高一数学必修1知识点总结46110

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高中数学必修1知识点

第一章、集合综合应用题；单调性、奇偶性证明与应用；

第二章、指数幂与对数的运算；指数函数与对数函数性质的应用；

第三章、零点问题，尤其是二次函数的零点、二次函数根的分布。

第一章集合与函数概念

一、集合有关概念：

1、集合的含义：

2、集合的中元素的三个特性：

（1）元素的确定性；（2）元素的互异性；（3）元素的无序性

3、集合的表示：

（Ⅰ）列举法：

（Ⅱ）描述法：

4、常用数集及其记法：

非负整数集（即自然数集）N ；正整数集 N*或 N+ ；整数集 Z；有理数集Q；实数集 R

5、“属于”的概念

集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 a A

6、集合的分类：

1．有限集含有有限个元素的集合

2．无限集含有无限个元素的集合

3．空集不含任何元素的集合

二、集合间的基本关系

集合相等，子集，真子集，空集等定义

规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。

三、集合的运算

1．交集、并集、全集与补集的定义

2.性质：A∩A = A，A∩φ= φ, A∩B = B∩A，A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A.

⑴C U(C U A)=A ⑵(C U A)∩A=Φ⑶(C U A)∪A=U

(4)(C U A)∩(C U B)=C U(A∪B) (5)(C U A)∪(C U B)=C U(A∩B)

二、函数的有关概念

1．函数的概念：(看课本)

注意：1、如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；

2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式．

定义域补充：

能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、对数式的底必须大于零且不等于1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.

(注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。)

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__________________________________________________ 2、构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域

相同函数的判断方法：①定义域一致；②表达式相同 (两点必须同时具备)

函数图像

A 、描点法：根据函数解析式和定义域，求出x,y 的一些对应值并列表，以(x,y)为坐标在坐标系内描出相应的点P(x, y)，最后用平滑的曲线将这些点连接起来.

B 、图象变换法：

常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换

Ⅰ、对称变换:

（1）将y= f(x)在x 轴下方的图象向上翻得到y=∣f(x)∣的图象如：书上P21例5

（2） y= f(x)和y= f(-x)的图象关于y 轴对称。如1x

x x

y a y a a -??=== ???

与（3） y= f(x)和y= -f(x)的图象关于x 轴对称。如1log log log a a a y x y x x ==-=与 Ⅱ、平移变换: 由f(x)得到f(x ±a) 左加右减；由f(x)得到f(x)±a 上加下减

(3)作用：A 、直观的看出函数的性质；B 、利用数形结合的方法分析解题的思路；C 、提高解题的速度；发现解题中的错误。

4．区间的概念与表示

5．映射

定义：（看课本）

说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A 、B 及对应法则f 是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A 到集合B 的对应，它与从B 到A 的对应关系一般是不同的；

③对于映射f ：A →B 来说，则应满足：（Ⅰ）集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有象，并且象是唯一的；（Ⅱ）集合A 中不同的元素，在集合B 中对应的象可以是同一个；（Ⅲ）不要求集合B 中的每一个元素在集合A 中都有原象。

6、函数的表示法：

解析法；图象法；列表法

注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值

* 分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集．

* 如果y=f(u),(u ∈M),u=g(x),(x ∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)，(x ∈A) 称为f 是g 的复合函数。

7．函数单调性（定义）

（1）．增函数

注意：1、函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

2、必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

（2）图象的特点

如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下降的.

(3).函数单调区间与单调性的判定方法

(A) 定义法： 1 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

复合函数单调性：口诀：同增异减

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__________________________________________________ 注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集.

（4）判断函数的单调性常用的结论

①函数()y f x =-与()y f x =的单调性相反；

②当函数()y f x =恒为正或恒有负时，1()y f x =与函数()y f x =的单调性相反；

③函数()y f x =与函数()y f x C =+（C 为常数）的单调性相同；

④当C > 0（C 为常数）时，()y f x =与()y C f x =的单调性相同；

当C < 0（C 为常数）时，()y f x =与()y C f x =的单调性相反；

⑤函数()f x 、()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x +仍是增（减）函数；

⑥若()0,()0f x g x >>且()f x 与()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是增（减）函数；若()0,()0f x g x <<且()f x 与()g x 都是增（减）函数，则()()f x g x 也是减（增）函数；

8．函数的奇偶性（定义）

偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称．

总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f(－x)与f(x)的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x) 或 f(－x)－f(x) = 0，则f(x)是偶函数；若f(－x) =－f(x) 或 f(－x)＋f(x) = 0，则f(x)是奇函数．

注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称，若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，(1)再根据定义判定; (2)有时判定f(-x)=±f(x)比较困难，可考虑根据是否有f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1来判定; (3)利用定理，或借助函数的图象判定 . 函数奇偶性的性质

① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同；

偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反.

②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称.

③若()f x 为偶函数，则()()(||)f x f x f x -==.

④若奇函数()f x 定义域中含有0，则必有(0)0f =.

⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数，都可表示成“一个奇函数()F x 与一个偶函数()G x 的和（或差）”.如设)(x f 是定义域为R 的任一函数，则()()()2f x f x F x --=，()()()2

f x f x G x +-=. ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶，内奇同外”.

⑦既奇又偶函数有无穷多个（()0f x =，定义域是关于原点对称的任意一个数集）.

9、函数的解析表达式

（1）函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域.

（2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等，A 、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B 、已知复合函数f[g(x)]的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C 、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f(x)

10．函数最大（小）值（定义见课本p30页）