初二数学知识点2

初二数学上册知识点梳理卷

勾股定理中考例题及讲解

1、如图，矩形ABCD的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为（ ） A、14 B、16 C、20 D、28

考点：平移的性质；勾股定理．

分析：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，即可得出答案．

解答：解：根据题意可知五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周，故即可得出答案： ∵AC=10，BC=8， ∴AB=6，

图中五个小矩形的周长之和为：6+8+6+8=28． 故选D．

点评：此题主要考查了勾股定理以及平移的性质，得出五个小矩形的周长之和正好能平移到大矩形的四周是解决问题的关键． 2、（2011新疆乌鲁木齐，9，4）如图．梯形ABCD中，AD∥BC、AB＝CD，AC丄BD于点O，∠BAC＝60°，若BC＝错误！未找到引用源。，则此梯形的面积为（ ）

A、2

B、1＋3错误！未找到引用源。 C、2?6

D、2＋错误！未找到引用

源。

考点：等腰梯形的性质；垂线；三角形内角和定理；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理。 专题：计算题。

分析：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，根据等腰梯形的性质得出∠ABC＝∠DCB，证△ABC≌△DCB，推出∠DBC＝∠ACB，求出∠DBC＝∠ACB＝45°，根据直角三角形性质求出OF，根据勾股定理求出OB、OA，OE、AD，根据面积公式即可求出面积． 解答：解：过O作EF⊥AD交AD于E，交BC于F，

∵等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB＝CD，∴∠ABC＝∠DCB， ∵BC＝BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC＝∠ACB，

∵AC⊥BD，∴∠BOC＝90°，∴∠DBC＝∠ACB＝45°，∴OB＝OC， ∵OF⊥BC，∴OF＝BF＝CF＝

12BC＝62，由勾股定理得：OB＝3， ∵∠BAC＝60°，∴∠ABO＝30°，由勾股定理得：OA＝1，AB＝2， 同法可求OD＝OA＝1，AD＝2，OE＝

22， S梯形ABCD＝错误！未找到引用源。（AD＋BC）?EF＝错误！未找到引用源。×（2?6）×（错误！未找到引用源。＋错误！未找到引用源。）＝2＋3

故答案为：2＋错误！未找到引用源。．

点评：本题主要考察对等腰梯形的性质，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定，三角形的内角和定理，垂线，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键． 3、（2011重庆市，24，10分） 如图,在直角梯形ABCD中，AB∥CD,AD⊥DC,AB=BC,且AE⊥BC.

⑴ 求证：AD=AE；

⑵ 若AD=8，DC=4，求AB的长.

DC

E

AB

24题图考点：直角梯形；全等三角形的判定与性质；勾股定理．

分析：（1）连接AC，证明△ADC与△AEC全等即可；

（2）设AB=x，然后用x表示出BE，利用勾股定理得到有关x的方程，解得即可． 答案：24．解：（1）连接AC

∵AB∥CD

∴∠ACD=∠BAC DC∵AB=BC

∴∠ACB=∠BAC

E∴∠ACD=∠ACB ∵AD⊥DC AE⊥BC

∴∠D=∠AEC=900

AB24题图∵AC=AC

∴△ADC≌△AEC ∴AD=AE

（2）由（1）知：AD=AE ，DC=EC 设AB＝x, 则BE=x－4 ，AE=8

在Rt△ABE中 ∠AEB=900

由勾股定理得： 82?(x?4)2?x2

解得：x=10

∴AB=10

点评：本题考查梯形，矩形、直角三角形的相关知识．解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解． 4、（2010重庆，24，10分）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=45°，CD=2，BD⊥CD．过点C作CE⊥AB于E，交对角线BD于F，点G为BC中点，连接EG、AF． （1）求EG的长；

（2）求证：CF=AB+AF．

A D E F B

G

C 24题图

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理 分析：（1）根据BD⊥CD，∠DCB=45°，得到∠DBC=∠DCB，求出BD=CD=2，根据勾股定理求出BC=2错误！未找到引用源。，根据CE⊥BE，点G为BC的中点即可求出EG；

（2）在线段CF上截取CH=BA，连接DH，根据BD⊥CD，BE⊥CD，推出∠EBF=∠DCF，证出△ABD≌△HCD，得到AD=BD，∠ADB=∠HDC，根据AD∥BC，得到∠ADB=∠DBC=45°，推出∠ADB=∠HDB，证出△ADF≌△HDF，即可得到答案． 解答：（1）解：∵BD⊥CD，∠DCB=45°， ∴∠DBC=45°=∠DCB，∴BD=CD=2，在Rt△BDC中BC=BD2?CD2错误！未找到引用源。=2错误！未找到引用源。，∵CE⊥BE，点G为BC的中点，∴EG=错误！未找到引用源。BC=错误！未找到引用源。．

答：EG的长是错误！未找到引用源。．

（2）证明：在线段CF上截取CH=BA，连接DH，

A D E F B

G

C

24题答图

∵BD⊥CD，BE⊥CE，∴∠EBF+∠EFB=90°，∠DFC+∠DCF=90°， ∵∠EFB=∠DFC，∴∠EBF=∠DCF，

∵DB=CD，BA=CH，∴△ABD≌△HCD，∴AD=DH，∠ADB=∠HDC，

∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC=45°，∴∠HDC=45°，∴∠HDB=∠BDC﹣∠HDC=45°，∴∠ADB=∠HDB，∵AD=HD，DF=DF，∴△ADF≌△HDF，∴AF=HF，∴CF=CH+HF=AB+AF， ∴CF=AB+AF． 点评：本题主要考查对梯形，全等三角形的性质和判定，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线，勾股定理等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．

一次函数中考例题及讲解

1、（2011浙江绍兴，21，10分）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作x轴，y轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（a，3）在直线y=﹣x+b（b为常数）上，求a，b 的值．

考点：一次函数综合题；一次函数图象上点的坐标特征；三角形的面积。 专题：计算题。 分析：（1）计算1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）即可；

（2）当a＞0时，根据（a+3）×2=3a，求出a，进一步求出b；当a＜0时，根据（﹣a+3）×2=﹣3a求出a进一步求出b． 解答：（1）解：∵1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4），∴点M不是和谐点，点N是和谐点． （2）解：由题意得：当a＞0时，（a+3）×2=3a，∴a=6， 点P（a，3）在直线 y=﹣x+b上，代入得：b=9 当a＜0时，（﹣a+3）×2=﹣3a，∴a=﹣6，

点P（a，3）在直线y=﹣x+b上，代入得：b=﹣3， ∴a=6，b=9或a=﹣6，b=﹣3．

点评：本题主要考查对一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积等知识点的理解和掌握，理解题意并根据题意进行计算是解此题的关键．

2、（2011盐城，28，12分）如图，已知一次函数y=－x+7与正比例函数y=

当4≤t≤7时，S△APR＝错误！未找到引用源。

1AP×OC=2（7－t）＝8，无解； 24x的图象交于点A，3且与x轴交于点B．（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作AC⊥y轴于点C，过点B作直线l∥y轴．动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿O﹣C﹣A的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q．当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动．在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒． ①当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

∴当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8；

②存在．延长CA到直线l于一点D，当l与AB相交于Q，∵一次函数y＝－x+7与x轴交与（7，0）点，与y轴交于（0，7）点，∴NO＝OB，∴∠OBN＝∠ONB＝45°. ∵直线l∥y轴，∴RQ＝RB，CD⊥L.

当0＜t≤4时，RB＝OP＝QR＝t，DQ＝AD＝（4－t），AC＝3，PC＝4－t， ∵以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，则AP=AQ，∴AC+PC＝AP＝AQ＝2AD，

22

∴9+（4－t）＝2（4－t），解得：t1＝1，t2＝7（舍去）. 当4＜t≤7时，若PQ＝AQ，则t－4+2（t－4）＝3，解得t＝5；

2

2

2

2

2

541（t－4）＝7－t，解得t?； 3855226PAAO5若PQ=PA，则； ??，即3(7?t)??(t?4)，解得t?14323AC3AQ241226∴当t=1、5、错误！未找到引用源。、错误！未找到引用源。秒时，存在以A、P、Q为顶

843若AQ=AP，则错误！未找到引用源。点的三角形是等腰三角形．

考点：一次函数综合题.

分析：（1）根据图象与坐标轴交点求法直接得出即可，再利用直线交点坐标求法将两直线解析式联立即可得出交点坐标；

（2）①利用S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8，表示出各部分的边长，整理出一元二次方程，求出即可；

②根据一次函数与坐标轴的交点得出，∠OBN＝∠ONB＝45°，进而利用勾股定理以及等腰三角形的性质和直角三角形的判定求出即可．

解答：解：（1）∵一次函数y＝－x+7与正比例函数y?4x的图象交于点A，且与x轴交于点B．∴y3

点评：此题主要考查了一次函数与坐标轴交点求法以及三角形面积求法和等腰直角三角形的性质等知识，此题综合性较强，利用函数图象表示出各部分长度，再利用勾股定理求出是解决问题的关键．

＝－x+7，0＝x+7，∴x＝7，∴B点坐标为：（7，0），

∵y＝－x+7＝错误！未找到引用源。，解得x＝3，∴y＝4，∴A点坐标为：（3，4）； （2）①当0＜t＜4时，PO＝t，PC＝4－t，BR＝t，OR＝7－t，

∵当以A、P、R为顶点的三角形的面积为8，∴S梯形ACOB－S△ACP－S△POR－S△ARB＝8， ∴错误！未找到引用源。

轴对称及中心对称中考例题及讲解：

1、（2011广东深圳，21，8分）如图1，一张矩形纸片ABCD，其中AD=8cm，AB=6cm，先沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，BC′交AD于点G．（1）求证：AG=C′G；（2）如图2，再折叠一次，使点D与点A重合，得折痕EN，EN交AD于点M，求EM的长．

111（AC+BO）×CO－错误！未找到引用源。AC×CP－错误！未找到引222用源。PO×RO－错误！未找到引用源。AM×BR＝8，

∴（AC+BO）×CO－AC×CP－PO×RO－AM×BR＝16，

∴（3+7）×4－3×（4－t）－t×（7－t）－4t＝16，∴t2－8t+12＝0. 解得t1＝2，t2＝6（舍去）.

考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质． 专题：计算题；证明题．

分析：（1）通过证明△GAB≌△GC′D即可证得线段AG、C′G相等；

（2）在直角三角形DMN中，利用勾股定理求得MN的长，则EN-MN=EM的长．

解答：解：（1）证明：∵沿对角线BD对折，点C落在点C′的位置，

∴∠A=∠C′，AB=C′D∴在△GAB与△GC′D中， ∵AB＝ C′D，∠A＝∠C′，∠AGB＝∠C′GD ∴△GAB≌△GC′D∴AG=C′G；

（2）∵点D与点A重合，得折痕EN， ∵EN⊥AD，∴MN=3，

由折叠及平行线的性质可知∠END=∠NDC=∠NDE， ∴EN=ED，设EM=x，则ED=EN=x+3，

由勾股定理得ED2=EM2+DM2，即（x+3）2=x2+42， 解得x=

76，即EM= 76． 点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后对应线段相等．同时考查了勾股定理在折叠问题中的运用．

2、（2011?贵港）如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD，∠BAD的平分线AE交BC于点E，

连接DE．（1）求证：四边形ABED是菱形；（2）若∠ABC=60°，CE=2BE，试判断△CDE的形状，并说明理由．

考点：梯形；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；菱形的判定与性质。

专题：几何综合题。 分析：（1）根据AB=AD及AE为∠BAD的平分线可得出∠1=∠2，从而证得△BAE≌△DAE，这样就得出四边形ABED为平行四边形，根据菱形的判定定理即可得出结论；

（2）过点D作DF∥AE交BC于点F，可得出DF=AE，AD=EF=BE，再由CE=2BE得出DE=EF，从而结合∠ABC=60°，AB∥DE可判断出结论． 解答：（1）证明：如图，∵AE平分∠BAD，∴∠1=∠2， ∵AB=AD，AE=AE，∴△BAE≌△DAE，∴BE=DE，

∵AD∥BC，∴∠2=∠3=∠1，∴AB=BE，∴AB=BE=DE=AD， ∴四边形ABED是菱形．

（2）解：△CDE是直角三角形．

如图，过点D作DF∥AE交BC于点F，

则四边形AEFD是平行四边形，∴DF=AE，AD=EF=BE， ∵CE=2BE，∴BE=EF=FC，∴DE=EF，

又∵∠ABC=60°，AB∥DE，∴∠DEF=60°，∴△DEF是等边三角形， ∴DF=EF=FC，

∴△CDE是直角三角形．

点评：本题综合考查了梯形、全等三角形的判定及性质、菱形的判定及性质，难度较大，解答本题需要掌握①有一组邻边相等的平行四边形是菱形，②直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半． 3、（2011浙江舟山，23，12分）以四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA为斜边分别向外侧作等腰直角三角形，直角顶点分别为E、F、G、H，顺次连接这四个点，得四边形EFGH．（1）如图1，当四边形ABCD为正方形时，我们发现四边形EFGH是正方形；如图2，当四边形ABCD为矩形时，请判断：四边形EFGH的形状（不要求证明）；（2）如图3，当四边形ABCD为一般平行四边形时，设∠ADC＝α（0°＜α＜90°），①试用含α的代数式表示∠HAE；②求证：HE＝HG；③四边形EFGH是什么四边形？并说明理由．

考点：正方形的判定；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；菱形的判定与性质。 专题：证明题。

分析：（1）根据等腰直角三角形得到角都是直角，且边都相等即可判断答案；

（2）①∠HAE＝90°＋a，根据平行四边形的性质得出，∠BAD＝180°－a，根据△HAD和△EAB是等腰直角三角形，得到∠HAD＝∠EAB＝45°，求出∠HAE即可；

②根据△AEB和△DGC是等腰直角三角形，得出AE＝22AB，DG＝22错误！未找到引用源。CD，

平行四边形的性质得出AB＝CD，求出∠HDG＝90°＋a＝∠HAE，证△HAE≌△HDC，即可得出HE＝HG；

③由②同理可得：GH＝GF，FG＝FE，推出GH＝GF＝EF＝HE，得出菱形EFGH，证△HAE≌△HDG，求出∠AHD＝90°，∠EHG＝90°，即可推出结论． 解答：（1）答：四边形EFGH的形状是正方形． （2）解：①∠HAE＝90°＋a， 在平行四边形ABCD中AB∥CD， ∴∠BAD＝180°－∠ADC＝180°－a，

∵△HAD和△EAB是等腰直角三角形，∴∠HAD＝∠EAB＝45°，

∴∠HAE＝360°－∠HAD－∠EAB－∠BAD＝360°－45°－45°－（180°－a）＝90°＋a， 答：用含α的代数式表示∠HAE是90°＋a．

②证明：∵△AEB和△DGC是等腰直角三角形，∴AE＝22AB，DG＝22CD， 在平行四边形ABCD中，AB＝CD，∴AE＝DG，

∵△HAD和△GDC是等腰直角三角形，∴∠HDA＝∠CDG＝45°， ∴∠HDG＝∠HDA＋∠ADC＋∠CDG＝90°＋a＝∠HAE， ∵△HAD是等腰直角三角形，∴HA＝HD， ∴△HAE≌△HDC， ∴HE＝HG．

③答：四边形EFGH是正方形，

理由是：由②同理可得：GH＝GF，FG＝FE， ∵HE＝HG，∴GH＝GF＝EF＝HE， ∴四边形EFGH是菱形，

∵△HAE≌△HDG，∴∠DHG＝∠AHE， ∵∠AHD＝∠AHG＋∠DHG＝90°， ∴∠EHG＝∠AHG＋∠AHE＝90°， ∴四边形EFGH是正方形．

点评：本题主要考查对正方形的判定，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的

性质和判定，平行线的性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键．

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