机械振动基础

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机械振动基础第1 节一、定义

简谐振动运动学

x = Acos(ωt + ),

A O x A x A > 0 , ω > 0 , :常数

——简谐振动方程 简谐振动方程 正弦交流电： 正弦交流电： u = Um cos(ωt + ) 二、描述简谐振动的物理量

圆频率，单位： ω = 2πv, ω :圆频率，单位： rad / s

x = Acos(ωt +) ≤ A , A > 0 :振幅 2π T= > 0 :周期 ω 1 ω 单位： 频率 v, 单位： Hz ,v = = T 2π2π t +) x = Acos(ωt + ) = Acos(2πvt +) = Acos( T

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2π t +) x = Acos(ωt + ) = Acos(2πvt +) = Acos( T Φ(t) = ωt + :位相， t = 0 ,Φ(0) = , :初相 位相，

A、 (或 或 )、 :描述简谐振动的物理量，三要素 ω v T 描述简谐振动的物理量，

三、振动曲线(位移时间曲线，不是运动轨迹) 振动曲线(位移时间曲线，不是运动轨迹)

xAO

xA

kT t

T

t

O

切线斜率 k = dx / dt = V :速度 画法： 画法：1、描点法，2、旋转矢量法，3、平移法 描点法， 旋转矢量法，

平移法： 平移法：要画 x = Acos(ωt + ) = Acosω(t + ) ω 先画 x = Acosωt

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坐标系不动， 坐标系不动，将曲线向左平移 ω ( > 0 ,真的向左平移 ， ω < 0 ,真的向右平移 ) ω 或曲线不动， 或曲线不动，将坐标系向右平移 ω ( > 0 ,真的向右平移 ， ω < 0 ,真的向左平移 ) ω线左或系右

x

tx

tx

t

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四、周期、位相的进一步讨论 周期、

Φc Φa

tc ta = T , tb ta ≠ T

xO

a

b

c

= (ωtc +) (ωta +) = ω(tc ta ) = ωT= 2π

ta

tb tc t

任意时刻

确定的位相 Φ = ωt +

确定的运动状态(振动状态) t确定的运动状态(振动状态)

位相是决定质点振动状态的物理量 注意与“ 注意与“A、 、 是描述简谐振动的物理量”的区别 ω 是描述简谐振动的物理量” 五、谐振质点的速度和加速度 位移 x = Acos(ωt + )

dx = ωAsin( ωt + ) dt dV 加速度 a = = ω 2 Acos(ωt + ) dt速度 V =

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六、谐振微分方程

dV d 2 x a= = 2 = ω2 Acos(ωt + ) = ω2 x dt dt d2x 谐振微分方程 +ω 2 x = 0 ——谐振微分方程 2 dt Q 2 d Q 1 + Q=0 C L 2 LC dt Q

ω=

1 LC

注意：谐振微分方程中因变量前的系数是大于零的常数 注意：

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七、超前、滞后、同相、反相 超前、滞后、同相、 两个同频率的简谐振动 x1 = A cos(ω +1) t 1

Φ2 Φ1 = (ωt +2 ) (ωt +1 ) =2 1 = = 2 1 > 0 ,2比1超前 = 2 1 < 0 ,2比1滞后 = 2 1 = ±2kπ , k = 0,1,2L ,同相 L = 2 1 = ±(2k +1)π , k = 0,1,2L ,反相 L x = Acos(ωt + ) π V = ωAsin( ωt +)= ωAcos(ωt + + )a = ω Acos(ωt + ) = ω Acos(ωt + + π ) a V比 超 π 2, 比V超前π 2,a与x反相 x 前2 2

x2 = A cos(ωt +2 ) 2

2

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八、简谐振动的旋转矢量表示法

x = Acos(ωt + ) r r A, t = 0 A :振幅矢量 ωt 参考圆 r x O x 振幅 A: A 的长度 r ω :A 旋转的角速度 r : t = 0, A与 x轴正向的夹角 r Φ = ωt +

:任意时刻 t, A与 x轴正向的夹角 r x = Acos(ωt +) : A 的末端点在 x轴上的投影坐标 ωA ω ω Aω2 AO

t ω

x

ω

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ωt =T / 4

x

t =0

x = Acosωt

A

t = 3T / 4 t =T / 2 O Ot = T / 4 t = 3T / 4 T

A

t

t =T / 2九、振幅、初相与初条件的关系 振幅、

x = Acos(ωt + ) ,V02

V = ωAsin( ωt +) t = 0 , x0 = Acos , V0 = ωAsin 2 0

V x0 或 tg = 0 A = x + 2 , cos = ωx0 A , ω

ω

x0 > 0, V0 > 0, ∈ΙV

A

ω x

A

x

x0 > 0, V0 < 0, ∈Ι

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ω x A x0 > 0, V0 > 0, ∈ΙV

ω

A

x0 > 0, V0 < 0, ∈Ι

x

A

x0 < 0, V0 > 0, ∈ΙΙΙ三要素中

ω

x

ω

A

xx0 < 0, V0 < 0, ∈ΙΙ

十、振动曲线

由振动系统决定， ω 由振动系统决定，与初条件无关

A、 由初条件决定

x

, 振动方程 ( A、ω、)0

Ax

cos = x0 / A

t

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0, 例：振幅0.12m,周期2s,t= 0, x0 = 0.06m,沿x轴正向运动 振幅0.12m,周期2s, 0.12m 2s 0.06m, 0.5s, 求：(1) (2)t= 0.5s,x,V,a :(1 且沿x轴负向运动到x=0 x=0, (3)从 x = 0.06m 且沿x轴负向运动到x=0, t = ? (4)物体在平衡位置且沿x轴负向运动开始计时 物体在平衡位置且沿x 求初相和运动方程 0.12m, 解：(1)A= 0.12m,T= 2s :(1 2π x = Acos( t +) = 0.12cos(πt +) (m) T 0, t= 0, x0 = 0.06 = 0.12cos ,cos =1 2

x0 > 0, V0 > 0, ∈ΙV, = π / 3或 π / 3 5 , π π x (2) = 0.12cos(πt )(m) ,V = 0.12π sin( πt ) 3 3 π 2 2 a = 0.12π cos(πt ) m / s

3 2 0.5s, 0.104(m), t= 0.5s,x= 0.104(m), = 0.19 m/ s, a = 1.03 m / s V

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(3)

r AO

(4)

ω

ω

r A

x

O

xπ2

5π Φ = + = 3 2 6

π

π

=

ω =π5 t = Φ/ ω = s 6

x = 0.12cos(πt +

π2

( ) m)

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例：由振动曲线写振动方程 (cm) x cm)

ω1

r A

O ωt = 4π / 3

1 2

t (S)

x

解： A = 2cm ,x = 2cos(ωt + )

x0 = 1 = 2cos , cos = 1/ 2 x0 < 0 , V0 < 0 , ∈ΙΙ , = 2π / 34π 2π ω = 4π / 3 , x = 2cos( t + )(cm) 3 3

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9jgi.html