2019-2020学年承德市丰宁县九年级上册期末数学试卷（有答案）-精

2019-2020学年河北省承德市丰宁县九年级（上）期末数学

试卷

一、选择题（本大题共12个小题；1--6每小题2分，7--16每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2分）sin30°=（ ） A．0 B．1

C． D．

2．（2分）二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3） 3．（2分）一元二次方程3x2﹣x=0的解是（ ） A．x=0 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2= D．x= 4．（2分）如图，已知DE∥BC，

，则△ABC与△ADE的面积比为（ ）

A．2：1 B．4：1 C．9：1 D．1：9

5．（2分）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ ） A．3 B．4

C．

D．

6．（2分）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ） A．3 B．6

C．9

D．12

的图象上的是（ ）

7．（3分）下列四个点中，在反比例函数

A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3） 8．（3分）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（ ） A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=25

9．（3分）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等

于（ ）

A．100° B．110° C．120° D．135°

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

11．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论： ①常数m＜﹣1；

②在每个象限内，y随x的增大而增大；

③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；

④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上． 其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（ ）

A．1 B． C．3 D．2

13．（3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（ ） A．1米 B．5米 C．6米 D．7米

14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．a＜0 B．c＞0 C．a+b+c＞0

D．方程 ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3

15．（3分）图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为（ ）

A．2 B．1 C．1.5 D．0.5

16．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点P

为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 17．（3分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 ． 18．（3分）如图，已知A点是反比例函数△ABO的面积为3，则k的值为 ．

的图象上一点，AB⊥y轴于B，且

19．（3分）如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形= cm2．

20．（3分）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，△DOE的面积是2，△DOA的面积 ．

三、解答题（本大题6个小题共66分） 21．（8分）解方程：x2﹣4x+3=0．

22．（10分）如图，△OAB中，OA=OB=10cm，∠AOB=80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧

分别交OA，OB于点M，N．

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求AT的长．

23．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式； （2）求抛物线的顶点坐标

（3）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D的坐标．

24．（12分）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向． （1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）

25．（12分）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，请回答：

（1）写出售价为50元时，每天能卖樱桃 千克，每天获得利润 元． （2）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，每千克樱桃应降价多少元？ （3）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利最大，每千克樱桃应售价多少元？ 26．（12分）阅读理解：

如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出

的值．

2019-2020学年河北省承德市丰宁县九年级（上）期末数学试

卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共12个小题；1--6每小题2分，7--16每小题2分，共42分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（2分）sin30°=（ ） A．0 B．1

C． D．

【解答】解：sin30°=． 故选：C．

2．（2分）二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标是（ ） A．（1，3） B．（﹣1，3） C．（1，﹣3） D．（﹣1，﹣3）

【解答】解：二次函数y=﹣2（x﹣1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．故选：A．

3．（2分）一元二次方程3x2﹣x=0的解是（ ） A．x=0 B．x1=0，x2=3 C．x1=0，x2= D．x= 【解答】解：∵3x2﹣x=0 即x（3x﹣1）=0 解得：x1=0，x2=． 故选：C．

4．（2分）如图，已知DE∥BC，

，则△ABC与△ADE的面积比为（

）

A．2：1 B．4：1 C．9：1 D．1：9

【解答】解：∵DE∥BC， ∴△ABC∽△ADE， ∴S△ADE：S△ABC=AD2：AB2， ∵AD：DB=1：2， ∴AD：AB=1：3， ∴S△ADE：S△ABC=1：9，

即△ABC与△ADE的面积比为9：1． 故选：C．

5．（2分）半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是（ A．3 B．4

C．

D．

【解答】解：如图所示： 过点O作OD⊥AB于点D， ∵OB=3，AB=4，OD⊥AB， ∴BD=AB=×4=2， 在Rt△BOD中，OD==

=

．

故选：C．

6．（2分）已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA=，AB=15，则AC的长是（ ））

A．3 B．6 C．9 D．12

【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°， ∵cosA=

，

∴AC=AB?cosA=15×=9． 故选：C．

7．（3分）下列四个点中，在反比例函数

的图象上的是（ ）

A．（3，﹣2） B．（3，2） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）

【解答】解：A、∵3×（﹣2）=﹣6，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项正确； B、∵3×2=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误； C、∵2×3=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误；

D、∵（﹣2）×（﹣3）=6≠﹣6，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项错误． 故选：A．

8．（3分）用配方法解方程x2+10x+9=0，配方正确的是（ ） A．（x+5）2=16 B．（x+5）2=34 C．（x﹣5）2=16 D．（x+5）2=25 【解答】解：x2+10x+9=0， x2+10x=﹣9， x2+10x+52=﹣9+52， （x+5）2=16． 故选：A．

9．（3分）如图，AB是圆O的直径，BC、CD、DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于（ ）

A．100° B．110° C．120° D．135° 【解答】解：连接OC、OD， ∵BC=CD=DA，

∴∠COB=∠COD=∠DOA， ∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°， ∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，

∴∠BCD=×2（180°﹣60°）=120°． 故选：C．

10．（3分）如图，在正方形ABCD中，E为DC边上的点，连接BE，将△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF，连接EF，若∠BEC=60°，则∠EFD的度数为（ ）

A．10° B．15° C．20° D．25°

【解答】解：∵△BCE绕点C顺时针方向旋转90°得到△DCF， ∴CE=CF，∠DFC=∠BEC=60°，∠EFC=45°， ∴∠EFD=60°﹣45°=15°． 故选：B．

11．（3分）反比例函数y=的图象如图所示，以下结论： ①常数m＜﹣1；

②在每个象限内，y随x的增大而增大；

③若A（﹣1，h），B（2，k）在图象上，则h＜k；

④若P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上． 其中正确的是（ ）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

【解答】解：∵反比例函数的图象位于一三象限， ∴m＞0 故①错误；

当反比例函数的图象位于一三象限时，在每一象限内，y随x的增大而减小，故②错误；

将A（﹣1，h），B（2，k）代入y=得到h=﹣m，2k=m， ∵m＞0 ∴h＜k 故③正确；

将P（x，y）代入y=得到m=xy，将P′（﹣x，﹣y）代入y=得到m=xy， 故P（x，y）在图象上，则P′（﹣x，﹣y）也在图象上 故④正确， 故选：C．

12．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，若AB=2，BC=4．则DC的长度为（ ）

A．1 B． C．3 D．2

【解答】解：∵AD⊥BC， ∴∠ADC=90°， ∵∠BAC=90°， ∴∠ADC=∠BAC=90°， ∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△DAC， ∴

=

，

∵AB=2，BC=4， ∴AC=2∴

=，

，

∴DC=3． 故选：C．

13．（3分）一小球被抛出后，距离地面的高度h （米）和飞行时间t （秒）满足下面函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6，则小球距离地面的最大高度是（ ） A．1米 B．5米 C．6米 D．7米

【解答】解：∵高度h和飞行时间t 满足函数关系式：h=﹣5（t﹣1）2+6， ∴当t=1时，小球距离地面高度最大， ∴h=﹣5×（1﹣1）2+6=6米， 故选：C．

14．（3分）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论正确的是（ ）

A．a＜0 B．c＞0 C．a+b+c＞0

D．方程 ax2+bx+c=0的两根是x1=﹣1，x2=3 【解答】解：∵由图象知，开口向上， ∴a＞0，故A错误；

由图象知，与y轴的交点在负半轴， ∴c＜0，故B错误；

令x=1，则a+b+c＜0，故C错误；

∵抛物线与x轴两个交点（﹣1，0），（3，0），故D正确； 故选：D．

15．（3分）图中，EB为半圆O的直径，点A在EB的延长线上，AD切半圆O于点D，BC⊥AD于点C，AB=2，半圆O的半径为2，则BC的长为（ ）

A．2 B．1 C．1.5 D．0.5

【解答】解：连接OD． AD是切线，点D是切点， ∴BC⊥AD，

∴∠ODA=∠ACB=90°，BC∥OD． ∵AB=OB=2，则点B是AO的中点，

∴BC=OD=1． 故选： B．

16．（3分）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=8，AD=3，BC=4，点

P为AB边上一动点，若△PAD与△PBC是相似三角形，则满足条件的点P的个数是（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵AB⊥BC， ∴∠B=90°． ∵AD∥BC，

∴∠A=180°﹣∠B=90°，

∴∠PAD=∠PBC=90°．AB=8，AD=3，BC=4， 设AP的长为x，则BP长为8﹣x．

若AB边上存在P点，使△PAD与△PBC相似，那么分两种情况： ①若△APD∽△BPC，则AP：BP=AD：BC，即x：（8﹣x）=3：4，解得x=

；

②若△APD∽△BCP，则AP：BC=AD：BP，即x：4=3：（8﹣x），解得x=2或x=6． ∴满足条件的点P的个数是3个， 故选：C．

二、填空题（本大题共4个小题；每小题3分，共12分，把答案写在题中横线上） 17．（3分）点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是 （3，﹣4） ．

【解答】解：根据中心对称的性质，得点P（﹣3，4）关于原点对称的点的坐标是（3，﹣4）．

18．（3分）如图，已知A点是反比例函数△ABO的面积为3，则k的值为 6 ．

的图象上一点，AB⊥y轴于B，且

【解答】解：根据题意可知：S△ABO=|k|=3， 由于反比例函数的图象位于第一象限，k＞0， 则k=6． 故答案为：6．

19．（3分）如图，将长为8cm的铁丝首尾相接围成半径为2cm的扇形．则S扇形= 4 cm2．

【解答】解：由题意知，弧长=8﹣2×2=4cm， 扇形的面积是×4×2=4cm2， 故答案为：4．

20．（3分）在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，△DOE的面积是2，△DOA的面积 4 ．

【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵E为CD中点， ∴DE=CD=AB， ∵AB∥CD， ∴△AOB∽△EOD， ∴

=

=，

∵△AOD和△DOE等高， ∴

=，

∵△DOE的面积是2， ∴△DOA的面积是4， 故答案为：4．

三、解答题（本大题6个小题共66分） 21．（8分）解方程：x2﹣4x+3=0． 【解答】解：x2﹣4x+3=0 （x﹣1）（x﹣3）=0 x﹣1=0，x﹣3=0 x1=1，x2=3．

22．（10分）如图，△OAB中，OA=OB=10cm，∠AOB=80°，以点O为圆心，半径为6cm的优弧

分别交OA，OB于点M，N．

（1）点P在右半弧上（∠BOP是锐角），将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′．求证：AP=BP′；

（2）点T在左半弧上，若AT与弧相切，求AT的长．

【解答】（1）证明：∵∠AOB=∠POP′=80°， ∴∠AOB+∠BOP=∠POP′+∠BOP， 即∠AOP=∠BOP′…（2分） 在△AOP与△BOP′中

，

∴△AOP≌△BOP′， ∴AP=BP′．

（2）∵AT与弧相切，连结OT． ∴OT⊥AT，

在Rt△AOT中，根据勾股定理得，AT=∵OA=10，OT=6 ∴AT=8．

，

23．（12分）如图，抛物线y=ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）求抛物线的顶点坐标

（3）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D的坐标．

【解答】解：（1）把点A（﹣1，0）、C（0，4）代入y=ax2+bx﹣4a得：

，

解得：a=﹣1，b=3，

二次函数的解析式为y=﹣x2+3x+4；

（2）y=﹣x2+3x+4， ﹣

=﹣

=，y=﹣（）2+3×+4=

；

，

所以顶点坐标为

（3）把点D（m，m+1）代入解析式y=﹣x2+3x+4得：m+1=﹣m2+3m+4， m2﹣2m﹣3=0， 解得：m=3或﹣1， ∵点D在第一象限， ∴m=3，m+1=4， 点D的坐标是（3，4）．

24．（12分）如图，在一笔直的海岸线l上有AB两个观测站，A在B的正东方向，AB=2（单位：km）．有一艘小船在点P处，从A测得小船在北偏西60°的方向，从B测得小船在北偏东45°的方向． （1）求点P到海岸线l的距离；

（2）小船从点P处沿射线AP的方向航行一段时间后，到点C处，此时，从B测得小船在北偏西15°的方向．求点C与点B之间的距离．（上述两小题的结果都保留根号）

【解答】解：（1）如图，过点P作PD⊥AB于点D．设PD=xkm． 在Rt△PBD中，∠BDP=90°，∠PBD=90°﹣45°=45°， ∴BD=PD=xkm．

在Rt△PAD中，∠ADP=90°，∠PAD=90°﹣60°=30°， ∴AD=

PD=

xkm．

∵BD+AD=AB， ∴x+x=

x=2， ﹣1，

﹣1）km；

∴点P到海岸线l的距离为（

（2）如图，过点B作BF⊥AC于点F． 根据题意得：∠ABC=105°，

在Rt△ABF中，∠AFB=90°，∠BAF=30°， ∴BF=AB=1km．

在△ABC中，∠C=180°﹣∠BAC﹣∠ABC=45°． 在Rt△BCF中，∠BFC=90°，∠C=45°， ∴BC=

BF=

km，

km．

∴点C与点B之间的距离为

25．（12分）某水果专卖店销售樱桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每千克降低1元，则平均每天的销售可增加10千克，请回答：

（1）写出售价为50元时，每天能卖樱桃 200 千克，每天获得利润 2000 元． （2）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利2240元，每千克樱桃应降价多少元？ （3）若该专卖店销售这种樱桃要想平均每天获利最大，每千克樱桃应售价多少元？ 【解答】解：（1）售价为50元时，每天能卖出樱桃100+10×（60﹣10）=200千克，每天获得利润（50﹣40）×200=2000元， 故答案为：200、2000；

（2）根据题意得：（60﹣40﹣x）（100+10x）=2240， 整理得：x2﹣10x+24=0， x=4或x=6，

答：每千克核桃应降价4元或6元；

（3）设售价为x元，利润y=（60﹣40﹣x）（100+10x） =﹣10x2+100x+2000 =﹣10x2+100x+2000 =﹣10（x﹣5）2+2250， ∴当x=5时，y的值最大．

答：当销售单价为55元时，可获得销售利润最大．

26．（12分）阅读理解：

如图1，若在四边形ABCD的边AB上任取一点E（点E与点A，B不重合），分别连结ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的相似点；如果这三个三角形都相似，我们就把E叫做四边形ABCD的边AB上的强相似点．解决问题：

（1）如图1，若∠A=∠B=∠DEC=55°，试判断点E是否是四边形ABCD的边AB上的相似点，并说明理由；

（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=5，BC=2，且A，B，C，D四点均在正方形网格（网格中每个小正方形的边长为1）的格点（即每个小正方形的顶点）上，试在图2中画出矩形ABCD的边AB上的一个强相似点E； 拓展探究：

（3）如图3，将矩形ABCD沿CM折叠，使点D落在AB边上的点E处．若点E恰好是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点，请直接写出【解答】解：（1）∵∠A=∠B=∠DEC=45°， ∴∠AED+∠ADE=135°，∠AED+∠CEB=135° ∴∠ADE=∠CEB，

在△ADE和△BEC中，∵∠A=∠B，∠ADE=∠BEC， ∴△ADE∽△BEC，

∴点E是四边形ABCD的边AB上的相似点．

的值．

（2）如图所示：点E是四边形ABCD的边AB上的强相似点，

（3）如图③中，

∵点E是四边形ABCM的边AB上的一个强相似点， ∴△AEM∽△BCE∽△ECM， ∴∠BCE=∠ECM=∠AEM． 由折叠可知：△ECM≌△DCM， ∴∠ECM=∠DCM，CE=CD， ∴∠BCE=∠BCD=30°， ∴BE=CE=AB． 在Rt△BCE中，tan∠BCE=∴

．

=tan30°=

，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9i2a.html