七年级下册数学三角形相关结论总结与证明

初一下学期三角形外角相关结论（第七章）

在学习第七章和第十二章的内容时，请各位同学务必习惯使用几何语言，清

晰并有条理地叙述解答或证明过程。本文主要以一些常见结论为基础，归纳并练习。内容不涵盖全部，仅对于错误率和出现频率高的题型（参考题目见标注页码）给出相应的结论及其证明过程。三角形问题中，“整体法”的运用较多，即通过内角和用一个角表示其余两角之和，再进行整体代换。

一、三角形垂线与角平分线夹角与其它两个内角的关系

在?ABC中，AE?BC,AD平分?BAC，请写出?DAE与?B,?C的关系式，并给出证明过程. 证明：

?AD平分?BAC??BAD??DAC??AE?BC??BAE?90???B1?BAC2

1??DAE??BAE??BAD?(90???B)-（180?-?B??C）21 ?(?C??B)

2相关习题：《课时作业》P16.T6

二、三角形内外角平分线的三个重要结论

1、两个内角平分线的情形 如图，?ABC两内角?ABC与?ACB的平分线交于点I． 请你写出?BIC与?I的数量关系，并证明． 1 ?BIC与?I的数量关系式：?BIC?90???A 2证明： 在?ABC中，?ABC??ACB?180?-?A ?BI,CI分别平分?ABC，?ACB

11??IBC??ABC,?ICB??ACB221??IBC??ICB?(?ABC??ACB)21(180???A)2 ?A?90??2?IBAC2、一个内角一个外角平分线的情形 如图，?ABC的内角?ABC的平分线与?ABC的外角?ACE的平分线交于点D．请你写出?BDC与?A的数量关系，并证明． 1 ?BDC与?A的数量关系式： ?BDC??A A2证明: ??DCE是?DCB的一个外角??DCE??DBC??DID?BD,CD分别平分?ABC，?ACE ??DCE?11 ?ACE?（?A??ABC）22由上述两式相加得?DBC??D?即?D?1?A211?A??ABC22BCE 3、两个外角平分线的情形 如图，?ABC的两外角?CBD与?BCE的平分线交于点O，请你直接写出?BOC与?A的数量关系，并证明. 1 ?BDC与?A的数量关系式：?BOC?90???A 2证明： ??DBC,?ECB均是?ABC的外角??DBC??A??ACB,?ECB??A??ABC?BO,OC是?ABC外角的平分线11?DBC，?OCB??BCE221??OBC??OCB?（?DBC??BCE）2??OBC? BIACDE1?(?A??ACB??A??ABC)21 ?(180???A) 2?A?90??2??O?180??(?OBC??OCB)?180??(90??O?A?A)?90?? 22相关习题：课本P42.T20，T21；《课时作业》P17.T13 P29.T21；周末作业（二）T15,T17,T25 三、三角形折叠问题

1、一般求值的折叠问题

（1）如图，把一张长方形纸条ABCD沿EF折叠，若?1?58?，则

?AEG? ．

解： A G E D 1 F ??1?58?,AD平行于BC??DEF??1?58???DEF??DEF?58???DEG?180???D'EG?64? ' B C D?C? （2）将矩形ABCD沿折线EF折叠后点B恰好落在CD边上的点H处，且∠CHE＝40 o，则∠EFB＝___________.[ 解： ??C??B?90?,?CHE?40???HEC?50? ??HEF??BEF,?HEF??BEF??HEC?180???HEF??BEF?65? DAHCEBF注意：解决此类问题的关键是折叠的部分与折叠前是完全一致的，这里的一致包括角相等、边相等，在此基础上结合其他条件解决问题。 2、任意三角形的折叠问题 （1）点A落在?ABC内部的情形 已知，如图，把△ABC纸片沿OE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，证明：2∠A=∠1+∠2. 证明： 连接AA'则?1、?2是?EAA'、?DAA'的外角??1??EAA'??EA'A ?2??DAA'??DA'A??EAA'??DAA'??A?EA'A??DA'A??A'??1??2??A??A'?2?A (2)点A落在?ABC边上的情形

如图?ABC是一个三角形的纸片，点D、E分别是?ABC边上的两点,若沿直线DE折叠，证明?B'DA与?A的关系是?B'DA?2?A.

证明：

由图可知，?BDA'是?ADA'的外角 ??BDA'??DAA'??DA'A

即?BDA'?2?A

(3)点A落在?ABC外部的情形

如果把?ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED的外部点A'的位置，如图，将?BDA'记为?1，?A'EC记为?2，此时?A与?1,?2之间存在什么样的关系？证明你的结论.

证明：

将A'D与CE的交点记为F??1是?ADF的外角?AFD是?EFA'的外角 ??1??AFD??A?AFD??A'??2??1??A'??2??A即?1-?2?2?A

注意：

1.情形（3）的A点若是落在上部，可类比证明得到?2-?1?2?A

2.在证明三角形问题中，尤其是对于没有给出确切值的问题，巧妙地利用外角的结论是解决问题的关键.

3.情形（3）中的证明方法不止一种，可用三角形内角和证明，但是代换过程比较复杂，不推荐使用.

对于本章中“蹄形”（课时作业25页第23题）与“铅笔形”、“镖形”（周末作业（二）T21）、“复杂图形内角和”（课时作业第18页第5（4）题，第20页第4题）“面积分割”（第七章评价测试卷第16题）等问题在此不作详细阐述，但作出以下要求：

1、“蹄形”问题掌握三种解法：截线法、平行线法、任意截线法 2、“镖形”问题记住结论，学会证明方法：延长线法

3、复杂图形内角和，主要思路是用外角去转化，涉及对顶三角形的一般结论?A??B??C??D,详参29期报纸第2版对顶三角形专项讲解. 4、“面积分割”问题掌握将一个三角形分成面积相等的两部分、三部分、四部分，要求会证明分割成面积相等的三部分.

练习题

1.?ABC中，BP和CP分别是?ABC和?ACB的角平分线交与点P， （1）如果?A?60?,求?BPC的度数。 (2) 如果?A?60?，求?BPC的度数。

2.如图，试求：?1??2的度数。

3.如图，?A?65?,?B?75?，将纸片的一角折叠，使点C落在?ABC内，若

?1?20?，则?2的度数为多少？．

A

1

C

2 B

4.如图，BD为?ABC的角平分线，CD为?ABC的外角?ACE的平分线，它们相交于点D，试探索?BDC与?A之间的数量关系．

5.如图，D是?ABC的?C的外角平分线与BA 的延长线的交点，求证：?BAC??B

DABCE6.如图，BE是?ABD的平分线，CF是?ACD的平分线，BE,CF相交于点G，

?BDC?160?，?BGC?120?。求?A的度数，并说明理由。

AEF

G

D

C B

7.如图，在?ABC中，?C?90?，BE平分?ABC，AF平分外角?BAD，BE与FA交与点E。求?E的度数。

8.（1）如图，?A??B??C??D??E?______________； （2）如图，?A??B??C??D??E?_____________； （3）如图，?A??B??C??D??E??F?______________； （4）如图，?A??B??C??D??E??F?_____________；

A

EEFFAEAGEDBCDAB

BCBCCDD

6.如图，BE是?ABD的平分线，CF是?ACD的平分线，BE,CF相交于点G，

?BDC?160?，?BGC?120?。求?A的度数，并说明理由。

AEF

G

D

C B

7.如图，在?ABC中，?C?90?，BE平分?ABC，AF平分外角?BAD，BE与FA交与点E。求?E的度数。

8.（1）如图，?A??B??C??D??E?______________； （2）如图，?A??B??C??D??E?_____________； （3）如图，?A??B??C??D??E??F?______________； （4）如图，?A??B??C??D??E??F?_____________；

A

EEFFAEAGEDBCDAB

BCBCCDD

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