2振动与波

大学物理习题解答——振动与波部分 23

第四章 振动与波

?24—1 有一个弹簧振子，振幅A?2.0?10m，周期T?1.0s，初相??3?/4．试写出它的运动

方程，并作出x?t图、?－t图和a?t图。

解 弹簧振子的振动是简谐运动．振幅A、初相?、角频率?是简谐运动方程x?Acos(?t??)的三个特征量．求运动方程就要设法确定这三个物理量.题中除

A、?已知外，?可通过关系式??2?T确定．振子运动的

速度和加速度的计算仍与质点运动学中的计算方法相同．

因??2?T，则运动方程

?2?t?x?Acos(?t??)?Acos????

?T?根据题中给出的数据得

?1x??2.0?10?2m?cos?2?s??t?0.75????

振子的速度和加速度分别为

??dxdt??(4??10?2m?s?1)sin[(2?s?1)t?0.75?]图4—1

?1a?d2x/dt2???8?2?10?2m?s?1?cos?2?s??t?0.75????

x?t、??t及a?t图，如图4—1所示，

4—2 已知一谐振动的运动方程为y?0.02cos?8?t?幅A和初相?。

?????，求角频率?、频率?、周期T、振4?解 由y?0.02cos?8?t??????＝Acos(?t??)可知 4?1??8?rad/s，??2??，???/2??4Hz，T???1??0.25S,A?0.02M,??。 444—3 求谐振动物体在下列情况下的初相。

(1)起始时，物体具有正的最大位移；

(2)起始时，物体在平衡位置，并且向正方向运动； (3)起始时，物体的位移为A/2，并且向负方向运动。 解 (1) y0?A?Acos?，cos??1，??0。

???(2) y0?0?Acos?，cos??0，

??ni??0，。因为，有s所以???。 ?0??A?sin??0，

22?A1(3) y0?Acos??，cos??，???。

232?因为，?0??A?sin??0，有sin??0，所以??。

3 24 大学物理习题解答——振动与波部分

4—4 谐振动的运动方程为y?0.02cos?A????求物体由?运t??，

24??2动到

A所用最少时间? 2

图4—4

解 由旋转矢量图可知，最短时间为转过??所用的时间，故

????/32??A/21????,???,?T???S. sin??,

2A2263??/23

4—5 如果简谐运动方程为x??0.10m?cos?20?s周期和初相；(2) t?2s时的位移、速度和加速度。

???1?t?0.75???，求：(1)振幅、频率、角频率、

解 可采用比较法求解．将已知的简谐运动方程与简谐运动方程的一般形式x?Acos(?t??)作比较，即可求得各特征量．运用与上题相同的处理方法，写出位移、速度、加速度的表达式，代入t值后，

即可求得结果．

(1)将x??0.10m?cos?20?s?1???1?t?0.75???与x?Acos(?t??)比较后可得：振幅A?0.10m，角

??0.1s，频率v?1/T?10Hz．

频率??20?s，初相??0.25?，则周期T?2?(2) t?2s时的位移、速度、加速度分别为

x??0.10m?cos?40??0.25???7.07?10?2m

??dxdt??(2?m?s?1)sin(40??0.25?)??4.44m?s?1

a?d2x/dt2???40?2m?s?1?cos?40??0.25????2.79?102m?s?1

4—6 在如图4—6所示装置中，一劲度系数为k的轻弹簧，一端固定在墙上，另一端连接一质量为

m1的物体A，置于光滑水平桌面上。现通过一质量m、半径为R的定滑轮B (可视为匀质圆盘)用细绳

连接另一质量为m2的物体C．设细绳不可伸长，且与滑轮间无相对滑动，求系统的振动角频率。 解 这是一个由弹簧、物体A、C和滑轮B组成的简谐运动系统．求解系统的振动频率可采用两种方

法．(1)从受力分析着手．如图4—6 (b)所示，设系统处于平衡状态时，与物体A相连的弹簧一端所在位置为坐标原点O，此时弹簧已伸长x0，且kx0?m2g．当弹簧沿Ox轴正向从原点O伸长工时，分析物体A、C及滑轮B的受力情况，并分别列出它们的动力学方程，可解得系统作简谐运动的微分方程．(2)从系统机械能守恒着手．列出系统机械能守恒方程，然后求系统作简谐运动的微分方程．

解1 在图4—6 (b)的状态下，各物体受力如图4—6 (c)所示．其中F??k?x?x0?i．考虑到绳子不可伸长，对物体A、B、C分别列方程，有

d2xd2x1d2xFT1?k?x?x0??m12，m2g?FT2?m22，?FT2?FT1?R?J??mR2，kx0?m2g

dt2dtdt2方程(3)中用到了FT1?FT?1、FT2?FT?2、J?mR/2及??a/R.联立式（1）～（4）可得

大学物理习题解答——振动与波部分 25

d2xk?x?0 2dtm1?m2?m/2则系统振动的角频率为 w?k/?m1?m2?m/2?

图4—6

解2 取整个振动装置和地球为研究系统，因没有外力和非保守内力作功，系统机械能守恒．设物体

平衡时为初始状态，物体向右偏移距离x (此时速度为?、加速度为?)为末状态，则由机械能守恒定律，有 E0??m2gx?1111m1?2?m2?2?J?2?k(x?x0)2 2222在列出上述方程时应注意势能(重力势能和弹性势能)零点的选取．为运算方便，选初始状态下物体C

所在位置为重力势能零点；弹簧原长时为弹性势能的零点．将上述方程对时间求导得

0??m2g??m1?2d?d?d?dx?m2??J??k(x?x0) dtdtdtdt2将J?mR/2、?R??、d?/dt?dx/dt和m2g?kx0代人上式，可得

2d2xk?x?0 2dtm1?m2?m/2式(6)与式(5)相同，表明两种解法结果一致。

?24—7 放置在水平桌面上的弹簧振子，振幅A?2.0?10m，周期T?0.50s。当t?0时。 (1)物体

在正方向端点；(2)物体在平衡位置、向负方向运动；(3)物体在x?1.0?10m处，向负方向运动；(4)物体在x??1.0?10m处，向正方向运动。求以上各种情况的运动方程。

解 在振幅A和周期T已知的条件下，确定初相?是求解简谐运动方程的关键．初相的确定通常有两种方法．(1)解析法：由振动方程出发，根据初始条件，即t?0时，x?x0和???0来确定?值．(2)旋转矢量法：如图4—7 (a)所示，将质点P在Ox轴上振动的初始位置x0和速度?0的方向与旋转矢量图相对应来确定?.旋转矢量法比较直观、方便，在分析中常采用．

由题给条件知A?2.0?10m,??2?T?4?s?2?1?2?2，而初相?可采用分析中的两种不同方法来求．

26 大学物理习题解答——振动与波部分

根据简谐运动方程x?Acos(?t??)，当

t?0时，有x0?Acos?，?0??A?sin?，

那么(1) x0?A时，cos?1?1，则??0；

(2) x0?0时，cos?2?0，?2???2，

图4—7

?因?0?0，取?2?；

2

(3) x0?1.0?10?2m时，cos?3?0.5，?3???3，由?0?0，取?3??3；

(4) x0??1.0?10?2m时，cos?4??0.5，?4?x??3，由?0?0，取?4?4?。 3旋转矢量法：分别画出四个不同初始状态的旋转矢量图，如图4—7 (b)所示，它们所对应的初相分别为?1?0，?2???4?，?3?，?4?． 233振幅A、角频率?、初相?均确定后，则各相应状态下的运动方程为

?2?1?2?1(1) x?2.0?10mcos4?st ； (2) x?2.0?10mcos?4?st??/2?

??????????(3) x?2.0?10mcos?4?s?2?????14???； (4) x??2.0?10m?cos??4?s?t? ?t??/3???3???2?1?24—8 有一弹簧，下端挂一质量为m的物体时，伸长量为9.8?10m。如果使物体上、下振动，且

?2规定向下为正方向。(1)当t?0时，物体在平衡位置上方8.0?10m处，由静止开始向下运动，求运动

?1方程。(2)当t?0时，物体在平衡位置并以0.6m?s的速度向上运动，求运动方程。

解 求运动方程，也就是要确定振动的三个特征物理量A、?和?．其中振动的角频率是由弹簧振子系统的固有性质(振子质量m，及弹簧劲度系数k)决定的，即

??km，k可根据物体受力平衡时弹簧的伸长来计

算；振幅A和初相?需要根据初始条件确定．

物体受力平衡时，弹性力F与重力P的大小相等，即

图4—8

F?mg．而此时弹簧的伸长量?l?9.8?10m．则弹簧

的劲度系数是k=

?2Fmg?．系统作简谐运动的角频率为 ?l?l??km?g?l?10s?1

(1) 设系统平衡时，物体所在处为坐标原点，向下为x轴正向．由初始条件t?0时，x10?8.0?10?2m、

2?(?10/?)2?8.0?10?2m；应用旋转矢量法可确定初相?1?? [图4—8 ?10?0，可得振幅A?x10大学物理习题解答——振动与波部分 27

(a)]．

则运动方程为 x1?8.0?10?2mcos?10s?1t???

??(2) t?0时，x20?0、?20?0.6m?s?1，同理可得A2?2x20?(?20/?)2?6.0?10?2m；

?????110s?2??/2[图14—9(b)].则运动方程为 x2??6.0?10?2m?cos???t?0.5????

4—9 作简谐运动的物体，由平衡位置向x轴正方向运动，试问经过下列路程所需的最短时间各为

周期的几分之几?(1)由平衡位置到最大位移处；(2)由平衡位置到x?A/2处；(3)由x?A/2处到最大位移处。

解 采用旋转矢量法求解较为方便．按题意作如图14—11所示的旋转矢量图，平衡位置在点O．

(1)平衡位置x1到最大位移x3，处，图中的旋转矢量从位置1转到位置3，故??1??2，则所需时间 ?t1???1??T 4图14—11

(2)从平衡位置x1到x2?A/2处，图中旋转矢量从位置1转到位置2，故有??2??6，则所需时间 ?t2???2??T 12(3)从x2?A/2运动到最大位移x3处，图中旋转矢量从位置2转到位置3，有??3?间 ?t3??3，则所需时

??3??T 64—10 一物体沿x轴作简谐运动，振幅为0.06m，周期为2.0s，当t?0时位移为0.03m，且向x轴正向运动，求：(1) t?0.5s时，物体的位移、速度和加速度；(2)物体从x??0.03m处向x轴负向运动，到达平衡位置，至少需要多少时间?

解 已知运动方程即可求物体的位移、速度、加速度．因此，写出运动方程是本题的关键．其方法可参见题14—8．至于质点从x??0.03m运动到x?0处所需的最短时间，仍可采用解析法或旋转矢量法求解．

(1)由题意A?0.06m、??2?/T???s?1， 由旋转矢量图4—10 (a)，可确定初相

?0???/3，则运动方程为

?1x??0.06m?cos??s??t??/3???

当t?0.5s时质点的位移、速度、加速度分别为

图4—10

x?(0.06m)cos(?/2??/3)?0.052m

v?dx/dt???0.06?m?s?1?sin??/2??3???0.094m?s?1 a?d2x/dt2???0.06?2m?s?2?cos??/2??3???0.513m?s?2

(2) 质点从x??0.03m运动到平衡位置的过程中，旋转矢量从图14—13(b)中的位置M转至位置N，

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