初中数学基本知识及常用结论（新）

初中数学基本知识及常用结论

1．

?整数(注意：自然数包括零和正整数)?整数：正整数、零、负??有理数?22 ?分数：正分数、负分数，如：等实数??7???无理数：无限不循环小数：如2、?、0.1010010001???每两个1之间顺次多一个0?等?①最小自然数——零；②最大负整数——-1；③最小正整数——1；

无理数有三种：①与?有关的数；②开方开不尽的数；③有规律但不循环的数； 循环小数?分数

相反数、倒数、绝对值、负倒数的概念

2．二次根式：(a)2?a(a???；

ab?a?b(a?0，b?0)；

?a(a?0)a2?a??

??a(a?0)aa?(a?0,b?0) bb3．近似数：如：5.26×104精确到百位，它有3个有效数字；近似数5.26精确到百分位． 5.26与5.260的区别

4．用代数式表示：三个连续偶数2（n-1），2n，2（n+1）；三个连续奇数2n-1，2n+1，2n+3； 若一个两位数的十位数字为a，个位数字为b，则此两位数为10a+b． 5．幂的运算法则：a·a=a

， (am)n=amn，(ab)n=anbn， ananmnm-n

a÷a=a（a≠0）， ()=n(b?0).

bb0

-n

mnm+n

2?1?3?276．零指数和负整数指数：a=1(a≠0)，a=n（a≠0）． 例：2=，?． ??=??=

3288????a-47

7．科学记数法： 如：0.000102=1.02?10 ；-23010000=-2.301×10．

??单项式：系数与次数整式?8．有理式? ??多项式：几次几项式?，值为0.?分式：有意义，无意义-3

1?33（无理式——根式） 例：单项式?3323abc的系数是?，次数是6；多项式?1?2?x2?x?x3y是四次四项式． 449．分式：①当分子=0且分母≠0时，分式值=0；②当分母≠0时，分式有意义； ③当分母=0时，分式无意义．

x2?4例：对于分式，当x=-2时值为0；当x≠2时有意义；当x=2时无意义．

x?2【注意：解分式方程必须检验．】

?b?b2?4ac10．一元二次方程ax+bx+c=0(a≠0)的求根公式：x=（?=b2-4ac≥0）

2a2

韦达定理：x1?x2??

bc,x1?x2? aa1

（1）?=b2-4ac＞0?方程有两个不相等的实数根； （2）?=b2-4ac＝0?方程有两个相等的实数根； （3）?=b2-4ac＜0?方程无实数根； （4）?=b2-4ac≥0?方程有两实数根； （5）方程有实数根??=b2-4ac≥0 11．正比例函数：y=kx（k≠0）

当k＞0时，图象在第一、三象限，y随x的增大而增大； 当k＜0时，图象在第二、四象限，y随x的增大而减小． 12．反比例函数：y=

当k＞0时，图象在第一、三象限，且在每一象限内，y随着x的增大而减小； 当k＜0时，图象在第二、四象限，且在每一象限内，y随x的增大而增大． 13．一次函数：y=kx+b（k≠0）

当k＞0时，y随x的增大而增大；当k＜0时，y随x的增大而减小． 【注意1：k相等且b不等?两条直线平行】

k?1（或y=kx或xy=k）（k≠0） x

k＞0，b＞0 k＞0，b＜0 k＜0，b＞0 k＜0，b＜0

?y?a1x?b1【注意2：二元一次方程组?的解即为对应两直线的交点坐标．】

y?ax?b22?【注意3：若直线y?kx?b与x轴的夹角为?，则有tan??|k|】 【注意4：若点P1(x1,y1)和点P2(x2,y2)是直线y?kx?b上的任意不同的两点，则有：

y?yk?12】

x1?x2【注意5：若直线l1:y?k1x?b1与直线l2:y?k2x?b2①垂直：则k1?k2??1；②交于y轴

kk上同一点，则b1?b2；③交于x轴上同一点，则1?2；】

b1b2

14．二次函数：

（1）开口方向：当a＞0时，开口向上；当a＜0时，开口向下．

（2）顶点坐标：若抛物线为y?a?x?m??k，则顶点坐标为??m，k?；

2（3）对称轴： 直线x??m；

（4）最值：若a＞0，则当x??m时，y最小＝k；若a＜0，则当x??m时，y最大＝k； （5）增减性：（由开口方向和对称轴确定）

例：对于函数y?2?x?1??2 ，其图象的顶点坐标为（1，2），当x=1时，函数有

2 2

最小值2，且在对称轴直线x＝１的左侧，y随x的增大而减小． （或写成：当x≤1时，y随x的增大而减小）．

（6）平移： 看顶点 【注意：左（+）右（-），上（+）下（-）】

例：y??2?x?3??2 的图象可由y??2x2 先向右平移３个单位，再向上平移２

2个单位得到．反之：y??2x2 的图象可由y??2?x?3??2 先向左平移３个单位，

2再向下平移２个单位得到．（若题中是一般式，应先配方后再根据平移的法则解题） （7）与坐标轴的交点：

（ⅰ）与x轴的交点：当y＝0时， 若方程ax?bx?c?0的两根分别为x1、x2，

①b-4ac＞0?图象与x轴有两个交点 ②b2-4ac＝0?图象与x轴只有一个交点 ③b2-4ac＜0?图象与x轴无交点 ④b2-4ac≥0?图象与x轴有交点 ⑤图象与坐标轴只有2个交点? b2-4ac＝0或c?0

（ⅱ）与y轴的交点：当x＝0时，y＝c．与y轴有且只有一个交点（0，c） （8）当x为何值时，y＞0, y = 0，y＜0：

（9）函数值恒大于0，恒小于0．

①若函数y?ax?bx?c的值恒大于0， 则a＞0，??0， ②函若数y?ax2?bx?c的值恒小于0， 则a＜0，??0．

（10）根据抛物线图象判断a、b、c、b?4ac、a+b+c、a－b+c，2a+b，2a-b的符号：

a：开口方向； b：与a“左同右异”；

c：与y轴的交点； b?4ac： 与x轴的交点个数；

a+b+c： 当x＝1时y的值； a－b+c： 当x＝–1时y的值． 2a+b： 对称轴与1比较； 2a-b： 对称轴与-1比较． 例：如图，a＞0、 b＜0、 c＜0、 b?4ac＞0、 a+b+c＜0、 a－b+c＞0、 2a+b＞0、 2a-b＞0．

（11）几个常用的小结论：

2

① 顶点在x轴上?b-4ac=0 ②顶点在y轴上?b=0 ③顶点在原点?b=c=0 ④抛物线过原点?c=0

⑤若抛物线与x轴的交点横坐标为x1，x2，则对称轴为直线x?（12）①直线与抛物线交点坐标：（即为相应方程组的解）

（若通过图象求近似解，则要结合图象看）

2例：求直线y?2x?4与抛物线y?x?2x?1的交点坐标．

2222 则抛物线与2

x轴的交点坐标为（x1 ,0）、（x2，0）．

2x1?x2． 2 3

?x1??1?x2?5，? 2y?2y?14?1?2?y?x?2x?1 ∴直线y?2x?4与抛物线y?x2?2x?1的交点坐标为（-1，2），（5，14）．

解：由题意得：?，解之得:?②一元二次方程ax?bx?c?0(a≠0)的两个根即为抛物线y?ax2?bx?c(a≠0)与

x轴交点的横坐标，或抛物线y?ax2(a≠0)与直线y??bx?c交点的横坐标． （13）抛物线的对称与旋转问题：（关键是抓住顶点坐标及开口方向）

已知抛物线解析式为；y?a?x?m??k

22?y?2x?4① 若关于x轴对称，则新抛物线解析式为；y??a?x?m??k

2 ② 若关于y轴对称，则新抛物线解析式为：y?a?x?m??k

2② 若关于原点对称，则新抛物线解析式为：y??a?x?m??k

2④ 若绕顶点旋转180°，则新抛物线解析式为：y??a?x?m??k 15．n边形：①内角和是（n-2）×180°，外角和是360°．

2②从一个顶点出发有（n-3）条对角线；n边形一共有

n(n?3)条对角线． 216、平行四边形：㈠定义：两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。㈡性质：①两组对边分别平行；②两组对边分别相等；③对角相等，邻角互补；④对角线互相平分；⑤是中心对称图形，不一定是轴对称图形。㈢判定：①两组对边分别平行的四边形是平行四边形；②两组对边分别相等的四边形是平行四边形；③一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；④对角线互相平分的四边形是平行四边形；

17、矩形：㈠定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。㈡性质：①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等。㈢判定：①有一个角是直角的平行四边形是矩形；②有三个角是直角的四边形是矩形；③对角线相等的平行四边形是矩形。

18、菱形：㈠定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。㈡性质：①菱形的四条边都相等；②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角。㈢判定；①一组邻边相等的平行四边形是菱形；②四条边相等的四边形是菱形；③对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 19、正方形：㈠定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。 ㈡性质：①正方形的四个角都是直角，四条边相等；②正方形的对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角。㈢判定：①有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形；③有一个角是直角的菱形是正方形。 ④对角线互相垂直的矩形是正方形；⑤对角线相等的菱形是正方形。 20．三角形及平行四边形面积公式：

4

2S；②?EAF??；③AB?AF?AE?AD； l32【注意：边长为a的正三角形面积等于】 a，菱形面积等于两对角线长乘积的一半．

4①r?21．锐角三角函数

①概念： 如图，在直角三角形中

正弦：sin??对边a邻边b对边a?；余弦：cos???；正切：tan???； 斜边c斜边c邻边b

②当0＜?＜90o时，

正弦、正切函数值随角度的增大而增大．如：sin50o＞sin49o 余弦函数值随角度的增大而减小．如：cos50o＜cos49o ③特殊角三角函数值．

sin?；若?是锐角，则cos?sin??cos??1；若????90?，则sin??cos?，tan??tan??1

22④三角函数有关性质：sin??cos??1 ；tan??22．①坡度：

i=tan??h

l

②仰角与俯角：都是视线与水平线的夹角．（如右上图所示） 23．比例：①比例的基本性质：

ac??ad?bc bdab2②比例中项：若?（或b?ac），则称b为a、c的比例中项．

bc③黄金分割：如图，若P是线段AB（长为l）的黄金分割点，PA＞PB，则：PA=PB·AB，

2

5?1l， 23?5较短线段PB=l 【注：一条线段有两个黄金分割点】

2其中较长线段PA=

5

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