运筹学课后习题答案 - - 北邮出版社

运筹学作业标准答案 (教师用)

No.2 两阶段法和大M法 1、用两阶段法解下面问题：

minf(x)?4x1?6x2解：将原问题变为第一阶段的标准型

maxf(x)?0?x1?0?x2?x5?x61

?x1?2x2?80?s.t. ?3x1?x2?75?x,x?0?12第一阶段单纯形表 Cj ? CB XB b x5 80 ?1 x6 75 ?1 OBJ= ?155 zj ? cj - zj Cj ? CB XB b x5 55 ?1 0 x1 25 OBJ= ?55 zj ? cj - zj Cj ? CB XB b 0 x2 33 0 x1 14 OBJ= 0 zj ? cj - zj 第二阶段 CB XB x2 ?6 x1 ?4 OBJ= ?254 Cj ? b 33 14 zj ? cj - zj

?x1?2x2?x3?x5?80?s.t. ?3x1?x2?x4?x6?75?x,x,x,x,x,x?0?1234560 x1 1 (3) ?4 4 0 x1 0 1 0 0 0 x1 0 1 0 0 ?4 x1 0 1 ?4 0 0 x2 2 1 ?3 3 0 x2 (5/3) 1/3 ?5/3 5/3 0 x2 1 0 0 0 ?6 x2 1 0 ?6 0 0 x3 ?1 0 1 ?1 0 x3 ?1 0 1 ?1 0 x3 ?3/5 1/5 0 0 0 x4 0 ?1 1 ?1 0 x4 1/3 ?1/3 ?1/3 1/3 0 x4 1/5 ?2/5 0 0 ?1 x5 1 0 ?1 0 ?1 x5 1 0 ?1 0 ?1 x5 3/5 ?1/5 0 ?1 ?1 x6 0 1 ?1 0 ?1 x6 ?1/3 1/3 1/3 ?4/3 ?1 x6 ?1/5 2/5 0 ?1

bi/aij* 80 75/3* bi/aij* 55?3/5* 25?3 bi/aij* bi/aij* 0 0 x3 x4 1/5 ?3/5 1/5 ?2/5 14/5 2/5 ?14/5 ?2/5 答：最优解为x1 =14，x2 =33，目标函数值为254。 No.3 线性规划的对偶问题 3、用对偶单纯形法求下面问题

minf(x)?4x1?6x2?x1?2x2?80?s.t. ?3x1?x2?75??x1,x2?0

运筹学作业标准答案 (教师用)

解： CB 0 0 OBJ= CB 6 0 OBJ= CB 6 4 OBJ= XB x3 x4 0 XB x2 x4 240 XB x2 x1 254 Cj ? b ?80 ?75 zj ? zj - cj Cj ? b 40 ?35 zj ? zj - cj Cj ? b 33 14 zj ? zj - cj 4 x1 ?1 ?3 0 ?4 4 x1 1/2 (?5/2) 3 ?1 4 x1 0 1 4 0 6 x2 (?2) ?1 0 ?6 6 x2 1 0 6 0 6 x2 1 0 6 0 0 x3 1 0 0 0 0 x3 ?1/2 ?1/2 ?3 ?3 0 x3 ?3/5 1/5 ?14/5 ?14/5 0 x4 0 1 0 0 0 x4 0 1 0 0 0 x4 1/5 ?2/5 ?2/5 ?2/5 min{( zj - cj)/ai*j} ai*j<0 {4,3*} {2/5*,6} 2

答：最优解为x1 =14，x2 =33，目标函数值为254。 No.5 运输问题

1、分别用西北角法、最低费用法和运费差额法，求下面运输问题(见表)的初

始可行解，并计算其目标函数。(可不写步骤)

2、以上题中最低费用法所得的解为初始基础可性解，用表上作业法（踏石

法）求出最优解。（要求列出每一步的运费矩阵和基础可行解矩阵） 销地 产地 A1 A2 A3 A4 解：(1) 20 5 B1 6 10 6 2 B2 9 6 5 13 B3 4 12 9 6 B4 8 8 20 14 B5 5 7 9 3 产量 20 30 40 60 西北角法 15 10 25 15 30 15 x14 30 30 35 45 30 OBJ＝1415 25 销量 (2) 最低费用法 20 运筹学作业标准答案 (教师用) 25 15 10 5 15 30 OBJ＝955 ?

(2) 差额法 15 25 OBJ＝850

迭代后的分配表{xij } 5 15 30 15 25 25 5 OBJ＝850

运费表 (检验数zij |wij ) 30 0 6 0 9 1 5 4 8 0 10 0 6 4 12 1 7 8 5 6 5 9 13 20 6 9 2 13 6 10 14 3 2 0 4 ?4 ?4 ?3 4

4 9 6

运费表 (检验数zij |wij ) 5 25 5 15 30 30 0 6 0 9 4 (15) 8 1 5 4 -7 10 -7 6 -3 12 -6 7 ?3 8 5 6 2 ?4 5 2 13 ?4 9 6 0 6 9 20 17 14 3 11 ?3 9 6

3 答：x13=5, x14=15, x24=30, x32=15, x33=25,

x41=25, x43=5, x45=30, OBJ=850。

习题课1

1、某工厂生产用2单位A和1单位B混合而成的成品出售，市场无限制。A和B可以在该工厂的3个车间中的任何车间生产，生产每单位的A和B在各车间消耗的工时如下表。 工时消耗 车间1 A 2 B 1 100 可用工时 车间2 1 2 120 车间3 1.5 1.5 100 试建立使成品数量最大的线性规划模型。 解：设车间1生产x1A单位A、生产x1B单位B；

设车间2生产x2A单位A、生产x2B单位B； 设车间3生产x3A单位A、生产x3B单位B； 则有生产安排最优化的模型如下：

运筹学作业标准答案 (教师用)

maxf(x)?x1B?x2B?x3B2x1A?x1B?100??x2A?2x2B?120? ?s.t.?1.5x3A?1.5x3B?100?x1A?x2A?x3A?2(x1B?x2B?x3B)??xiA,xiB?0,i?1,2,3?这是一个可分解的线性规划，这类问题就容易出现退化现象。

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2、某饮料工厂按照一定的配方将A、B、C三种原料配成三种饮料出售。配方规定了这三种饮料中A和C的极限成分，具体见下表，

饮料品种 甲 (1) 乙 (2) 丙 (3) 规 格 A≥60％，C≤20％ A≥15％，C≤60％ C≤50％ 每升售价(元) 6.80 5.70 4.50 需求量 1500 3000 无限制 A、B、C三种原料每月的供应量和每升的价格如下表。 供应量(升/月) 价格(元/升) A 2000 7.00 B 2500 5.00 C 1200 4.00 饮料甲、乙、丙分别由不同比例的A、B、C调兑而成，设调兑后不同成分的体积不变，求最大收益的生产方案。

解：设x1A为饮料甲中A的总含量 (升)，设x2A为饮料乙中A的总含量 (升)

设x1B为饮料甲中B的总含量 (升)，设x2B为饮料乙中B的总含量 (升) 设x1C为饮料甲中C的总含量 (升)，设x2C为饮料乙中C的总含量 (升) 设x3A为饮料丙中A的总含量 (升)， 设x3B为饮料丙中B的总含量 (升) 设x3C为饮料丙中C的总含量 (升) 则有模型如下：

运筹学作业标准答案 (教师用)

maxf(x)?6.8(x1A?x1B?x1C)?5.7(x2A?x2B?x2C)?4.5(x3A?x3B?x3C)?7.0(x1A?x2A?x3A)?5.0(x1B?x2B?x3B)?4.0(x1C?x2C?x3C)??0.2x1A?1.8x1B?2.8x1C?1.3x2A?0.7x2B?1.7x2C?2.5x3A?0.5x3B?0.5x3Cx1A?x1B?x1C??x2A?x2B?x2C??x1A?x2A?x3A?x1B?x2B?x3B??x1C?x2C?x3C?s.t.??0.4x1A?0.6x1B?0.6x1C??0.2x1A?0.2x1B?0.8x1C???0.85x2A?0.15x2B?0.15x2C??0.6x?0.6x?0.4x2A2B2C???0.5x3A?0.5x3B?0.5x3C?xiA,xiB,xiC?习题课2

1．用连续型动态规划求解下题

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?1500?3000?2000?2500?1200?0?0?0?0?0?0, i?1,2,3需求约束资源约束

甲配方约束乙配方约束丙配方约束minf(x)?x1?x2?x3?xxx?27s.t.?123?x1,x2,x3?0

解：设分配顺序为x1, x2, x3，三阶段与分配顺序一致，逆向运算。

由约束条件有状态转移方程：Sk=Sk-1/xk-1

??S3， 第三阶段：边界条件为S4=1，所以有 x3?f3(S3,x3)?f3?(S3)?S3

第二阶段：S3= S2/x2，f2(S2,x2)?x2?f3?(S3)?x2?S2/x2

df2S?1?2?0,2dx2x2?x2?S2,f2?(S2)?2S2，

第一阶段：S2= S1/x1=27/x1，

f1(S1,x1)?x1?f2?(S2)?x1?2S2?x1?227/x1

df1?3/23/2??1?27x1?0, x1?27,x1?3,dx1答：最优解为x1=3, x2=3, x3=3，min f* =9。 3．存货问题

?f1?(x1)?9，

?????回溯得：x1?3, S2?9, x2?3, S3?3, x3?3, f??9。

（1）某小型超市洗发水日销售量为几何分布 px=p(1–p)x, x=0,1,2,…。缺货损失费为每瓶1元，当日售不出去经计算损失0.1元，若p=0.5，问最佳日进货量为多少？

运筹学作业标准答案 (教师用)

（2）某小型超市食用油日销售量为负指数分布，日均销售量统计值为100公斤，当a=1, b=0.25，求最佳日进货量。

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（3）若食用油日销售量为正态分布，均值为100，方差49，a, b同上，求最佳日进货量。

标准正态分布表：?(Z)?Z 0.00 0.50 0.60 0.70 解：

（1）由几何分布公式，可得离散概率和累积概率如下表：

日销量 i 概率Pi 累积概率Fi 0 0.5 0.5 1 0.25 0.75 2 0.125 0.875 3 0.0625 0.9375 12?z22???eZ Z?dz

?(Z) 0.500000 0.691463 0.725747 0.758036 ?(Z) 0.773373 0.788145 0.802338 0.815940 0.75 0.80 0.85 0.90 临界比： a/(a+b)=0.9091 答：最佳日进3瓶洗发水。

（2）由负指数分布和日均销售量100公斤，可知有概率分布

1?100f(x)?e,100?x100?x100xF(x)?1?e?x100

临界比： a/(a+b)=1/1.25=0.8，解

1?e?0.8,e?0.2,x??100ln0.2?160.94

答：最佳日进160.94公斤食用油。 （3）由正态分布，

Z?(Z)??12?e?Z22dZ?0.8

??查表得 Z ? 0.85，x=100+7?0.85=105.95 答：最佳日进105.95公斤食用油。

运筹学作业标准答案 (教师用)

（2）某小型超市食用油日销售量为负指数分布，日均销售量统计值为100公斤，当a=1, b=0.25，求最佳日进货量。

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（3）若食用油日销售量为正态分布，均值为100，方差49，a, b同上，求最佳日进货量。

标准正态分布表：?(Z)?Z 0.00 0.50 0.60 0.70 解：

（1）由几何分布公式，可得离散概率和累积概率如下表：

日销量 i 概率Pi 累积概率Fi 0 0.5 0.5 1 0.25 0.75 2 0.125 0.875 3 0.0625 0.9375 12?z22???eZ Z?dz

?(Z) 0.500000 0.691463 0.725747 0.758036 ?(Z) 0.773373 0.788145 0.802338 0.815940 0.75 0.80 0.85 0.90 临界比： a/(a+b)=0.9091 答：最佳日进3瓶洗发水。

（2）由负指数分布和日均销售量100公斤，可知有概率分布

1?100f(x)?e,100?x100?x100xF(x)?1?e?x100

临界比： a/(a+b)=1/1.25=0.8，解

1?e?0.8,e?0.2,x??100ln0.2?160.94

答：最佳日进160.94公斤食用油。 （3）由正态分布，

Z?(Z)??12?e?Z22dZ?0.8

??查表得 Z ? 0.85，x=100+7?0.85=105.95 答：最佳日进105.95公斤食用油。

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