北京市西城区2002年高级中等学校统一考试

北京市西城区2002年高级中等学校统一考试

数学试卷

第Ⅰ卷（选择题50分）

一．下列各题均有四个选顶，其中只有一个是正确的．（本题共50分，1—10小题每题3分，11—15小题每题4分） 1．下列运算中正确的是（ ） A．a·a＝a

2

3

6

B．4?2

C．（3－π）＝0 D．3＝－9

0－2

2．点A（－3，2）关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（－3，2）

B．（3，2）

C．（3，－2）

D．（2，－3）

3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．圆

B．等腰梯形

C．等边三角形

D．正五边形

4．人类的遗传物质就是DNA，人类的DNA是很长的链，最短的22号染色体也长达30000000个核苷酸，3000000用科学记数法表示为（ ）

8 A．3×10

7

B．3×10

6

C．3×10

8

D．0.3×10

5．如果两圆的公切线有且只有一条，那么这两个圆的位置关系是（ ） A．相交

2

B．外离 C．内切 D．外切

6．抛物线y＝x－2＋1的对称轴是（ ） A．直线x＝1

B．直线x＝－1 C．直线x＝2

D．直线x＝－2

7．如图，△ABC中，DE∥BC，如果AD＝1，DB＝2，那么

DE的值为（ ） BC A．

2 3

B．

1 4 C．

1 3 D．

1 2 8．如图，BC是⊙O的直径，P是CB延长线上一点，PA切⊙O于点A，如果PA＝3，

PB＝1，那么，∠APC等于（ ）

A．15° B．30° C．45° D．60°

9．斜拉桥是利用一组组钢索，把桥面重力传递到耸立在两岔的高塔上的桥梁，它不须建造桥墩（如右上图）．右下图中A1B1．A2B2?、A5B5是斜拉桥上5条互相平行的钢索，并且B1B2B3B4B5被均匀地固定在桥上，如果桥长的钢索A1B1＝80m，最短的钢索A5B5＝20m，那么钢索A2B2、A3B3的长分别为（ ）

A．50m、65m

B．50m、35m D．40m、42.5m

C．50m、57.5m

2

10．关于x的方程x－kx＋k－2＝0的根的情况是（ ） A．有两个不相等的实数根 C．无实数根

2

B．有两个相等的实数根 D．不能确定

11??3?? 11．用换元法解方程?x????3x??＝－2时，如果设x－＝y，那么原方程可

xx??x??化为（ ）

A．y＋3y＋2＝0 C．y＋3y－2＝0

22

B．y－3y－2＝0 D．y－3y＋2＝0

2

2

12．如果圆柱的高为20cm，底面半径是高的

1，那么这个圆柱的侧面积是（ ） 4

2

A．100πcm

2

B．200πcm

C．500πcm2 D．200cm

2

13．如果关于x的方程2x－7x＋m＝0的两个实数根互为倒数，那么m的值为（ ） A．

2

1 2 B．－

1 2 C．2 D．－2

14．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题，“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝10寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为（ ）

A．

25寸 2 B．13寸 C．25寸 D．26寸

15．如图一定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安，那么通过这一电阻的电流I随它两端电压U变化的图象是（ ）

（A） （B） （C） （D）

第Ⅱ卷 （共70分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分） 1．在函数y＝

1中，自变量x的取值范围是__________． 2x?12

2

2．分解因式：a＋2a－b＋1＝__________．

3．某风景区改造，需测量湖两岸游船码头A、B间的距离，设计人员由码头A沿与

AB垂直的方向前进了500米到达C处（如图）测得∠ACB＝60°，则这两个码头间的AB

＝__________米（答案可带根号）．

4．如果反比例函数y＝

k的图象经过点P（－3，1），那么k＝__________． x2

2

5．如果?是锐角，且sin ?＋cos 35°＝1，那么?＝__________． 6．观察下列各式：

213

24

35

4 213×3＝

24×4＝

35×5＝

4×2＝

＋2， ＋3， ＋4， ＋5，

??

想一想，什么样的两数之积等于这两数之和？设n表示整数，用关于n的等式表示这个规律为：_____×_____＝_____＋_____．

三、（本题共18分，1、2小题每题4分，3、4小题每题5分） 1．计算：?23? 解：

12?12．

?5x?2?3x?4，? 2．解不等式组?x?8

??x．??3 解：

3．已知：如图，四边形ABCD是平行四边行，E、F是直线BD上的两点，且DE＝

DF，

求证：AE＝CF． 证明：

4．已知：如图，D、F是△ABC是边AB、AC上的点，∠A＝35°，∠C＝85°，∠

AED＝60°

求证：AD·AB＝AE·AC． 证明：

四、（本题共10分，1小题4分，2小题6分）

1．在北京市“危旧房改造”中，小强一家搬进了回龙观小区，这个小区冬季用家庭燃气炉取暖，为了估算冬季取暖第一个月使用天然气的开支情况，从11月15日起，小强连续八天每天晚上记录了天然气表显示的读数，如下表［注：天然气表上先后两次显示的读数之差就是这段时间内使用天然气的数量（单位：m）］：

日期 天然气表显示读数 （单位：m） 小强的妈妈11月15日买了一张面值600元的天然气使用卡，已知每立方米天然气1.70元，请你估算这张卡够小强家用一个月（按30天计算）吗？为什么？

33

15日 16日 17日 18日 19日 20日 21日 22日 220 229 241 249 259 270 279 290

2．（1）据2001年中国环境状况公报，我国由水蚀和风蚀造成的水土流失面积达356万平方公里，问水蚀与风蚀造成的水土流失面积各多少万平方公里？

（2）某省重视治理水土流失问题，2001年治理了水土流失面积400平方公里，该省逐年加大治理力度，计划今明两年每年治理水土流失面积都比前一年增长一个相同的百分数，到2003年底，使这三年治理的水土流失面积达到1324平方公里，求该省今明两年治理水土流失面积每年增长的百分数． 解：（1） （2）

五、（本题8分）

已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．

（1）当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交

AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；

（图1）

（2）当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；

（图2） （图3）

猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对你的猜想加以证明．

解：（1）测量结果； （2）图2中的测量结果； 图3的测量结果： 猜想： 证明：

六、（本题8分）

?y??m?1??2， （1）已知：关于x，y的方程组?有两个实数解，求m2?y???m?1?x??m?5?x?6，的取值范围；

（2）在（1）的条件下，若抛物线y＝－（m＋1）x＋（m－5）x＋6与x轴交于A、

2

B两点，与y轴交于点C，且△ABC的面积等于12，确定此抛物线及直线y＝（m＋1）x

－2的解析式；

（3）你能将（2）中所得抛物线平移，使其顶点在（2）中所得的直线上吗?请写一种平移方法； 解：（1） （2） （3）

七、（本题8分）

已知：在平面直角坐标xOy中，点A（0，4），点B和点C在x轴上（点B在点C的左边），点C在原点的右边，作BE⊥AC，垂足为E（点E在线段AC上，且点E与点A不重合），直线BE与y轴交于点D，若BD＝AC． （1）求点B的坐标；

（2）设OC长为m，△BOD的面积为S，求S与m的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；

（3）当m＝5时，求点D的坐标及sin∠BDO的值． 解：（1） （2） （3）

北京市西城区2002年高级中等学校招生统一考试

数学试卷答案及评分标准

第Ⅰ卷 （选择题 50分）

一、选择题（1－10小题每题3分，11－15小题每题4分）

题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 B 5 C 6 A 7 C 8 B 9 A 10 11 12 13 14 15 A D B C D D 第Ⅱ卷 （共70分）

二、填空题（本题共18分，每小题3分）

1； 2．（a＋b＋1）（a－b＋1）； 2n?1n?1??n?1????n?1?． 6．nn 1．x?3．5003；

4．－3；5．35；

三、（本题共18分，1、2小题每题4分，3、4小题每题5分） 1．计算：?23?12?12．

解：?23?12?12

＝23?2?23 ?????????????????????????3分 2 ＝

2． ??????????????????????????????4分 2?5x?2?3x?4，①? 2．解不等式组?x?8

??x．②?3? 解：解不等式①，得 x＜3． ??????????????????????2分 解不等式②，得 x＋8＞－3， ?????????????????????3分 x＞－2

在数轴上表示不等式①，②的解集．

∴ 不等式组的解集是 －2＜x＜3． ??????????????????4分 3．已知：如图，四边形ABCD是平行四边行，E、F是直线BD上的两点，且DE＝

DF．

求证：AE＝CF． 证明：

∵ 四边形ABCD是平行四边形，

∴ AD∥BC，AD＝BC， ???????????????????????1分 ∴ ∠1＝∠2． ????????????????????????????2分 ∵ BD是直线，

∴ ∠1＋∠3＝180°，∠2＋∠4＝180°．

∴ ∠3＝∠4． ????????????????????????????3分 在△ADE与△CBF中，

?AD?CB，? ??3??4，

?DE?BF．? ∴ △ADE≌△CBF． ????????????????????????4分 ∴ AE＝CF． ????????????????????????????5分 4．已知：如图，D、F是△ABC是边AB、AB上的点，∠A＝35°，∠C＝85°， ∠AED＝60°．

求证：AD·AB＝AE·AC． 证明：在△ABC中，

∵ ∠A＝35°，∠C＝85°，

∴ ∠B＝60°． ??????????2分 ∵ ∠AED＝60°． ∴ ∠AED＝∠B． ∵ ∠A＝∠A， ∴ △AED∽△ABC

∴

AEAD?． ABAC ∴ AD·AB＝AE·AC． ???????????????????????5分 四、（本题共10分，1小题4分，2小题6分） 1．解：小强家这一周平均每天用天然气10m．

由此估计小强家冬季取暖第一个月使用天然气约为300m． ∵ 1.7×300＝510＜600，

∴ 估计这张卡够小强家用一个月． ???????????????????4分 2．解：（1）设水蚀造成的水土流失面积为x万平方公里， 则风蚀造成的水土流失面积为（x＋26）万平方公里．

依题意，得x＋（x＋26）＝356． ????????????????????1分 解这个方程，得x＝165． ????????????????????????2分 ∴ x＋26＝191．

答：水蚀与风蚀造成的水土流失面积为165万平方公里和191万平方公里． ??3分 （2）设该省今明两年治理水土流失面积每年增长百分数为x， 依题意，得

400＋400（1＋x）＋400（1＋x）＝1324． ????????????????4分 整理，得100x＋300x－31＝0． 解得 x1＝0.1，x2＝－3.1．

x2＝－3.1不合题意，所以只能取x1＝0.1＝10%．

答：平均每年增长百分数为10%． ???????????????????6分 五、（本题8分）

已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．

（1）当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连结AC，作∠APC的平分线，交

2

2

3

3

AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；

（图1）

（2）当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连结AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写做法，保留作图痕迹），设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；

（图2） （图3）

猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化?请对你的猜想加以证明． 解：

（1）测量结果：∠CDP＝45°． （2）（作图略）

图2中的测量结果：∠CDP＝45° 图3中的测量结果：∠CDP＝45°

猜想：∠CDP＝45°为确定的值，∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化． ????????????????????????????????4分 （注：其中图2、图3作图正确，各得1分） 证法一：连结BC， ∵ AB是⊙O的直径，

∴ ∠ACB＝90°． ∵ PC切⊙O于点C， ∴ ∠1＝∠A． ∵ PD平分∠APC， ∴ ∠2＝∠3．

∵ ∠4＝∠1＋∠2，∠CDP＝∠A＋∠3，

∴ ∠CDP＝∠4＝45°． ???????????????????????8分 ∴ 猜想正确． 证法二：连结OC． ∵ PC切⊙O于点C， ∴ PC⊥OC．

∴ ∠1＋∠CPO＝90°． ∵ PD平分∠APC， ∴ ∠2＝

1∠CPO． 2 ∵ OA＝OC， ∴ ∠A＝∠3． ∵ ∠1＝∠A＋∠3， ∴ ∠A＝

1∠1． 21（∠1＋∠CPO）＝45°． ??????????8分 2 ∴ ∠CDP＝∠A＋∠2＝ ∴ 猜想正确． 六、（本题8分）

解：（1）把①代入②，整理，得 （m＋1）x＋6x－8＝0． （ⅰ）当m≠－1时， ∵ 原方程组有两个实数解，

∴ 关于x的一元二次方程（m＋1）x＋6x－8＝0必有两个不相等的实数根． ∴ Δ＝36＋32（m＋1）＞0

2

2

17 817 ∴ m＞－ 且m≠－1．

8 解得m＞－

（ⅱ）当m＝－1时，

4??x?， 解得 ?3 原方程组只有一个实数解．

??y??2， ∴ m≠－1

综上，m的取值范围是m＞－

17且m≠－1． ??????????????3分 8 （2）设点A（x1，0）、B（x2，0），

则x1、x2是关于x的一元二次方程（m＋1）x－（m－5）x－6＝0的两个实数根． ∴ x1＋x2＝

2

m?5?6，x1 x2＝． m?1m?1 ∵ 抛物线与y轴交于点C， ∴ C（0，6）． ∵ S△ABC＝12，

1·AB·6＝12， 21 ∴ ·︱x2－x1︱·6＝12

2 ∴

∴ ︱x2－x1︱＝4 ∴（x1＋x2）－4x1x2＝16 整理，得5m＋6m－11＝0 解得m1＝1，m2＝－

22

11 511是此分式方程的解. 5 经检验， m1＝1，m2＝－ ∵ －

1117＜－， 5811 ∴ m2＝－不合题意，舍去．

5 又当m＝1时，Δ＝［－（m－5）］－4（m＋1）·（－6）＝64＞0，

2

∴ m＝1．

∴ 所求的抛物线的解析式为y＝－2x－4x＋6， ??????????????6分 所求直线解析式为y＝2x－2． ????????????????????7分 （3）

2

（第（3）问图）

∵ 抛物线y＝－2x－4x＋6的顶点坐标为（－1，8），直线解析式为y＝2x－2， ∴ 方法一：将此抛物线向下平移12个单位，其顶点在直线y＝2x－2上． 方法二：将此抛物线向右平移6个单位，其顶点在直线y＝2x－2上．

???????????????????????8分

（注：此题答案不唯一，只要平移方法回答正确，即可得1分） 七、（本题8分）

2

图（1） 图（2）

解：（1）依题意，分两种情况： ①当点B在原点的左边（如图1）时，

在Rt△AOC中， ∵ ∠AOC＝90°， ∴ ∠1＋∠3＝90°． ∵ BE⊥AC，垂足为E， ∴ ∠BED＝90°． ∴ ∠1＝∠2．

在Rt△AOC和Rt△BOD中，

??AOC??BOD,? ??1??2,

?AC?BD,? ∴ Rt△AOC≌Rt△BOD． ∴ OA＝OB， ∵ A（0，4）， ∴ B（－4，0）．

②当点B在原点的右边（如图2）时，同①可证得OA＝OB， ∴ B（4，0）．

∴ B点的坐标为（－4，0）或（4，0）． ????????????????2分 （2）图1中，

∵ Rt△AOC≌Rt△BOD， ∴ OC＝OD＝m． ∴ S＝

11·OB·OD＝·4·m． 22 ∴ S＝2m． 其中0＜m＜4． 图2中，

同理可得，S＝2m． 其中m＞4．

∴ 所求函数关系式为S＝2m，其中m＞0且m≠4． ???????????6分 （3）当m＝5时，（如图2）， OD＝OC＝5．

依题意，点D只能在原点下方，

∴ D（0，－5）． ??????????????????????????7分 在Rt△BOD中，由勾股定理可得BD＝41． ∴ sin∠BDO＝

OB4441． ?????????????????8分 ??BD4141

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