2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题汇编(word)（无答案）

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2004-2013北大清华等自主招生考试数学试题

2004年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校：复旦大学

一、填空题(每题8分，共80分)

1．设x8?1?(x4?2x2?1)(x4?ax2?1)，则a= . 2．已知|5x+3|+|5x?4|=7，则x的取值范围是 .

x2y23.椭圆??1内接矩形的周长最大值是 .

1694.12只手套(左右有区别)形成6双不同的搭配,要从中取出6只正好能形成2双,有 种取法． 5．已知等比数列?an?中a1=3, ，且第l项至第8项的几何平均数为9，则第3项为 . 6．若x2?(a?1)x?a?0的所有整数解之和为27，则实数a的取值范围是 . (x?4)2y2x2y2??1,则?的最大值为 . 7．己知

494928．设x1、x2是方程x?xsin?＋cos?=0的两个实数解，那么arctanx1+ arctanx2= . 35359.方程z?z的非零解是 . 10．方程y?21?x1?x3的值域是 .

二、解答题(每题15分,共120分) 1.解方程: log5(x?x?3)?1.

2.已知sin(???)?

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124?,sin(???)??,且??0,??0,????,求tan2?. 1352王老师精品讲义

3．已知过两抛物线C1：x＋1=(y?1)2，及C2： (y?1)2＝?4x?a+11的一个交点的两条切线互相垂直，求a的值．

4．若存在M,使任意x∈D(D为函数f(x)的定义域)，都有|f(x)|≤M．则称函数f(x)有界,函数f(x)=在x??0,?上是否有界？

5.求证: 1?

6.已知E是棱长为a的正方体ABCD?A1BC11D1的棱AB的中点,求点B到平面A1EC的距离.

7.比较log2425与log2526的大小,并说明理由.

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11sinxx??1?2?123?133???1n3?3.

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8.已知数列?an?,?bn?满足an?1??an?2bn,且bn?1?6an?6bn,又a1?2,b1?4, 求:(1) an,bn,;(2)1imlim

2004年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校：上海交通大学

一、填空题(每题4分,共40分)

1．已知x、y、z是作负整数,且x+y+z=10，x+2y+3z=30，则x+5y+3z的取值范围是 ． 2．长为1的钢丝折成三段与另一墙面围成封闭矩形，则矩形面积的最大值是 .

3．函数y?sinx?cosx?0?x?an

.

n??bn

?????的值域是 . 2?4．已知三角形又边的长a、b、c均为正整数，且a≤b≤c，b=n，则满足条件的三角形r 的个数为 5．设x2+ax+b和x2+bx+c的最大公因式为x+1，最小公倍式为x3+(c?1)x2+(b+3)x+d，则(a,b.c,d)= 6．已知1?a?7．整数72，则方程a2?x2?2?|x|的相异实根的个数是 .

818?2004?36?的个位数是 . 8．已知数列{an}满足a1=l,a2=2,且an?2?3an?1?2an,则a2004= .

9．在n×n的正方格中,任意取得的长方形(长方形的边与正方格的边平行或重合)是正方形的概率是 .

10．已知6xyzabc?7abcxyz，则xyzabc? .

二、解答题(本大题共60分)

1.已知矩形的长、宽分别为a、b,现在把矩形翻折,使矩形的对顶点重合,求所得折痕的长.

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2.某二项式展开式中,相邻a(a≥3,a∈N+)项的二项式系数之比为1:2:3:?:a,求二项式的次数与a的值,以及各项的二项式系数.

3.已知f(x)=ax4?x3?(5?8a)x2?6x?9a ,证明: (1)恒有实数x,使f(x)=0,

(2)存在实数x，使f(x)的值恒不为0.

4.已知f1(x)=

5.对于两条垂直直线和一个椭圆,已知椭圆无论如何滑动都与两条直线相切,求椭圆中心的轨迹.

6．已知｛an｝是公差为6的等差数列，bn?1?an?1?an(n∈N+). (l)用a1、b1、n表示数｛an｝的通项公式；

(2)若a1＝b1=a，a∈[27,33]，求an的最小值及取最小值时n的值．

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1?x ,对于一切正整数n,都有fn?1(x)?f1[fn(x)], 且f36(x)?f6(x),求f28(x). 1?x王老师精品讲义

2005年名牌大学自主招生考试试题(l)

适用高校：复旦大学

一、填空题(每题5分,共50分)

1．已知集合A={x|log2(x2?x?1)?0,x?R},B={x|2x?21?x?1,x?R},则A?eRB= . 2.设数x满足x＋

11300=?1,则x?300= . xx3．圆?＝53sin??5cos?的圆心的极坐标为 ,其中??[0,2?).

4．设抛物线y=2x2+2ax+a2与直线y=x+1交于A，B两点, 当|AB|最大时,a＝ . 5．计算：lim(n?n?1?n?n?1)= .

n??226．化简：l+3+6＋…＋

n(n?1)= . 27．一个班有20个学生，其中有3个女生，抽4个人去参观展览馆，恰好抽到l个女生的概率为 . 8．写出3

1000在十进制中的最后4位 .

9．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)+2f?10.函数y＝

?x?2002??=4015?x(x≠1), 则f(2004)= .

x?1??1?sinx的最大值是 .

2?cosx二、解答(本大题共70分)

x2y21.在四分之一个椭圆2?2?1(x?0,y?0,a,b?0)上取一点P,使过点P椭圆的切线与坐标轴所成

ab的三角形的面积最小.

2.在?ABC中,已知tanA:tanB:tanC?1:2:3,求

AC. AB第 5 页 共 75 页

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A．7x?y?17=0; B．2x+y+3=0; C．5x+y?6=0; D．x?6y=0. 22．对所有满足1≤n≤m≤5的m，n，极坐标方程??1表示的不同双曲线条数为_____. n1?Cmcos?A．6 B．9 C．12 D．15

23．设有三个函数，第一个是y=?(x)，它的反函数就是第二个函数，而第三个函数的图像与第二个函数的图像关于直线x+y=0对称，则第三个函数是______.

A．y=??(x)； B．y=??(?x)； C．y=???1(x)； D．y=???1(?x)；

24．设?(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当x∈[2，3]时，?(x)=x，则当x∈[?2,0]时，?(x)的解析式为_____.

A．x+4; B．2?x; C．3?|x+1|; D．2+|x+1|. 25．已知α,b为实数，满足(α+b)59=?1,( α?b)60=1,则α59+α60+b59+b60=_____. A．?2 B．?1 C．0 D．1

22232n26．设αn是(2?x)的展开式中x项的系数(n=2,3,4,…)，则极限lim(??…?)=________.

x?????n23n

A．15 B．6 C．17 D．8 27．设x1,x2∈(0，

121(3)2(1)

?)，且x1≠x2，不等式成立的有 2x?x2x?x21(tanx1+tanx2)>tan1; (2) (tanx1+tanx2)

222x?x2x?x21(sinx1+sinx2)>sin1; (4) (sinx1+sinx2)>sin1

222x?2x?1x?3A．(1),(3) B．(1),(4) C．(2),(3) D．(2),(4) 28．方程?(x)=2x?22x?12x?3=0的实根的个数为_______.

3x?33x?23x?5A．1个 B．2个 C．3个 D．无实根

29．如图所示，半径为r的四分之一的圆ABC上，分别以AB和AC为直径作两个半圆，分别标有α的阴影部分面积和标有b的阴影部分面积，则这两部分面积α和b有_____.

A．α>b B．α

CabBA

????????????????????30．设a,b是不共线的两个向量.已知PQ=2a+kb，QR=a+b，RS=2a?3b.若P，Q，S三点共

线，则k的值为_____.

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A．?1； B．?3； C．?43； D．?； 35

2006年名牌大学自主招生考试试题(2)

适用高校：上海交通大学

一、填空题(每题5分，共50分)

1．矩形ABCD中，AD=a，AB=b，过A、C作相距为h的平行线AE、CF，则AF=____．

2．一个正实数与它的整数部分，小数部分成等比数列，那么这个正实数是

_________．

3．2005！的末尾有连续________个零．

4．(x2?x?2)10展开式中，x项的系数为__________．

5．在地面距离塔基分别为100m、200m、300m的A、B、C处测得塔顶的仰角分别为

3 ?,?,?,且??????90?，则塔高为______________．

6．三人玩剪子、石头、布的游戏，在一次游戏中，三人不分输赢的概率为_____________；在一次游戏中，甲获胜的概率为___________．

7．函数y??log3(x2?ax?a)在(??,1?3)上单调递增，则实数a的取值范围是________． 8．?是x5?1的非实数根，?(??1)(?2?1)=_____________．

9．2张100元，3张50元，4张10元人民币，共可组成_______种不同的面值． 10．已知ak?k?2，则数列{an}前100项和为___________．

k!?(k?1)!?(k?2)!111,,成等差数列． abc二、解答题(第11题8分，第12、13、14题每题10分，第15题12分) 11．a,b,c?R，abc?0，b?c，a(b?c)x2?b(c?a)x?c(a?b)?0有两个相等根，求证：

x2212．椭圆2?y?1(a?1)，一顶点A(0,1)，是否存在这样的以A为直角顶点的内接于椭圆的等腰直

a角三角形，若存在，求出共有几个，若不存在，请说明理由．

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13．已知|z|=1，k是实数，z是复数，求|z2+kz+1|的最大值．

14．若函数形式为f(x,y)?a(x)b(y)?c(x)d(y),其中a(x),c(x)为关于x的多项式，b(y),d(y)为关于y的多项式，则称f(x,y)为P类函数，判断下列函数是否是P类函数，并说明理由． (1) 1+xy； (2) 1+xy+x2y2．

15．设k?9,解方程x3?2kx2?k2x?9k?27?0．

2006年名牌大学自主招生考试试题(3)

适用高校：北京大学

解答题(本大题共200分) 1.(本题20分)求和

(1)7+77+777+?+777?7 ?????n个7(2)2005+20052005+200520052005+?+20052005?2005?????????

n个2005

2.(本题15分)试构造函数f(x)、g(x),使其定义域都为(0,1),值域都为[0,1],且 (1)对于任意a?[0,1],f(x)?a只有一解;

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(2)对于任意a?[0,1],g(x)?a有无穷多个解.

3.(本题15分)对于一个四位数,其各位数字至多有两个不相同,试求共有多少个这种四位数.

*4.(本题15分)对于任意n?N，x1,x2,?,xn均为非负实数，且x1?x2???xn?1，试用数学归纳2法证明：(1?x1)(1?x2)?(1?xn)?

5.(本题20分)求证:C

1成立. 2????C???C?02n12n22n????Cn2n?n?C2n

x2?ax?b6.(本题20分)当实数a、b满足何条件时,可使2?1恒成立?

x?2x?2

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7.(本题20分)下列各式能否在实数范围内分解因式？若能，请作出分解;若不能，请说明理由． (1)x＋1；(2)x?x?1; (3) x?x?x?1；(4) x?x?x?x?1.

8.(本题20分)解三角方程：asin(x＋

232432?)=sin2x＋9，其a为实常数. 4x2?y2?1, 曲线C关于直线y=2x对称的曲线为曲线C’,曲线C’与曲线C”9.(本题20分)已知曲线C:4关于直线y＝?

2006年名牌大学自主招生考试试题(4) 适用高校:清华大学

解答题(本大题共100分)

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1x+5对称，求曲线C’、C”的方程． 2

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1．(本题10分)求最小正整数n，使得I?(?

12123i)n为纯虚数，并求出I．

2．(本题10分)已知a、b为非负数，M?a4?b4,a?b?1，求M的最值．

sin?、cos?为等差数列，sin?、sin?、cos?为等比数列，求3．(本题10分)已知sin?、1cos2??cos2?的值．

2

4．(本题10分)求由正整数组成的集合S，使S中的元素之和等于元素之积．

5．(本题15分)随机取多少个整数，才能有0.9以上的概率使得这些数中至少有一个偶数．

6．(本题15分)y?x上一点P(非原点)，在P处引切线交x、y轴于Q、R，求

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2PQPR．

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7．(本题15分)已知f(x)满足：对实数a、b有f(a?b)?af(b)?bf(a)，且f(x)?1，求证:f(x)恒为零．

(可用以下结论：若limg(x)?0,f(x)?M，M为一常数，那么lim(f(x)?g(x))?0)

x??x??

8. (本题15分)已知A、B、C为?ABC的三个内角,它们所对的边分别a、b、c,求证:

cosB?cosC?2aA?4sin. b?c2(在所有定周长的空间四边形ABCD中，求对角线AC和BD的最大值，并证明?)

2007年名牌大学自主招生考试试题(2) 适用高校:复旦大学

选择题(每题5分,共150分,答对得5分,答错扣2分,不答得0分)

1．三边均为整数，且最大边长为11的三角形，共有 个. A.20 B.26 C.30 D.36

2．若a>1,b>1且lg(a+b)=lga+lgb，则lg(a?1)+lg(b?1)= . A.lg2 B.1 C.不是与a、b无关的常数 D.0

1的值是 . z343434?i D.?i A．3＋4i B.?i C.

55151525256k?16k?1???2x)+cos(?2x)=23sin(?2x),其中x为实数且k为整数.4．已知函数f(x)=cos(3333．已知z∈C，若∣z∣＝2－4i，则则f(x)的最小正周期为 .

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A．

?? B. C.π D.2π 3255 B.a≥ C.0

6．已知平面上三角形ABC为等边三角形且每边边长为a，在AB和BC上分别取D，E两点使得AD＝BE＝

a，连接A，E两点以及C，D两点.则AE和CD之间的最小夹角为 . 3a?a??A. B. C. D.以上均不对

9337．已知数列｛an｝满足3an+1+an=4,(n≥1),且a1=9, 其前n项之和为Sn,则满足不等式∣Sn?n?6∣<

1的125最小整数是

5 . 4A.6 b.7 C.8 D.9

8．将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使用一条棱的两端点异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色方法的总数为 .

A.120 B.260 C.340 D.420

9．设甲乙两个袋子中装有若干个均匀白球和红球，且甲乙两个袋子中的球数比为1∶3.已知从甲袋中摸到红球的概率为红球率为 .

A．

12，而将甲乙两个袋子中的球装在一起后，从中摸到红球的概率为.则从乙袋中摸到337191322 B. C. D. 9454530x?110.方程f(x)=2x?1x?2x?32x?22x?3=0 的实根的个数是 .

3x?24x?34x?5A．1个 B. 2个 C.3个 D.无实根 11．已知a,b 为实数，满足(a+b)=?1,(a?b)=1,则A.0121 B.?49 C.0 D.23 12．a=

59

60

?(an?160n?bn)＝ . 1是“直线(a+2)x+3ay+1=0与直线(a?2)x+(a+2)y?3=0相互垂直”的 . 2A.充分必要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

13．设函数y=f(x)对一切实数x均满足f(2+x)=f(2?x)，且方程f(x)=0恰好有7个不同的实根，则这7个不同实根的和为 .

A.0 B.10 C.12 D.14

14.已知α，β，γ分别为某三角形中的三个内角且满足tan

???2=sinγ,则下列四个表达式:

(1)tanαtanβ=1 (2)0

A.(1)(3) B.(10(4) C.(2)(3) D.(2)(4)

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15．设Sn=1+2+…+n,n∈N.则limn??2nSn＝ .

(n?32)Sn?111 C. D.64

1632a?2i16．复数z=(a∈R,i=?1)在复平面上对应的点不可能位于 .

1?2iA.2 B.

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

17．已知f(x)=asinx+b3x＋4(a,b为实数)且f [lg(lg310)]=5，则f [lg(lg3)]= . A.?5 B.?3 C.3 D.随a,b取不同值而取不同值 18．已知四棱锥P－ABCD，底面ABCD是菱形，∠DAB＝

?，PD⊥平面ABCD，线段PD＝AD，3点E是AB的中点，点F是PD的中点，则二面角P－AB－F的平面角的余弦值＝ .

A．

1255737 B. C. D. 25141419．在(2?3)50的展开式中有 项为有理数.

A.10 B.11 C.12 D.13

20．棱长为a的正方体内有两球互相外切，且两球各与正方体的三个面相切.则两球半径之和为为 .

A．无法确定 B.a C.

3?35?5a D.a 22x2y221．在集合{1,2，…11}中任选两个作为椭圆方程2?2?1中的a和b，则能组成落在矩形区域

ab{(x,y)||x|<11,|y|<9}内的椭圆个数是 .

A.70 B.72 c.80 D.88

22．设a,b,c为非负实数，且满足方程45a?9b?4c?68?25a?9b?4c?256?0，则a+b+c 的最大值和最

小值 .

A.互为倒数 B.其和为13 C.其乘积为4 D.均不存在

23．给定正整数n和正常数a，对于满足不等式大值＝ .

A．

a12+an+12≤a

2n?1的所有等差数列a1,a2,a3,…,和式

i?n?1?a1的最

10a5a10a5an C.(n?1) D.(n?1) B.n 222224．设z0(z0≠0)为复平面上一定点，z1为复平面上的动点，其轨迹方程为|z1?z0|=|z1|,z为复平面上另

一个动点满足z1z=?1.则z在复平面上的轨迹形状是 .

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A.一条直线 B.以?11为圆心，为半径的圆

z0z0C.焦距为21的双曲线 D.以上均不对 z025．一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为 . A.

3332333?a B.?a3 C. ?a D. ?a 12424241时的定义域为 . 226．已知函数f(x)的定义域为(0,2)，则函数g(x)=f(x+c)+f(x?c) 在 0＜A.(1?c,2+c) B.(c,2?c) C.(1?c,2?c) D.(c,2+c) 27．设函数f(x)=sin(2x+?),(?π

?.则?的值为 . 8A.

?4 B.

3?3? C.－ D.2π 4428．设f(x)是定义在实数集上的周期为2的周期函数，且是偶函数.已知当x∈[2,3]时，f(x)=?x,则当x∈[－

2,0］时，f(x)的表达式为 .

A．?3+|x+1| B.2?|x+1| C.3?|x+1| D.2+|x+1|

29．当a和b取遍所有实数时，则函数f(a,b)=(a+5?3|cosb|)2+(a?2)|sinb|)2所能达到的最小值为 .

A.1 B.2 C.3 D.4 30．对任意实数x,y,定义运算xoy为xoy＝ax+by+cxy，其中a,b,c为常数，且等式右端中的运算为通常的实数加法、乘法运算.已知1o2＝3,2o3＝4且有一个非零实数d，使得对于任意实数x均有xod=x，则d= . A.－4 B.－2 C.1 D.4

2007年上海交通大学冬令营数学试题 90分钟答题时间

填空题(每小题5分，共50分)

1. 设函数f?x?满足2f?3x??f?2?3x??6x?1，则f?x??_______________. 2. 设a,b,c均为实数，且3?6?4，则

ab11??_______________. abx23. 设a?0且a?1，则方程a?1??x?2x?2a的解的个数为_______________.

4. 设扇形的周长为6，则其面积的最大值为_______________. 5. 1?1!?2?2!?3?3!???n?n!?_______________.

6. 设不等式x?x?1??y?1?y?与x?y?k的解集分别为M与N.若MüN，则k的最小值为

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_______________.

7. 设函数f?x??x，则S?1?2f?x??3f2?x???nfn?1?x??_______________. x25，则a?_______________. 28. 设a?0，且函数f?x???a?cosx??a?sinx?的最大值为

9. 6名考生坐在两侧各有通道的同一排座位上应考，考生答完试卷的先后次序不定，且每人答完后立即交卷离开座位，则其中一人交卷时为到达通道而打扰其余尚在考试的考生的概率为_______________.

10. 已知函数f1?x??2x?1*，对于n?N定义fn?1?x??f1?fn?x??，若f35?x??f5?x?，则x?1f28?x??_______________.

计算与证明题(每小题10分，共50分)

11. 工件内圆弧半径测量问题.为测量一工件的内圆弧半径R，工人用三个半径均为r的圆柱形量棒

O1,O2,O3放在如图与工件圆弧相切的位置上，通过深度卡尺测出卡尺水平面到中间量棒O2顶侧面的垂直

深度h，试写出R用h表示的函数关系式，并计算当r?10mm，h?4mm时，R的值.

h

12. 设函数f?x??sinx?cosx，试讨论f?x?的性态(有界性、奇偶性、单调型和周期性)，求其极值，并作出其在?0,2??内的图像.

13. 已知线段AB长度为3，两端均在抛物线x?y上，试求AB的中点M到y轴的最短距离此时M点的坐标.

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14. 设f?x???1?a?x4?x3??3a?2?x2?4a，试证明对任意实数a： ①方程f?x??0总有相同实根； ②存在x0，恒有f?x0??0.

15. 已知等差数列?an?是首项为a，公差为b，等比数列?bn?的首项为b，公比为a，n?1,2,3,?，其中a,b均为正整数，且a1?b1?a2?b2?a3.

①求a的值；

②若对于?an?，?bn?，存在关系式am?1?bn，试求b的值； ③对于满足②中关系式的am，试求S?a1?a2???am的值.

2007年北大自主选拔录取联合考试 数 学 试 题

1、已知f(x)?x2?53x?196?|x2?53x?196|,求f(1)?f(2)?f(3)???f(50).

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2、求证：对任意实数k,x2?y2?2kx?(2k?6)y?2k?31?0恒过两定点.

?xy?2x?y?1,?3、解方程组?yz?2z?3y?8,

?xz?4z?3x?8.?

4、长方体中a,b,c为棱长，a?b?c，求沿长方体表面从P到Q的最小距离（其中P,Q是长方体对

角线的两个端点).

5.(本题20分)已知a>0,b>0,求证:

111n. ?????a?ba?2ba?nb1??n?1??a?ba?b????22????

2007届清华大学保送生暨自主招生北京冬令营数学笔试试题(2006年12月30日)

ex1.求f(x)?的单调区间及极值.

x

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2.设正三角形T1边长为a，Tn?1是Tn的中点三角形，An为Tn除去Tn?1后剩下三个三角形内切圆面积之和.求limn???Ak?1nk.

3.已知某音响设备由五个部件组成，A电视机，B影碟机，C线路，D左声道和E右声道，其中每个部件工作的概率如下图所示.能听到声音，当且仅当A与B中有一工作，C工作，D与E中有一工作；且若D和E同时工作则有立体声效果.

D 0.94 A 0.90

C 0.95

B 0.95 E 0.94

求：(1)能听到立体声效果的概率； (2)听不到声音的概率.

4.(1)求三直线x?y?60，y?1x，y?0所围成三角形上的整点个数； 2?y?2x,? (2)求方程组?y?1x,的整数解个数.

?2???x?y?60

5.已知A(?1,?1)，△ABC是正三角形，且B、C在双曲线xy?1(x?0)一支上. (1)求证B、C关于直线y?x对称； (2)求△ABC的周长.

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2?r?0，使得{P?R2PP0?r}?M.判6.对于集合M?R，称M为开集，当且仅当?P0?M，

断集合{(x,y)4x?2y?5?0}与{(x,y)x?0,y?0}是否为开集，并证明你的结论.

2008年名牌大学自主招生考试试题(1) 适用高校:复旦大学

1.已知a,b,c是不完全相等的任意实数.若x?a2?bc,y?b2?ac,z?c2?ab，则x,y,z的值_______.

A、都大于0； C、至少有一个小于0；

B、至少有一个大于0； D、都不小于0

2.已知关于x的方x2?6x?(a?2)|x?3|?9?2a?0有两个不同的实数根，则系数a的取值范围是_______.

A、a?0或a??2； 3.在二项式(x?12B、a?0； C、a?2或a?0； D、a??2

1n)的展开式中，若前3项的系数成等差数列，则展开式的有理项的项数为_____. 12x4A、2； B、3；

C、4；

D、5

4.设a1和a2为平面上两个长度为1的不共线向量，且它们和的模长满足|a1?|a2|?3.则

??????????(2a1?5a2)?(3a1?a2)?_____.

A、

1； 2

B、?1； 2 C、

11； 2

D、?11 2第 25 页 共 75 页