圆的方程 Microsoft Word 文档
更新时间:2023-08-09 05:50:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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圆的方程
1. 圆的标准方程
(1) 以(a,b)为圆心,r (r>0)为半径的圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2. (2) 特殊的,x2+y2=r2
(r>0)的圆心为(0,0),半径为r.
2. 圆的一般方程
方程x2+y2+Dx+Ey+F=0变形为
2222DED+E-4F x+ + y+ =. 2 2 4
DE 22 (1) 当D+E-4F>0时,方程表示以 -2,-2 ; (2) 当D2+E2-4F=0时,该方程表示一个点 (3) 当D2+E2-4F<0时,该方程不表示任何图形.
3. 确定圆的方程的方法和步骤
确定圆的方程的主要方法是待定系数法,大致步骤为:
(1) 设所求圆的标准方程或圆的一般方程;
(2) 根据条件列出关于a,b,r的方程组或关于D,E,F的方程组;
(3) 求出a,b,r或D,E,F的值,从而确定圆的方程.
4. 点与圆的位置关系
点M(x0,y0)与圆(x-a)2+
(y-b)2=r2的位置关系:
(1) 若M(x0,y0)在圆外,则(x0-a)2+(y0-b)2>r2.
(2) 若M(x0,y0)222
(3) 若M(x0,y0)00
1. 方程x2+y2-6x=0表示的圆的圆心坐标是________;半径是__________. 答案:(3,0) 3
解析:(x-3)2+y2=9,圆心坐标为(3,0),半径为3.
2. 以两点A(-3,-1)和B(5,5)为直径端点的圆的方程是_________.
答案:(x-1)2+(y-2)2=25
3. (必修2P102习题1(3)改编)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的圆的方程为______________.
答案:x2+(y-2)2=1
解析:设圆的方程为x2+(y-b)2=1,此圆过点(1,2),所以12+(2-b)2=1,解得b=
2.故所求圆的方程为x2+(y-2)2=1.
4. (必修2P112习题8改编)点(1,1)在圆(x-a)2+(y+a)2=4内,则实数a的取值范围是________.
答案:(-1,1)
解析:∵ 点(1,1)在圆的内部,∴ (1-a)2+(1+a)2<4,∴ -1<a<1.
1. 已知圆C关于y轴对称,经过点(1,0)且被x轴分成两段弧长之比为1∶2,则圆C的方程为________.
3242 答案:x+= 33
2π解析:由题可知圆心在y轴上,且被x轴所分劣弧所对圆心角为,设圆心(0,b),3
ππ2333半径为r,则rsin1,rcos=|b|,解得r=,|b|=,即b=.故圆的方程为x2+ 3333 3 24=3
4. 若直线l:ax+by+4=0(a>0,b>0)始终平分圆C:x2+y2+8x+2y+1=0,则ab的最大值为________.
答案:1
11解析:圆C的圆心坐标为(-4,-1),则有-4a-b+4=0,即4a+b=4.所以ab=≤44
22 4a+b 1× 4 =1.当且仅当a=1
,b=2取得等号. 2 2 4 2
练习
1. 圆x2+y2-4x=0在点P(13)处的切线方程为________.
答案:x-3y+2=0
2. (必修2P115练习1改编)已知圆(x-1)2+(y+2)2=6与直线2x+y-5=0的位置关系是________.
3. (必修2P115练习4改编)若圆x2+y2=1与直线y=kx+2没有公共点,则实数k的取值范围是________.
答案:(-3,3)
4. (必修2P107习题4改编)以点(2,-2)为圆心并且与圆x2+y2+2x-4y+1=0相外切的圆的方程是________.
答案:(x-2)2+(y+2)2=9
5.自点A(-3,3)发出的光线l射到x轴上,被x轴反射,反射光线所在的直线与圆C:2x+y2-4x-4y+7=0相切.求:
(1) 光线l和反射光线所在的直线方程;
(2) 光线自A到切点所经过的路程.
解:根据对称关系,首先求出点A的对称点A′的坐标为(-3,-3),其次设过A′的圆C的切线方程为
y=k(x+3)-3.
43根据d=r,即求出圆C的切线的斜率为k=k 34
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
4x-3y+3=0或3x-4y-3=0.
最后根据入射光与反射光关于x轴对称,求出入射光所在直线方程为4x+3y+3=0或3x+4y-3=0.
光路的距离为|A′M|,可由勾股定理求得
|A′M|=|A′C|-|CM|=7.
222
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