)4444444444444

则有：

M?N?6(a?6(a4?b?b4?c?c4?d4?2ab222?2ac22?2ad22?2bc22?2bd22?2cd)

22222?d)2?6又N?0，故M?6，即原不等式成立。 例３解方程：x2?8x?21?x?8x?21?10

x?8x?21?a，再由原方程联立可解得：

22解：构造对偶式：x2?8x?21? 1

???????xx2?8x?21??8x?21?10?a210?a2,(1)

,(2)1222那么(1)?(2)得：2x?42?22(100?a),(3)

8x52 (1)?(2)得：16x?10a，即a?代入（３）中得：2x?42?整理得：

925x2222，

x)，

212(100?6425?4， 解得：x??103。

二． 互倒对偶

互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。 例４若x,y,z?(0,1)，求证：

11?x?y11?x?y11?y?z?11?y?z?11?z?x?3。

解：设M???11?z?x,

构造对偶式：N?(1?x?y)?(1?y?z)?(1?z?x)，则

11?x?y11?y?z11?z?x11?y?zM?N??(1?x?y)??(1?y?z)??(1?z?x)??2?2?2?6而N?3，故M?3，即

11?x?y?11?y?z?11?z?x?3。

例５设a1,a2,a3,a222,an为互不相等的正整数，

求证：a1??a332??ann2?1?12?13?1n。

解：设Ｍ＝a1?a222?a332??ann12，构造对偶式：N?1a112?1a213??1an

则M?N?(a1?1a1)?(a222?a2)??(ann2?1an)?1???1n

131n 又a1,a2,a3,,an为互不相等的正整数，所以N?1?12??，因此

2

M?1?12?13?1n。

点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。

例６已知对任意x?(??,0)?(0,??)总有f(x)?2f()?x?0，求函数y?f(x)的解析

x1式。

解析：因f(x)?2f()?x?0 ①

x1用

1x替代上式中的x，构造对偶式：f()?2f(x)?x12x?0

11x?0 ②

由①－②×２得：f(x)?x?4f()?xx2故f(x)??2x3x。

三． 共轭对偶

共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。 例７已知z?c，解方程：z?z?3iz?1?3i。

解析：由z?z?3iz?1?3i ① 构造对偶式：z?z?3iz?1?3i ② 由①－②得z??z?2，代入②得(z?1)(z?1?3i)?0， 故z??1或z??1?3i。

例８若z?c，已知z?1且z??1，证明：

z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1z?1为纯虚数。

z?1z?1解：设Ｍ＝，则M?()?，构造对偶式：Ｎ＝

则Ｍ＋Ｎ＝

z?1z?1z?1z?1＋

z?1z?1＝０（因为z?z?z2?1）

又∴

?0（因为z??1）

为纯虚数。

2b?1?22。

例９已知：a?0,b?0，且a?b?1，求证：2a?1? 3

证明：设Ｍ＝2a?1?∵M22b?1，构造对偶式：Ｎ＝2a?1?2b?1 ?M2?N2?4(a?b)?4?8

∴M?22，即原不等式成立。 四． 倒序对偶

倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。

1234例１０求和：S?1Cn?2Cn?3Cn?4Cn??nCn

nkn?k*0解析：观察和式联想到Cn?Cn,0?k?n,n?N，故首先在和式右边添上一项0?Cn，

012则S?0?Cn?1Cn?2Cn??nCn ①

?0Cn ②

0n012构造对偶式： S?nCn?(n?1)Cn?(n?2)Cn012即②亦为： S?0?Cn?1Cn?2Cn??nCn ③

nn01由①＋③得：nCn?nCn??nCnn?1n?1?nCn

n0101∴2S?nCn?nCn??nCn?nCn?n(Cn?Cn??Cnn?1?Cn)

n∴2S?n?2 ∴S?n?2

点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！

例11、 正项等比数列{an}中，T?a1?a2?a3?试用Ｓ、Ｔ表示Q?1a1?1a2??1an?an,S?a1?a2?a3??an，

nn。

解析：传统解法都用a1,q表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过a1和q找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论q?1和q?1两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。 由题意知：T?a1?a2?a3??an ①

4

构造倒序对偶式：T?an?an?1?an?2?由①×②得：T2?a1 ②

n?(a1?an)?(a2?an?1)??(an?a1)?(a1?an)，即T?(a1?an)2

2再来看： Q?1a11an?1a21??1an ③

构造倒序对偶式：Q?即③＋④得：

2Q?(1a1?1an?an?1??1a1 ④

)?(1a2?1an?2)??(1an?1a1)，

即2Q?a1?ana1?an?a2?an?2a2?an?2??an?a1an?a1。

由等比数列性质可知，右边的分母均为a1?an，故

(a1?an)?(a2?an?1)?a1?an?(an?a1)2Q?

即2Q?2Sa1an2，∴Q?Sa1an

又a1an?Tn ∴Q?五． 定值对偶

S2?nST2。

Tn定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。

例１２已知函数f(x)?则Ｓ＝ 。

1x22x221?x。f()?f()?f()?f(1)?f(2)?f(3)?f(4)=S，

432111(?1x)2解析：f(x)?f()?x1?x1?(1x?)2x221?x?11?x2?1

发现定值：f(x)?f()?1。

x1那么S?f()?f()?f()?f(1)?f(2)?f(3)?f(4) ①

432111 5

构造对偶式：S?f(4)?f(3)?f(2)?f(1)?f()?f()?f() ②

234111由①＋②得：

2S?[f(111)?f(4)]?[f()?f(3)]?[f()?f(2)]?2f(1)43212)]?[f(3)?f()]?[f(4)?f()]3411

?[f(2)?f(∴２Ｓ＝７，即S?六． 奇偶数对偶

72。

奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。

例１３求证：

123412?34?56?2n?12n?12n?1。

2345672n2n?1解：设M?由于

12???56?,2n?12n2n?，构造对偶式：N?2n,

???。

234,?,3452n?12n?1因此M?N，从而M12n?12?M?N?12n?1

故M?。

1413n?2例１４求证：(1?1)(1?)(1?)?14)33n?1 (1?13n?2)?21?54??3n?13n?2证明：待证不等式的左边为：(1?1)(1?令：M?21?54??3n?13n?232?65??3n。

,P??43?76??3n?13n构造两个对偶式：N?∵

21M

3n?1??332?4567,??,34563n?13n?23n3n?13n?13n

?M?N?P?54??3n?13n?2)?(32?65??3n3n?1)??(43?76??3n?13n)

∴?(21?3n?1∴M?33n?1 故原不等式成立。

6

七． 轮换对偶

轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。

例１５求证：对任意实数a.?1,b?1，都有

a2b?1a2?b2a?1?8不等式成立。

证明：设M?b?12?b2a?1b2构造对偶式N?b2b?12?a2，

a?1则M?N?a?b2b?1??a2a?1?(a?b)(a?b)(b?1)(a?1)?0，即M?N

而N?b?1?1b?1?a?1?1a?1?4?(b?1)?1b?1?(a?1)?1a?1?4?2?2?8，

∴M?N?8，即M?8。当且仅当a?b?2时等号成立。

例１６设a,b,c?R，求证：

?a2a?b?b2b?c?c2c?a?a?b?c2b2。

证明：设M?a2a?b2?b2b?cb2?c2c?ac2，构造对偶式：N?a?b?c2b?c?a2，

c?a∴M?N?a?b2a?b??c2b?c??a2c?a?a?b2?b?c2?c?a2?a?b?c。

又M?N?0，即M?N?a2a?b?c2，

∴

a?b?b2b?c?c2c?a?a?b?c2。

八． 互余对偶

三角中的正弦与余弦是两个对称元素，利用互余函数构造对偶式，借用配对思想可以轻松完成有关三角题的解答。

例17.已知x?[0,?22]，解方程：cosx?cos2x?cos3x?1

22222222解析：若令M?cosx?cos2x?cos3x，构造对偶式：N?sinx?sin2x?sin3x 则：M?N?3 ①

M?N?cos2x?cos4x?cos6x?2cosxcos3x?2cos3x?1?2cos3x(cosx?cos3x)?1?4cosxcos2xcos3x?12

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