重庆名校2013级中考第26题专题训练与解答(2)

重庆名校2013级中考26题专题训练与解答（2）

一、已知：抛物线y=ax+bx+c（a≠0）的对称轴为x=﹣1，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A（﹣3，0），C（0，﹣2） （1）求这条抛物线的函数表达式；

（2）已知在对称轴上存在一点P，使得△PBC的周长最小．请求出点P的坐标； （3）若点D是线段OC上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作DE∥PC交x轴于点E．连接PD、PE．设CD的长为m，△PDE的面积为S．求S与m之间的函数关系式．试说明S是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

2

解答：

：解：（1）由题意得，

解得，

∴此抛物线的解析式为y=x+x﹣2．

（2）连接AC、BC． 因为BC的长度一定，

所以△PBC周长最小，就是使PC+PB最小．

B点关于对称轴的对称点是A点，AC与对称轴x=﹣1的交点即为所求的点P． 设直线AC的表达式为y=kx+b， 则

，

2

解得，

∴此直线的表达式为y=﹣x﹣2， 把x=﹣1代入得y=﹣ ∴P点的坐标为（﹣1，﹣）．

（3）S存在最大值， 理由：∵DE∥PC，即DE∥AC． ∴△OED∽△OAC． ∴

，即

，

∴OE=3﹣m，OA=3，AE=m， ∴S=S△OAC﹣S△OED﹣S△AEP﹣S△PCD

=×3×2﹣×（3﹣m）×（2﹣m）﹣×m×﹣×m×1 =﹣m+m=﹣（m﹣1）+ ∵

2

2

∴当m=1时，S最大=．

二、如图1，在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AO=，∠ABO=30°．动点P在线段AB上从点A向终点B以每秒个单位的速度运动，设运动时间为t秒．在直线OB 上取两点M、N作等边△PMN．

（1）求当等边△PMN的顶点M运动到与点O重合时t的值． （2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示）；

（3）如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB 内部作如图2所示的矩形ODCE，点C在线

段AB上．设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出当0≤t≤2秒时S与t的函数关系式，并求出S的最大值．

（4）在（3）中，设PN与EC的交点为R，是否存在点R，使△ODR是等腰三角形？若存在，求出对应的t的值；若不存在，请说明理由．

解答：

解：（1）∵△PMN是等边三角形， ∴∠P1M1N1=60°； ∵在Rt△AOB中，

∠AOB=90°，∠ABO=30°， ∴∠AP10=90°，

在Rt△AP1O中，AP1=AO=2∴t=

（2）∵△BPH∽△BAO， ∴

，

，即t=2；

，

∴PH=∵cos30°=

，

，

∴PN===8﹣t，

（3）当0≤t≤1时，S1=S四边形EONF， 作GH⊥OB于H， ∵∠GNH=60°，GH=2∴ON=OB﹣NB，

∴ON=12﹣（8﹣t）=4+t， ∴OH=4+t﹣2=2+t，

，

∴HN=2，∵PN=NB=8﹣t，

S1

=

×2=2∵2

t+6

，

＞0，

，

（2+t+4+t）

∴S随t增大而增大， 当t=1时，S最大=8作GH⊥OB于H， ∵AP2=∴AF=2∴OF=4∴EF=2=2

t t， ﹣

2﹣（

4

，

t， ﹣

t）

当1＜t＜2时，S2=S五边形IFONG，

t﹣2

∴EI=2t﹣2，

∴S2=S梯形EONG﹣S△EFI =2=﹣2∵﹣

2

t+6t+6

2

﹣（2t﹣2）×（2t+4

，

t﹣2）

＜0，

=时

∴当t=﹣

S2最大=当t=2时， MP=MN=6，

，

N与D重合，

S3=S梯形IMNG，

==8

×36﹣，

×4，

∴，

S最大=

，

（4）∵△ODH是等腰三角形， ①当D为顶点，OD=OR1=6时， OR1=6﹣2

＞2（不合题意舍去），

当D为顶点时，R1不存在，

此时R1不存在，使△ODR是等腰三角形， ②当R2为顶点，OR2=DR2时， ER2=P2R2=3，CP2=3∴AP2=4t2=

﹣3

=， ，

=1，

③当O为等腰△的顶点时， CR3=6﹣2CP3=AP3=4=6∴t3=

， ×﹣（6﹣

2

，

=2

﹣2．

×2=6﹣

6

﹣6

，

），

三、如图（1），将Rt△AOB放置在平面直角坐标系xOy中，∠A=90°，∠AOB=60°，∠A=90°，∠AOB=60°，，斜边OB在x轴的正半轴上，点A在第一象限，∠AOB的平分线OC交AB于C．动点P从点B出发沿折线BC﹣CO以每秒1个单位长度的速度向终点O运动，运动时间为t秒，同时动点Q从点C出发沿折线CO﹣Oy以相同的速度运动，当点P到达点O时P、Q同时停止运动． （1）OC、BC的长；

（2）设△CPQ的面积为S，求S与t的函数关系式； （3）当P在OC上、Q在y轴上运动时，如图（2），设PQ与OA交于点M，当t为何值时，△OPM为等腰三角形？求出所有满足条件的t值．

解答：

解：（1）∵∠AOB=60°， ∴在Rt△AOB中，

，

∵OC平分∠AOB， ∴∠AOC=∠COB=30°， ∴

，

∵∠COB=∠CBO=30°， ∴BC=OC=2；

（2）当0＜t≤2时，当2≤t＜4时

==

， ，

综上：；

（3）（i）当MO=MP时，∠MOP=∠MPO=30° ∴PQ⊥OQ，

∴OP=2OQ， ∴4﹣t=2（t﹣2）， ∴

；

（ii）当OP=OM时，过P作PN⊥OQ于N， 则∠QPN=45°， ∴PN=QN， ∴

（iii）当OP=PM时，PQ∥y，不可能． 综上，当

或

时，△OPM为等腰三角形．

，解得

四、如图1，已知点

AB上从点A向点B以每秒作等边△PMN．

，点B在x轴正半轴上，且∠ABO=30°，动点P在线段个单位的速度运动，设运动时间为t秒，在x轴上取两点M、N

（1）求直线AB的解析式；

（2）求等边△PMN的边长（用t的代数式表示），并求出当顶点M运动到与原点O重合时t的值；

（3）如图2，如果取OB的中点D，以OD为边在Rt△AOB内部作矩形ODCE，点C在线段AB上，从点P开始运动到点M与原点O重合这一过程中，设等边△PMN和矩形ODCE重叠部分的面积为S，请求出S与t的函数关系式和相应的自变量t的取值范围．

解答：

解：（1）∵A（0，4∴OA=4

）

在Rt△AOB中，∠AOB=90° tan∠ABO=

即tan30°=∴BO=12 ∴B（12，0）

设直线AB的解析式为：y=kx+b，由题意得：

解得：

∴直线AB的解析式为：y=﹣

（2）∵△PMN为等边三角形 ∴∠PMO=60° ∵∠ABO=30° ∴∠PMO+∠ABO=90° ∴∠MPB=90°

x+4

在Rt△AOB中，∠AOB=90°，∠ABO=30° ∴AB=2AO=8∴BP=AB﹣AP=8tan∠ABO=即tan30°=∴MP=8﹣t

当M与O重合时，在Rt△PBO中，∠ABO=30°，∠BPO=90° ∴MP=OB=6，即8﹣t=6 ∴t=2

（3）M与O点重合时PM=MN=6，此时N点与D点重合，如图2，

﹣

t，在Rt△MPB中，∠MPB=90°

当PM过点E时，∠PMB=60°，1=30°，∴∠1=∠2=30°∴AP=AE=

，此时t=1

当0≤t≤1时，设PN交EC于F，过F作FG⊥OB于G，FG=OE=2∵∠PNM=60°，∴GN=2 ∵PM=8﹣t，∴BM=2PM=16﹣2t ∴MO=BM﹣BO=4﹣2t ON=MN﹣MO=t+4 EF=OG=ON﹣GN=t+2 ∴S==2

t+6

MO=4

﹣

2

t

当0＜t≤2时设PM、PN交EC于H、F，S=S梯形EONF﹣S△EHI． 由（2）知MO=4﹣2t，IO=∴EI=EO﹣IO=2EH=

EI=2t﹣2

t﹣2

∴S△EHI==∴S==﹣

五、已知，如图1，抛物线y=a+bx过点A（6，3），且对称轴为直线

2

．点B为直线OA

下方的抛物线上一动点，点B的横坐标为m． （1）求该抛物线的解析式；

（2）若△OAB的面积为S．求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值；

（3）如图2，过点B作直线BC∥y轴，交线段OA于点C，在抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点B的坐标；若不存在，请说明理由．

解答：

解：（1）由题知：解之，得，

∴该抛物线的解析式为：

．

（2）过点B作BH∥y轴，交OA于点H， 由题知直线OA为：∴设点∴S=S△OBH+S△ABH==

∴当m=3时，

；

，

， ，点

，∴

，

（3）存在，点B为

理由如下：设在抛物线的对称轴过点D作DQ⊥BC于点Q， 则由（2）有点

，点B

，

或

上存在点D满足题意，

，

∵△BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形 ∴若

，即是：

，解之：

且（0＜m＜6）， （舍去）

，

，

时

，），

，∴点B（

1+

，

若当

，解之：

时

（舍去），

，

∴

综上，满足条件的点B为（1+

，

）或（5﹣

，

）．

，

六、如图，已知抛物线与x轴交于A，B两点，A在B的左侧，A坐标为（﹣1，0）与y轴交

于点C（0，3）△ABC的面积为6． （1）求抛物线的解析式；

（2）抛物线的对称轴与直线BC相交于点M，点N为x轴上一点，当以M，N，B为顶点的三角形与△ABC相似时，请你求出BN的长度； （3）设抛物线的顶点为D在线段BC上方的抛物线上是否存在点P使得△PDC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

解答：

解：（1）∵C（0，3）， ∴OC=3， 又∵S△ABC=∴AB=4；

∵A为（﹣1，0）， ∴B为（3，0），

设抛物线解析式y=a（x+1）（x﹣3） 将C（0，3）代入求得a=﹣1， ∴y=﹣x+2x+3．

（2）抛物线的对称轴为直线x=﹣

=1，

2

，

由B（3，0），C（0，3），得直线BC解析式为：y=﹣x+3； ∵对称轴x=1与直线BC：y=﹣x+3相交于点M，

∴M为（1，2）；

可直接设BN的长为未知数． 设N（t，0），当△MNB∽△ACB时， ∴即

=

即t=0，

=

∵△MNB∽△CAB时，∴得t=，

所以BN的长为3或．

（3）存在．由y=﹣x+2x+3得，抛物线的对称轴为直线x=﹣①当PD=PC时，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理， 得x+（3﹣y）=（x﹣1）+（4﹣y）即y=4﹣x， 又P点（x，y）在抛物线上，4﹣x=﹣x+2x+3， 即x﹣3x+1=0， 解得x=

；

2

2

2

2

2

2

2

，顶点D为（1，4）；

∴y=4﹣x=或即点P坐标为（）或（）；

②当CD=PD时，即P，C关于对称轴对称， 此时P的纵坐标为3，即3=﹣x+2x+3， 解得x1=2，x2=0（舍去）， ∴P为（2，3）；

③当PC=CD时，P只能在C点左边的抛物线上，所以不考虑； ∴符合条件的点P坐标为（

），（

）或（2，3）．

2

七、如图1，在平面直角坐标系中有一个Rt△OAC，点A（3，4），点C（3，0）将其沿直线AC翻折，翻折后图形为△BAC．动点P从点O出发，沿折线0 A B的方向以每秒2个单位的速度向B运动，同时动点Q从点B出发，在线段BO上以每秒1个单位的速度向点O运动，当其中一个点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动的时间为t（秒）．

（1）设△OPQ的面积为S，求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； （2）如图2，固定△OAC，将△ACB绕点C逆时针旋转，旋转后得到的三角形为△A′CB′设A′B′与AC交于点D当∠BCB′=∠CAB时，求线段CD的长；

（3）如图3，在△ACB绕点C逆时针旋转的过程中，若设A′C所在直线与OA所在直线的交点为E，是否存在点E使△ACE为等腰三角形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理

由

．

解答：

解：（1）由题意知：OA=AB=5，OC=BC=3，OB=6；

P从O→A→B，所用的总时间为：（5+5）÷2=5s；Q从B→O所用的总时间为：6÷1=6； 因此t的取值范围为：0≤t≤5； ①当0≤t≤2.5时，点P在线段OA上； OP=2t，OQ=OB﹣BQ=6﹣t； ∴S=×2t××（6﹣t）=﹣t+

2

t；

②当2.5≤t≤5时，点P在线段AB上； OP=2t，BP=10﹣2t，OQ=6﹣t；

∴S=×（10﹣2t）××（6﹣t）

=t﹣

2

t+24；

综上可知：S=．

（2）∵∠BCB′=∠CAB，

∴∠DCB′=∠ABC=90°﹣∠CAB=90°﹣∠BCB′， 由旋转的性质知：∠ABC=∠B′，即∠DCB′=∠B′； ∴∠A′=∠A′CD=90°﹣∠DCB′=90°﹣∠B′， ∴A′D=DB′=CD，即CD=

A′B′=AB=2.5．

（3）由A（3，4），可得直线OA：y=x； 设点E（x，x），已知A（3，4），C（3，0）；

∴AE=（x﹣3）+（x﹣4），CE=（x﹣3）+（x），AC=4； ①当AE=CE时，AE=CE，则有：

（x﹣3）+（x﹣4）=（x﹣3）+（x），解得x=， ∴E1（，2）；

②当AE=AC时，AE=AC=16，则有：

（x﹣3）+（x﹣4）=16，整理得：25x﹣150x+81=0， 解得：x=，x=

；

，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

∴E2（，），E3（

2

）；

③当CE=AC时，CE=AC=16，则有：

（x﹣3）+（x）=16，整理得：25x﹣54x﹣63=0， 解得：x=﹣∴E4（﹣

，x=3（舍去）； ，﹣

）；

，

），E4（﹣

，﹣

）．

2

2

2

综上可知：存在符合条件的E点：E1（，2），E2（，），E3（

八、已知：二次函数y=ax﹣2x+c的图象与x于A、B，A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴是直线x=1，平移一个单位后经过坐标原点O （1）求这个二次函数的解析式； （2）直线

交y轴于D点，E为抛物线顶点．若∠DBC=α，∠CBE=β，求α﹣β

2

的值；

（3）在（2）问的前提下，P为抛物线对称轴上一点，且满足PA=PC，在y轴右侧的抛物线

2

上是否存在点M，使得△BDM的面积等于PA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

解答：

解：（1）由题意，A（﹣1，0）， ∵对称轴是直线x=1， ∴B（3，0）；（1分）

把A（﹣1，0），B（3，0）分别代入y=ax﹣2x+c 得解得

．

2

2

；（2分）

∴这个二次函数的解析式为y=x﹣2x﹣3．（3分）

（2）∵直线∴OD=1，

由y=x﹣2x﹣3=（x﹣1）﹣4得E（1，﹣4）； 连接CE，过E作EF⊥y轴于F（如图1），则EF=1， ∴OC=OB=3，CF=1=EF， ∴∠OBC=∠OCB=∠45°， BC=

=

，

；

∴∠BCE=90°=∠BOD，

，

，

2

2

与y轴交于D（0，1），

∴，

∴△BOD∽△BCE，（6分） ∴∠CBE=∠DBO，

∴α﹣β=∠DBC﹣∠CBE=∠DBC﹣∠DBO=∠OBC=45°．（7分）

（3）设P（1，n），∵PA=PC，

∴PA=PC，即（1+1）+（n﹣0）=（1+0）+（n+3） 解得n=﹣1，

∴PA=（1+1）+（﹣1﹣0）=5， ∴S△EDW=PA=5；（8分）

法一：设存在符合条件的点M（m，m﹣2m﹣3），则m＞0， ①当M在直线BD上侧时，连接OM（如图1）， 则S△BDM=S△OBM+S△ODM﹣S△BOD=5， 即

，

整理，得3m﹣5m﹣22=0， 解得m1=﹣2（舍去），把∴

代入y=m﹣2m﹣3得

；（10分）

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

，

，

；

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，连接OM1（如图1）， 则S△BDM1=S△BOD+S△BOM1﹣S△DOM1=5， 即

，

，

整理，得3m﹣5m﹣2=0， 解得

\

22

，（舍去）

把m=2代入y=m﹣2m﹣3得y=﹣3， ∴M1（2，﹣3）；

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为

法二：设存在符合条件的点M（m，m﹣2m﹣3），则m＞0， ①当M在直线BD上侧时，过M作MG∥y轴， 交DB于G；（如图2）

设D、B到MG距离分别为h1，h2，则 S△BDM=S△DMG﹣S△BMG=5， 即

，

，

2

或（2，﹣3）．（12分）

，

整理，得3m﹣5m﹣22=0； 解得m1=﹣2（舍去），把得∴

代入y=m﹣2m﹣3 ；

．（10分）

2

2

；

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1G1∥y轴，交DB于G1（如图2）

设D、B到M1G1距离分别为h1、h2，则S△BDM=S△DM1G1+S△BM1G1=5， 即

，

，

，

整理，得3m﹣5m﹣2=0， 解得

22

，（舍去）

把m=2代入y=m﹣2m﹣3得y=﹣3， ∴M1（2，﹣3）；

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为

或（2，﹣3）．（12分）

法三：①当M在直线BD上侧时，过M作MH∥BD，交y轴于H，连接BH；（如图3） 则S△DHB=S△BDM=5， 即∴DH=∴

，

；

；

，

，

∴直线MH解析式为

联立

得或；

∵M在y轴右侧， ∴M坐标为

．（10分）

②当M在直线BD下侧时，不妨叫M1，过M1作M1H1∥BD，交y轴于H1， 连接BH1（如图3），同理可得∴

∴直线M1H1解析式为

，

，

，

联立

得或；

∵M1在y轴右侧， ∴M1坐标为（2，﹣3）

综上所述，存在符合条件的点M，其坐标为

或（2，﹣3）．（12分）

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