全国卷高考导数知识点归纳应用

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导数知识点归类总结

目 录

一、导数单调性、极值、最值的直接应用 (1) 二、交点与根的分布 (23) 三、不等式证明 (31)

(一)作差证明不等式

(二)变形构造函数证明不等式 (三)替换构造不等式证明不等式

四、不等式恒成立求字母范围 (51)

(一)恒成立之最值的直接应用 (二)恒成立之分离常数

(三)恒成立之讨论字母范围

五、函数与导数性质的综合运用 (70) 六、导数应用题 (84)

七、导数结合三角函数 (85)

书中常用结论

⑴sinx?x,x?(0,?),变形即为点连线斜率小于1. ⑵ex?x?1 ⑶x?ln(x?1) ⑷lnx?x?ex,x?0.

sinx?1,其几何意义为y?sinx,x?(0,?)上的的点与原x 1

一、导数单调性、极值、最值的直接应用

1. (切线)设函数f(x)?x2?a.

(1)当a?1时,求函数g(x)?xf(x)在区间[0,1]上的最小值;

(2)当a?0时,曲线y?f(x)在点P(x1,f(x1))(x1?a)处的切线为l,l与x轴交于点A(x2,0)求证:x1?x2?a.

解:(1)a?1时,g(x)?x3?x,由g?(x)?3x2?1?0,解得x?? g?(x)的变化情况如下表: x 3. 30 0 (0,3) 3g?(x) g(x) - 3 30 (3,1) 31 + 0 ↘ 极小值 ↗ 3323时,g(x)有最小值g()??. 339(2)证明:曲线y?f(x)在点P(x1,2x12?a)处的切线斜率k?f?(x1)?2x1

所以当x? 曲线y?f(x)在点P处的切线方程为y?(2x12?a)?2x1(x?x1). x12?ax12?aa?x12?x1? 令y?0,得x2?,∴x2?x1?

2x12x12x1a?x12?0,即x2?x1. ∵x1?a,∴

2x1x1x12?ax1xaaa???21??a 又∵?,∴x2?22x12x122x122x1 所以x1?x2?a.

2. (2009天津理20,极值比较讨论)

已知函数f(x)?(x2?ax?2a2?3a)ex(x?R),其中a?R ⑴当a?0时,求曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率;

w.w.w..s.5.u.c.o.m ⑵当a?2时,求函数f(x)的单调区间与极值. 3解:本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。

⑴当a?0时,f(x)?x2ex,f'(x)?(x2?2x)ex,故f'(1)?3e.

所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率为3e. ⑵f'(x)?x2?(a?2)x?2a2?4aex.

2令f'(x)?0,解得x??2a,或x?a?2.由a?知,?2a?a?2.

3??w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 以下分两种情况讨论:

2

①若a>

2,则?2a<a?2.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表: 3x ???,?2a? ?2a ??2a,a?2? a?2 ?a?2,??? + ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ 所以f(x)在(??,?2a),(a?2,??)内是增函数,在(?2a,a?2)内是减函数. 函数f(x)在x??2a处取得极大值f(?2a),且f(?2a)?3ae?2a.

函数f(x)在x?a?2处取得极小值f(a?2),且f(a?2)?(4?3a)ea?2.

2②若a<,则?2a>a?2,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:

3x ???,a?2? a?2 ?a?2,?2a? ?2a ??2a,??? w.w.w..s.5.u.c.o.m + ↗ 0 极大值 — ↘ 0 极小值 + ↗ 所以f(x)在(??,a?2),(?2a,??)内是增函数,在(a?2,?2a)内是减函数。函数f(x)在x?a?2处取得极大值f(a?2),且f(a?2)?(4?3a)ea?2. 函数f(x)在x??2a处取得极小值f(?2a),且f(?2a)?3ae?2a.

w.w.w..s.5.u.c.o.m

12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b. 2⑴设两曲线y?f(x)与y?g(x)有公共点,且在公共点处的切线相同,若a?0,试建立b 关于a的函数关系式,并求b的最大值;

⑵若b?[0,2],h(x)?f(x)?g(x)?(2a?b)x在(0,4)上为单调函数,求a的取值范围。

3. 已知函数f(x)?

3

4. (最值,按区间端点讨论)

a. x(1)当a>0时,判断f(x)在定义域上的单调性;

3(2)若f(x)在[1,e]上的最小值为,求a的值.

2已知函数f(x)=lnx-

解:(1)由题得f(x)的定义域为(0,+∞),且 f ′(x)=1ax?a. +2=2xxx∵a>0,∴f ′(x)>0,故f(x)在(0,+∞)上是单调递增函数. (2)由(1)可知:f ′(x)=

x?a, 2x33,∴a=- (舍去). 22①若a≥-1,则x+a≥0,即f ′(x)≥0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为增函数, ∴f(x)min=f(1)=-a=

②若a≤-e,则x+a≤0,即f ′(x)≤0在[1,e]上恒成立,此时f(x)在[1,e]上为减函数, ∴f(x)min=f(e)=1-

ea3=,∴a=-(舍去).

2e2③若-e

当10,∴f(x)在(-a,e)上为增函数, ∴f(x)min=f(-a)=ln(-a)+1=综上可知:a=-e.

5. (最值直接应用)已知函数f(x)?x?(Ⅱ)求f(x)的单调区间;

(Ⅲ)若f(x)在[0,??)上的最大值是0,求a的取值范围. 解:(Ⅰ)f?(x)?3?a=-e. 212ax?ln(1?x),其中a?R. 2(Ⅰ)若x?2是f(x)的极值点,求a的值;

x(1?a?ax),x?(?1,??).

x?111依题意,令f?(2)?0,解得 a?. 经检验,a?时,符合题意.

33 4

(Ⅱ)解:① 当a?0时,f?(x)?x. x?1故f(x)的单调增区间是(0,??);单调减区间是(?1,0).

1② 当a?0时,令f?(x)?0,得x1?0,或x2??1.

a当0?a?1时,f(x)与f?(x)的情况如下:

x f?(x) f(x) (?1,x1) ? ↘ x1 0 (x1,x2) x2 0 (x2,??) ? ↗ ? ↘ f(x1) f(x2) 所以,f(x)的单调增区间是(0,11?1);单调减区间是(?1,0)和(?1,??). aa当a?1时,f(x)的单调减区间是(?1,??). 当a?1时,?1?x2?0,f(x)与f?(x)的情况如下:

x f?(x) f(x) (?1,x2) ? ↘ x2 0 (x2,x1) x1 0 (x1,??) ? ↗ ? ↘ f(x2) f(x1) 11?1,0);单调减区间是(?1,?1)和(0,??). aa③ 当a?0时,f(x)的单调增区间是(0,??);单调减区间是(?1,0). 综上,当a?0时,f(x)的增区间是(0,??),减区间是(?1,0);

11当0?a?1时,f(x)的增区间是(0,?1),减区间是(?1,0)和(?1,??);

aa当a?1时,f(x)的减区间是(?1,??);

11当a?1时,f(x)的增区间是(?1,0);减区间是(?1,?1)和(0,??).

aa(Ⅲ)由(Ⅱ)知 a?0时,f(x)在(0,??)上单调递增,由f(0)?0,知不合题意.

1当0?a?1时,f(x)在(0,??)的最大值是f(?1),

a1由f(?1)?f(0)?0,知不合题意.

a当a?1时,f(x)在(0,??)单调递减,

可得f(x)在[0,??)上的最大值是f(0)?0,符合题意. 所以,f(x)在[0,??)上的最大值是0时,a的取值范围是[1,??).

所以,f(x)的单调增区间是(

6. (2010北京理数18)

5

x2x(k≥0). 2(Ⅰ)当k=2时,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程; (Ⅱ)求f(x)的单调区间.

1?1?2x 解:(I)当k?2时,f(x)?ln(1?x)?x?x2,f'(x)?1?x3由于f(1)?ln2,f'(1)?,

23所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y?ln2?(x?1)

2 即3x?2y?2ln2?3?0

x(kx?k?1)(II)f'(x)?,x?(?1,??).

1?xx. 当k?0时,f'(x)??1?x所以,在区间(?1,0)上,f'(x)?0;在区间(0,??)上,f'(x)?0. 故f(x)得单调递增区间是(?1,0),单调递减区间是(0,??).

x(kx?k?1)1?k?0,得x1?0,x2??0 当0?k?1时,由f'(x)?1?xk1?k1?k,??)上,f'(x)?0;在区间(0,)上,f'(x)?0 所以,在区间(?1,0)和(kk1?k1?k,??),单调递减区间是(0,). 故f(x)得单调递增区间是(?1,0)和(kkx2 故f(x)得单调递增区间是(?1,??). 当k?1时,f'(x)?1?xx(kx?k?1)1?k?0,得x1??(?1,0),x2?0. 当k?1时,f'(x)?1?xk1?k1?k)和(0,??)上,f'(x)?0;在区间(,0)上,f'(x)?0 所以没在区间(?1,kk1?k1?k)和(0,??),单调递减区间是(,0) 故f(x)得单调递增区间是(?1,kk已知函数f(x)=ln(1+x)-x+

7. (2010山东文21,单调性)

1?a?1(a?R) x ⑴当a??1时,求曲线y?f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;

1 ⑵当a?时,讨论f(x)的单调性.

2解:⑴x?y?ln2?0

已知函数f(x)?lnx?ax? 6

1?a?1, x1a?1ax2?x?1?a 所以 f'(x)??a?2??,x?(0,??), 2xxx2 令 g(x)?ax?x?1?a,x?(0,??),

⑵因为 f(x)?lnx?ax?

8. (是一道设计巧妙的好题,同时用到e底指、对数,需要构造函数,证存在且唯一时结合零

点存在性定理不好想,⑴⑵联系紧密) 已知函数f(x)?lnx,g(x)?ex. ⑴若函数φ (x) = f (x)-

x+1,求函数φ (x)的单调区间; x-1⑵设直线l为函数f (x)的图象上一点A(x0,f (x0))处的切线,证明:在区间(1,+∞)上存在唯一的x0,使得直线l与曲线y=g(x)相切.

x?112x?1x?1?lnx?解:(Ⅰ) ?(x)?f?x??,???x???. ?x?1x?1x?x?1?2x??x?1?2∵x?0且x?1,∴???x??0∴函数?(x)的单调递增区间为?0,1?和?1,???. (Ⅱ)∵f?(x)?11 ,∴f?(x0)?,

x0x2∴ 切线l的方程为y?lnx0?11(x?x0), 即y?x?lnx0?1, ① x0x0x设直线l与曲线y?g(x)相切于点(x1,e1),

11?lnx,∴x1??lnx0,∴g(x1)?e0?. x0x0lnx01111 ∴直线l也为y???x?lnx0?, 即y?x??, ②

x0x0x0x0x0lnx01x?1 由①②得 lnx0?1??,∴lnx0?0.

x0?1x0x0∵g?(x)?ex,∴e1?x 下证:在区间(1,+?)上x0存在且唯一. 由(Ⅰ)可知,?(x)?lnx?x?1(1,+?)在区间上递增.

x?17

e?1?2e2?1e2?322又?(e)?lne???0,?(e)?lne?2??0,

e?1e?1e?1e2?1结合零点存在性定理,说明方程?(x)?0必在区间(e,e2)上有唯一的根,这个根就是所求的唯一x0,故结论成立.

9. (最值应用,转换变量)

2ax2?1设函数f(x)?(2?a)lnx?(a?0).

x(1)讨论函数f(x)在定义域内的单调性;

(2)当a?(?3,?2)时,任意x1,x2?[1,3],(m?ln3)a?2ln3?|f(x1)?f(x2)|恒成立,求实数m的取值范围.

2?a12ax2?(2?a)x?1(ax?1)(2x?1)?2a?2??解:⑴f?(x)?. 22xxxx111111当a??2时,??,增区间为(?,),减区间为(0,?),(,??).

a2a2a211当a??2时,??,减区间为(0,??).

a2111111当?2?a?0时,??,增区间为(,?),减区间为(0,),(?,??).

a22a2a⑵由⑴知,当a?(?3,?2)时,f(x)在[1,3]上单调递减,

1∴x1,x2?[1,3],|f(x1)?f(x2)|≤f(1)?f(3)?(1?2a)?[(2?a)ln3??6a],

32即|f(x1)?f(x2)|≤?4a?(a?2)ln3.

3∵(m?ln3)a?2ln3?|f(x1)?f(x2)|恒成立,

22∴(m?ln3)a?2ln3>?4a?(a?2)ln3,即ma??4a,

332?4. 又a?0,∴m?3a1323813??4??,∴m≤?. ∵a?(?3,?2),∴?33a9310. (最值应用)

已知二次函数g(x)对?x?R都满足g(x?1)?g(1?x)?x2?2x?1且g(1)??1,设函数

19f(x)?g(x?)?mlnx?(m?R,x?0).

28(Ⅰ)求g(x)的表达式;

(Ⅱ)若?x?R?,使f(x)?0成立,求实数m的取值范围;

(Ⅲ)设1?m?e,H(x)?f(x)?(m?1)x,求证:对于?x1,x2?[1,m],恒有

|H(x1)?H(x2)|?1.

2解:(Ⅰ)设g?x??ax?bx?c,于是

8

?a?1,?2 g?x?1??g?1?x??2a?x?1??2c?2?x?1??2,所以???c??1.1121又g?1???1,则b??.所以g?x??x?x?1. …………3分

2221912(Ⅱ)f(x)?gx??mlnx??x?mlnx(m?R,x?0).282

当m>0时,由对数函数性质,f(x)的值域为R;…………4分

x2?0对?x?0,f(x)?0恒成立; …………5分 当m=0时,f(x)?2m当m<0时,由f?(x)?x??0?x??m,列表:

x22??x f?(x) (0,?m) ?m (?m,??) - 减 0 极小 + 增 f(x) 这时,?mln?m. ?f(x)?min?f(?m)??m2?m??mln?m?0,??e

故?x?0使f(x)?0成立,实数m的取值范围(??,?e]??0,???.…………9分 (x?1)(x?m)?0,所以H(x)在[1,m]内单调递减.

x121于是|H(x1)?H(x2)|?H(1)?H(m)?m?mlnm?.22

1113|H(x1)?H(x2)|?1?m2?mlnm??1?m?lnm??0.

2222m213113311(1?m?e),则h'(m)??? ???1?0,记h(m)?m?lnm?22m2m2m3322m13所以函数h(m)?m?lnm?在?1,e]是单调增函数,

22me3?e?3??e?1? 所以h(m)?h(e)??1???0,故命题成立. …………12分 22e2e(Ⅲ)因为对?x?[1,m],H?(x)???

23?x11. 设x?3是函数f?x??x?ax?be,?x?R?的一个极值点.

??(1)求a与b的关系式(用a表示b),并求f?x?的单调区间;

2(2)设a?0,g?x???a???25?x?e,若存在?1,?2??0,4?,使得f??1??g??2??1 成立,求a的4?取值范围.

解:(1)∵f?x??x?ax?be2??3?x

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23?x?x?a?2x?b?ae 由题意得:???x???2x?a?e3?x??x2?ax?b?e3?x??1??????f'?3??0,即32?3?a?2??b?a?0,b??2a?3

'3?x23?x∴f?x???x?ax?2a?3?e且f?x????x?3??x?a?1?e

'令f?x??0得x1?3,x2??a?1

23?x∵x?3是函数f?x???x?ax?b?e,?x?R?的一个极值点

∴f''∴x1?x2,即a??4

故a与b的关系式为b??2a?3,?a??4?.

?x??0得单增区间为:?3,?a?1?;

'由f?x??0得单减区间为:???,3?和??a?1,???;

'当a??4时,x2??a?1?3,由f?x??0得单增区间为:??a?1,3?;

'由f?x??0得单减区间为:???,?a?1?和?3,???;

(2)由(1)知:当a?0时,x2??a?1?0,f?x?在?0,3?上单调递增,在?3,4?上单调递减,f(x)min?min?f(0),f(4)???(2a?3)e3,f?x?max?f?3??a?6, ∴f?x?在?0,4?上的值域为[?(2a?3)e3,a?6].

当a??4时,x2??a?1?3,由f'易知g?x???a?2??25?x?e在?0,4?上是增函数, 4?∴g?x?在?0,4?上的值域为?a?2??25?225?4?,?a??e?. 4?4??225?1???由于?a2??a?6?a???????0,

4?2???又∵要存在?1,?2??0,4?,使得f??1??g??2??1成立,

a?0?3?∴必须且只须??225?解得:0?a?.

2??a?4???a?6??1????3?a所以,的取值范围为?0,?.

?2?

2x12. f(x)?(x?ax?b)e(x?R).

(1)若a?2,b??2,求函数f(x)的极值;

(2)若x?1是函数f(x)的一个极值点,试求出a关于b的关系式(用a表示b),并确

定f(x)的单调区间; (3)在(2)的条件下,设a?0,函数g(x)?(a2?14)ex?4.若存在?1,?2?[0,4]使得

10

|f(?1)?f(?2)|?1成立,求a的取值范围.

解:(1)∵f?(x)?(2x?a)ex?(x2?ax?b)ex?[x2?(2?a)x?(a?b)]ex

当a?2,b??2时,f(x)?(x2?2x?2)ex,则f'(x)?(x2?4x)ex.

令f'(x)?0得(x2?4x)ex?0,∵ex?0,∴x2?4x?0,解得x1??4,x2?0 ∵当x?(??,?4)时,f'(x)?0,

当x?(?4,0)时f'(x)?0,当x?(0,??)时f'(x)?0 ∴当x??4时,函数f(x)有极大值,f(x)极大=6, e4当x?0时,函数f(x)有极小值,f(x)极小??2. (2)由(1)知f?(x)?[x2?(2?a)x?(a?b)]ex ∵x?1是函数f(x)的一个极值点 ∴f?(1)?0 即e[1?(2?a)?(a?b)]?0,解得b??3?2a

则f?(x)?ex[x2?(2?a)x?(?3?a)]=ex(x?1)[x?(3?a)] 令f?(x)?0,得x1?1或x2??3?a

∵x?1是极值点,∴?3?a?1,即a??4 .

当?3?a?1即a??4时,由f?(x)?0得x?(?3?a,??)或x?(??,1) 由f?(x)?0得x?(1,?3?a)

当?3?a?1即a??4时,由f?(x)?0得x?(1,??)或x?(??,?3?a) 由f?(x)?0得x?(?3?a,1). 综上可知:

当a??4时,单调递增区间为(??,1)和(?3?a,??),递减区间为(1,?3?a) 当a??4时,单调递增区间为(??,?3?a)和(1,??),递减区间为(?3?a,1)。 (3)由2)知:当a>0时,f(x)在区间(0,1)上的单调递减, 在区间(1,4)上单调递增,

∴函数f(x)在区间[0,4]上的最小值为f(1)??(a?2)e 又∵f(0)?bex??(2a?3)?0,f(4)?(2a?13)e4?0,

∴函数f(x)在区间[0,4]上的值域是[f(1),f(4)],即[?(a?2)e,(2a?13)e4]]

又g(x)?(a2?14)ex?4在区间[0,4]上是增函数, 且它在区间[0,4]上的值域是[(a2?14)e4,(a2?14)e8].

∵(a2?14)e4-(2a?13)e4=(a2?2a?1)e4=(a?1)2e4?0, ∴存在?1,?2?[0,4]使得|f(?1)?f(?2)|?1成立只须

(a2?14)e4-(2a?13)e4<1?(a?1)2e4?1?(a?1)2?111?1??a?1?.. e4e2e2

13. (2010山东,两边分求,最小值与最大值) 已知函数f(x)?lnx?ax?⑴当a≤1?a?1(a?R). x1时,讨论f(x)的单调性; 211

⑵设g(x)?x2?2bx?4.当a?1时,若对任意x1?(0,2),存在x2??1,2?,使f(x1)≥g(x2),4求实数b取值范围.

解:本题将导数、二次函数、不等式知识有机的结合在一起,考查了利用导数研究函数的单调性、利用导数求函数的最值以及二次函数的最值问题,考查了同学们分类讨论的数学思想以及解不等式的能力;考查了学生综合运用所学知识分析问题、解决问题的能力. (1)直接利用函数与导数的关系讨论函数的单调性;(2)利用导数求出f(x)的最小值、利用二次函数知识或分离常数法求出g(x)在闭区间[1,2]上的最大值,然后解不等式求参数.

1?ala?1?ax2?x?a?1?1(x?0),f?(x)??a?2?⑴f(x)?lnx?ax?(x?0) 2xxxx令h(x)?ax2?x?1?a(x?0)

①当a?0时,h(x)??x?1(x?0),当x?(0,1),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减;当x?(1,??),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递增.

1②当a?0时,由f?(x)?0,即ax2?x?1?a?0,解得x1?1,x2??1.

a1当a?时x1?x2,h(x)?0恒成立,此时f?(x)?0,函数f(x)单调递减;

211当0?a?时,?1?1?0,x?(0,1)时h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减;

2a1x?(1,?1)时,h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递增;

a1x?(?1,??)时,h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减.

a1当a?0时?1?0,当x?(0,1),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递减;

a当x?(1,??),h(x)?0,f?(x)?0,函数f(x)单调递增.

综上所述:当a?0时,函数f(x)在(0,1)单调递减,(1,??)单调递增;

1当a?时x1?x2,h(x)?0恒成立,此时f?(x)?0,函数f(x)在(0,??)单调递减;

2111当0?a?时,函数f(x)在(0,1)递减,(1,?1)递增,(?1,??)递减.

2aa1⑵当a?时,f(x)在(0,1)上是减函数,在(1,2)上是增函数,所以对任意x1?(0,2),

41有f(x1)≥f(1)??,

21又已知存在x2??1,2?,使f(x1)?g(x2),所以??g(x2),x2??1,2?,(※)

2又g(x)?(x?b)2?4?b2,x?[1,2]

当b?1时,g(x)min?g(1)?5?2b?0与(※)矛盾;

当b??1,2?时,g(x)min?g(1)?4?b?0也与(※)矛盾;

2 12

当b?2时,g(x)min?g(2)?8?4b??综上,实数b的取值范围是[117,b?. 2817,??). 81?a?1. 14. 设函数f(x)?lnx?ax?x(Ⅰ)当a?1时,过原点的直线与函数f(x)的图象相切于点P,求点P的坐标;

1(Ⅱ)当0?a?时,求函数f(x)的单调区间;

2152(Ⅲ)当a?时,设函数g(x)?x?2bx?,若对于?x1?(0,e],?x2?[0,1]

312使f(x1)≥g(x2)成立,求实数b的取值范围.(e是自然对数的底,e?3?1)

11?a解:函数f(x)的定义域为(0,??),f?(x)??a?2

xx(Ⅰ)设点P(x0,y0)(x0?0),当a?1时,f(x)?lnx?x?1,则y0?lnx0?x0?1,

11lnx0?x0?1f?(x)??1,∴f?(x0)??1?

xx0x0解得x0?e2,故点P 的坐标为(e2,1?e2)

?ax?ax?a?1(x?1)(ax?1?a)????x2x2x211?a?1?0 ∵0?a? ∴

2a1?a1?a∴当0?x?1,或x?时f?(x)?0,当1?x?时,f?(x)?0

aa11?a); 故当0?a?时,函数f(x)的单调递增区间为(1,2a1?a,??) 单调递减区间为(0,1),(a1x2?1由(Ⅱ)可知函数f(x)在(Ⅲ)当a?时,f(x)?lnx??(0,1)上是减函数,

333x2e2(1,2)上为增函数,在(2,e]上为减函数,且f(1)??,f(e)??? 在

333e2?e2?2e3?(e?1)22?∵f(e)?f(1)?,又e?3?1,∴(e?1)?3,

3e3e2∴f(e)?f(1),故函数f(x)在(0,e]上的最小值为?

3若对于?x1?(0,e],?x2?[0,1]使f(x1)≥g(x2)成立?g(x)在[0,1]上的最小值不大于

2f(x)在(0,e]上的最小值?(*)

3(Ⅱ)f?(x)?2a(x?1)(x?1?a)a

13

又g(x)?x?2bx?255?(x?b)2?b2?,x?[0,1] 121252??与(*)矛盾 123①当b?0时,g(x)在[0,1]上为增函数,[g(x)]min?g(0)??②当0?b?1时,[g(x)]min?g(b)??b?由?b?225, 12

521??及0?b?1得,?b?1 1232③当b?1时,g(x)在[0,1]上为减函数,

7172[g(x)]min?g(1)??2b????,此时b?1

121231??)综上,b的取值范围是[, 2

15. (2010山东,两边分求,最小值与最大值) 已知函数f(x)?xlnx,g(x)??x2?ax?3. ⑴求f(x)在[t,t?2](t?0)上的最小值;

⑵若存在x??,e?(e是常数,e=2.71828???)使不等式2f(x)?g(x)成立,求实数a的取

e值范围;

⑶证明对一切x?(0,??),都有lnx?解:⑴

?1???12?成立. exex

所以f?x?min⑵由题意知

1?1? 0?t???ee??

1?tInt t??e? 14

32xInx??x2?ax?3,则a?2Inx?x?,x323?x?3??x?1??设h?x??2Inx?x??x?0?则h?x???1?2?xxxx2?1?当x??,1?时,h??x??0,h?x?单调递减;?e?当x??1,e?时,h??x??0,h?x?单调递增;

??1???1?所以h?x?max?max?h??,h(e)?,因为存在x??,e?,使2f?x??g?x?成立,?e???e??所以a?h?x?max,113h()??2??3e,h(e)?2?e? eee11而h()?h(e),故a??3e?2

eex2(Ⅲ) 等价证明xInx?x??x??0,????

ee由⑴知

f?x??xInx?x??0,????的最小值是-1e1当且仅当x?取到,

ex21?x设??x??x??x??0,????,则???x??x,eee1易得??x?max???1???,当且仅当x?1时取到,e

x2从而对一切x??0,???都有xInx?x?成立,ee12即Inx?x?对一切x??0,???成立.

eex

16. (最值应用) 设函数f(x)?px?⑴求p与q的关系;

⑵若f(x)在其定义域内为单调函数,求p的取值范围; ⑶设g(x)?围.

解:(1)由题意得f(e)?pe?qp?2lnx,且f(e)?qe??2,其中e是自然对数的底数. xe2e,若在?1,e?上至少存在一点x0,使得f(x0)>g(x0)成立,求实数p的取值范xqp1?2lne?qe??2?(p?q)(e?)?0 eee15

1?0,所以p、q的关系为p?q. eqp(2)由(1)知f(x)?px??2lnx?px??2lnx,

xxp2px2?2x?p2'.令h(x)?px?2x?p, f(x)?p?2??2xxx要使f(x)在其定义域(0,??)内单调,只需h(x)?0或h(x)?0恒成立.

2x'①当p?0时,h(x)??2x,因为x>0,所以h(x)<0,f(x)??2<0,

x∴f(x)在(0,??)内是单调递减函数,即p?0适合题意;

12ph(x)?p?②当>0时,h(x)?px?2x?p,∴, minp1只需p??0,即p?1时h(x)?0,f'(x)?0,

p∴f(x)在(0,??)内为单调递增函数,故p?1适合题意.

而e?③当p<0时,h(x)?px2?2x?p,其图像为开口向下的抛物线,对称轴为x?综上所述,p的取值范围为p?1或p?0.

1?(0,??),p只要h(0)?0,即p?0时,h(x)?0在(0,??)恒成立,故p<0适合题意.

2e在?1,e?上是减函数, x∴x?e时,g(x)min?2;x?1时,g(x)max?2e,即g(x)??2,2e?,

(3)∵g(x)?①当p?0时,由(2)知f(x)在?1,e?上递减?f(x)max?f(1)?0<2,不合题意;

1?0, x又由(2)知当p?1时,f(x)在?1,e?上是增函数,

1111∴f(x)?p(x?)?2lnx?x??2lnx?e??2lne?e??2<2,不合题意;

xxee③当p?1时,由(2)知f(x)在?1,e?上是增函数,f(1)?0<2,又g(x)在?1,e?上是减函数,

②当0<p<1时,由x??1,e??x?故只需f(x)max>g(x)min,x??1,e?,而f(x)max?f(e)?p(e?)?2lne,g(x)min?2, 即

1e14ep(e?)?2lne>2,解得p>2 ,

ee?14e,??). 综上,p的取值范围是(2e?1

17. (2011湖南文,第2问难,单调性与极值,好题)

16

设函数f(x)?x?⑴讨论函数f(x)的单调性;

1?alnx(a?R).x

⑵若f(x)有两个极值点x1,x2,记过点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))的直线斜率为k,问:是否存在a,使得k?2?a?若存在,求出a的值;若不存在,请说明理由.

1ax2?ax?1 解:⑴f(x)的定义域为(0,??).f'(x)?1?2??2xxx令g(x)?x2?ax?1,其判别式??a2?4.

①当|a|?2时,??0,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)上单调递增. ②当a??2时,在(0,??)上,f'(x)?0,故f(x)在(0,??)?>0,g(x)=0的两根都小于0,

上单调递增.

22a?a?4a?a?4,

③当a?2时,?>0,g(x)=0的两根为x1?,x2?22当0?x?x1时, f'(x)?0;当x1?x?x2时,f'(x)?0;当x?x2时,f'(x)?0,故f(x)分别在(0,x1),(x2,??)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减. ⑵由⑴知,若f(x)有两个极值点x1,x2,则只能是情况③,故a?2.

x1?x2?a(lnx1?lnx2), 因为f(x1)?f(x2)?(x1?x2)?x1x2f(x1)?f(x2)lnx1?lnx21k??1??a? 所以

x1?x2x1x2x1?x2lnx1?lnx2k?2?a?xx?1 又由⑴知,12,于是x1?x2lnx1?lnx2?1.即lnx1?lnx2?x1?x2. 若存在a,使得k?2?a.则

x1?x21?2lnx2?0(x2?1)(*) 亦即x2?x21再由⑴知,函数h(t)?t??2lnt在(0,??)上单调递增,而x2?1,所以

t11x2??2lnx2?1??2ln1?0.这与(*)式矛盾.故不存在a,使得k?2?a.

x21

18. (构造函数,好,较难) 已知函数f(x)?lnx?12ax?(a?1)x(a?R,a?0). 2⑴求函数f(x)的单调增区间;

⑵记函数F(x)的图象为曲线C,设点A(x1,y1)、B(x2,y2)是曲线C上两个不同点,如果曲线

x1?x2;②曲线C在点M处的切线平行于直线AB,2则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问:函数f(x)是否存在中值相依切线,请说明理由. C上存在点M(x0,y0),使得:①x0? 17

解:(Ⅰ)函数f(x)的定义域是(0,??).

1a(x?1)(x?)1a. 由已知得,f'(x)??ax?a?1??xxⅰ 当a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1;?函数f(x)在(0,1)上单调递增 ⅱ 当a?0时,

11 ①当??1时,即a??1时, 令f'(x)?0,解得0?x??或x?1;

aa1?函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增

a1 ②当??1时,即a??1时, 显然,函数f(x)在(0,??)上单调递增;

a11③当??1时,即?1?a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1或x??

aa1?函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增.

a综上所述:

⑴当a?0时,函数f(x)在(0,1)上单调递增

1a⑶当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增;

1⑷当?1?a?0时,函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增.

a(Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.

设A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线y?f(x)上的不同两点,且0?x1?x2,

1212则y1?lnx1?ax1?(a?1)x1,y2?lnx2?ax2?(a?1)x2.

221(lnx2?lnx1)?a(x22?x12)?(a?1)(x2?x1)y?y2 kAB?21?x2?x1x2?x1lnx2?lnx11 ??a(x1?x2)?(a?1).

x2?x12x?x2x?x2)??a?12?(a?1), 曲线在点M(x0,y0)处的切线斜率k?f?(x0)?f?(12x1?x22lnx2?lnx11x?x2依题意得:?a(x1?x2)?(a?1)??a?12?(a?1).

x2?x12x1?x22x2(2?1)x1lnx2?lnx1x2(x2?x1)2?化简可得 , 即ln2=. ?x2x2?x1x1?x2x1x2?x1?1x1⑵当a??1时,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增

18

2(t?1)4x2?2?, ?t (t?1),上式化为:lnt?t?1t?1x14414(t?1)2lnt??2,令g(t)?lnt?,g'(t)??. ?22t?1t?1t(t?1)t(t?1)因为t?1,显然g'(t)?0,所以g(t)在(1,??)上递增,显然有g(t)?2恒成立.

4?2成立. 所以在(1,??)内不存在t,使得lnt?t?1综上所述,假设不成立.所以,函数f(x)不存在“中值相依切线”

19. (2011天津理19,综合应用)

已知a?0,函数f?x??lnx?ax,x?0.(f?x?的图象连续)

2⑴求f?x?的单调区间;

⑵若存在属于区间?1,3?的?,?,且???≥1,使f????f???,证明:

ln3?ln2ln2≤a≤. 5311?2ax22a解:⑴f??x???2ax?,x?0.令f??x??0,则x?.

xx2a当x变化时,f??x?,f?x?的变化情况如下表:

x f??x? f?x? ?2a???0,2a?? ??2a 2a0 极大值 ?2a???2a,???? ??? 单调递增 ? 单调递减 ??2a?2a?fx0,,??所以??的单调增区间是???2a??,单调减区间是??2a?.

????

⑵由f????f???及f?x?的单调性知??2a从而f?x?在区间??,??上的最小值为??.

2af???.

又由????1,?,???1,3?,则1???2???3.

19

所以?所以

??f?2??f????f?1?,?ln2?4a??a, 即?f2?f??f3,?????ln2?4a?ln3?9a.????ln3?ln2ln2?a?. 53

20. (恒成立,直接利用最值)

已知函数f(x)?ln(ax?1)?x2?ax, a?0,

1是函数f(x)的一个极值点,求a; 2⑵讨论函数f(x)的单调区间;

⑴若x?⑶若对于任意的a?[1,2],不等式f?x?≤m在[,1]上恒成立,求m的取值范围.

122ax2?(2?a2)x, 解:⑴f?(x)?ax?111因为x?是函数f(x)的一个极值点,所以f?()?0,得a2?a?2?0.

22又a?0,所以a?2.

1⑵因为f(x)的定义域是(?, ??),

aa2?22ax(x?)2ax2?(2?a2)x2a. f?(x)??ax?1ax?1①当a?2时,列表 1a2?2a2?2x (?, 0) (0, ) (, ??) a2a2af?(x) + - + f(x) 增 减 增 1a2?2a2?2f(x)在(?, 0),(, ??)是增函数;f(x)在(0, )是减函数.

a2a2a22x22②当a?2时,f?(x)?≥0,f(x)在(?, ??)是增函数. 22x?1③当0?a?2时,列表 1a2?2a2?2(0, ??) x (?, ) (, 0) a2a2af?(x) + - + f(x) 增 减 增 1a2?2a2?2f(x)在(?, ),(0, ??)是增函数;f(x)在(, 0)是减函数.

a2a2a⑶

20

21. (最值与图象特征应用)

e?x设a?R,函数f(x)?(ax2?a?1)(e为自然对数的底数).

2⑴判断f(x)的单调性;

1⑵若f(x)?2在x?[1,2]上恒成立,求a的取值范围.

e1?x1?x1?x22解:⑴∵f?(x)??e(ax?a?1)?e?(2ax)?e(?ax?2ax?a?1),

222令g(x)??ax2?2ax?a?1.

①当a?0时,g(x)??1?0,?f?(x)?0,?f(x)在R上为减函数. ②当a?0时,g(x)?0的判别??4a2?4(a2?a)??4a?0, ?g(x)?0,即f?(x)?0?f(x)在R上为减函数.

112x?1?或x?1?, ③当a?0时,由?ax?2ax?a?1?0,得

?a?a11?x?1?, 由?ax2?2ax?a?1?0,得1??a?aa??aa??a?f(x)在(??,),(,??)上为增函数;

aaa??aa??af(x)在(,)上为减函数.

aa⑵由⑴知

①当a?0时,f(x)在[1,2]上为减函数.

?f(x)min?f(2)?5a?15a?111.由?得a?.

52e22e2e25a?11? ②当a?0时,f(2)?222e2e11?f(x)?2在[1,2]上不恒成立,∴a的取值范围是(,??).

5e

22. (单调性)

21

已知f(x)=ln(x+2)-x2+bx+c ⑴若函数f(x)在点(1,且f(-1)=0,求函数f(x)在区间[0,3]y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直,上的最小值;

⑵若f(x)在区间[0,m]上单调,求b的取值范围. 解:⑴f?(x)?

13?2x?b,依题意令f?(1)= ,f(?1)=0,解得b=4,c=5. x?271?2x2?932 ?f?(x)??2x?4??0得x?x?2x?22333x 0 (0,2) 2 2,3) 3 (222 8+ln5 y′ + 0 - y ln2+5 极大 因为8+ln5>5+ln2 ∴x=0时f(x)在[0,3]上最小值f(0)=5+ln2. ⑵若f(x)在区间[0,m]上单调,有两种可能

11?2x?b≥0得b≥2x-,在[0,m]上恒成立 x?2x?2111 而y=2x-. 在[0,m]上单调递增,最大值为2m-,∴b≥2m-

x?2m?2m?211 ?2x?b≤0 得b≤2x-②令f?(x)?,

x?2x?2111而 y=2x-在[0,m]单增,最小为y=-,∴b≤-.

x?22211故b≥2m-或b≤-时f(x)在[0,m]上单调.

m?22

①令f?(x)?

23. (单调性,用到二阶导数的技巧) 已知函数f(x)?lnx

f(x)?a(a?R),求F(x)的极大值; x ⑵若G(x)?[f(x)]2?kx在定义域内单调递减,求满足此条件的实数k的取值范围.

f(x)?alnx?a?解:⑴?F(x)?定义域为x?(0,??) xx(1?a)?lnx?F?(x)? 2x令F?(x)?0得x?e1?a 由F?(x)?0得0?x?e1?a 由F?(x)?0得x?e1?a

⑴若F(x)?即F(x)在(0,e1?a)上单调递增,在(e1?a,??)上单调递减

1?a?aa?1)?e ?ae2lnx?k ⑵?G(x)?(lnx)2?kx的定义域为(0,+∞),?G?(x)?x?x?e1?a时,F(x)取得极大值F(e1?a? 22

2lnx?k?0在(0,+∞)内恒成立 x22(1?lnx) 由H?(x)?0得x?e 令H(x)?lnx?k,则H?(x)?2xx∵当x?(0,e)时H?(x)?0,H(x)为增函数 当x?(e,??)时H?(x)?0,H(x)为减函数

2∴当x = e时,H(x)取最大值H(e)??k

e22故只需?k?0恒成立,?k?

ee22又当k?时,只有一点x = e使得G?(x)?H(x)?0不影响其单调性?k?.

ee由G (x)在定义域内单调递减知:G?(x)?

二、交点与根的分布

24. (2008四川22,交点个数与根的分布)

已知x?3是函数f(x)?aln(1?x)?x2?10x的一个极值点. ⑴求a;

⑵求函数f(x)的单调区间;

⑶若直线y?b与函数y?f(x)的图像有3个交点,求b的取值范围.

a?2x?10 解:⑴f(x)?aln(1?x)?x2?10x,f'(x)?1?xx?3是函数f(x)?aln(1?x)?x2?10x的一个极值点.

f'(3)?a?4?0,a?16 4⑵由⑴f(x)?16ln(1?x)?x2?10x,x?(?1,??)

令f'(x)?0,得x?1,x?3,f'(x)和f(x)随x的变化情况如下: (3,??) (?1,1) 1 (1,3) 3 x f'(x) ? 0 ? 0 ? f(x) 增 极大值 减 极小值 增 f(x)的增区间是(?1,1),(3,??);减区间是(1,3). ⑶由②知,f(x)在(?1,1)上单调递增,在(3,??)上单调递增,在(1,3)上单调递减. ∴f(x)极大?f(1)?16ln2?9,f(x)极小?f(3)?32ln2?21. 又x??1?时,f(x)???;x???时,f(x)???; 可据此画出函数y?f(x)的草图(图略),由图可知, 当直线

162x2?8x?62(x?1)(x?3) f'(x)??2x?10??1?xx?1x?1y?b与函数y?f(x)的图像有3个交点时,b的取值范围为(32ln2?21,16ln2?9).

3225. 已知函数f?x???x?ax?bx?c在???,0?上是减函数,在?0,1?上是增函数,函数

23

f?x?在R上有三个零点. (1)求b的值;

(2)若1是其中一个零点,求f?2?的取值范围; (3)若a?1,g?x??f相切?请说明理由.

'?x??3x2?lnx,试问过点(2,5)可作多少条直线与曲线y=g(x)

⑶g(x)=2x+lnx,设过点(2,5)与曲线g (x)的切线的切点坐标为(x0,y0)

1)(x0?2) ∴y0?5?g(x0)(x0?2),x02122/lnx??2?0?2=0,∴x?2 lnx??2h(x)==∴,令∴h(x)0x0xxx,

∴h(x)在(0,2)上单调递减,在(2,??)上单调递增

12?又h()?2?ln2?0,h(2)=ln2-1<0,h(e2)?2?0

2e/即2x0?lnx0?5?(2?∴h(x)与x轴有两个交点,∴过点(2,5)可作2条曲线y=g(x)的切线.

26. (交点个数与根的分布)

已知函数f(x)??x2?8x,g(x)?6lnx?m.⑴求f(x)在区间?t,t?1?上的最大值h(t);

⑵是否存在实数m,使得y?f(x)的图像与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点?若

24

存在,求出m的取值范围;若不存在,说明理由。 解:⑴f(x)??x2?8x??(x?4)2?16.

当t?1?4,即t?3时,f(x)在?t,t?1?上单调递增,

h(t)?f(t?1)??(t?1)2?8(t?1)??t2?6t?7; 当t?4?t?1,即3?t?4时,h(t)?f(4)?16;

当t?4时,f(x)在?t,t?1?上单调递减,h(t)?f(t)??t2?8t.

??t2?6t?7,t?3,?3?t?4, 综上h(t)??16,    ??t2?8t,  t?4?⑵函数y?f(x)的图像与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点,即函数 ?(x)?g(x)?f(x)的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。 ??(x)?x2?8x?6lnx?m, 62x2?8x?62(x?1)(x?3)??'(x)?2x?8???(x?0),xxx当x?(0,1)时,?'(x)?0,?(x)是增函数; 当x?(0,3)时,?'(x)?0,?(x)是减函数; 当x?(3,??)时,?'(x)?0,?(x)是增函数; 当x?1,或x?3时,?'(x)?0.

??(x)最大值??(1)?m?7,?(x)最小值??(3)?m?6ln3?15. ?当x充分接近0时,?(x)?0,当x充分大时,?(x)?0.

?要使?(x)的图像与x轴正半轴有三个不同的交点,必须且只须 ???(x)最大值?m?7?0, 即7?m?15?6ln3. ????(x)最小值?m?6ln3?15?0,∴存在实数m,使得函数y?f(x)与y?g(x)的图像有且只有三个不同的交点,m的取值范围为(7,15?6ln3).

27. (交点个数与根的分布)

已知函数f(x)?ln(2?3x)?⑴求f(x)在[0,1]上的极值;

⑵若对任意x?[,],不等式|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?0成立,求实数a的取值范围;

32x. 21163⑶若关于x的方程f(x)??2x?b在[0,1]上恰有两个不同的实根,求实数b的取值范围.

3?3(x?1)(3x?1)?3x?解:⑴f?(x)?,

2?3x3x?21令f?(x)?0得x?或x??1(舍去)

3 25

11?当0?x?时,f?(x)?0,f(x)单调递增;当?x?1时,f?(x)?0,f(x)递减.

33

11?f()?ln3?为函数f(x)在[0,1]上的极大值.

36⑵由|a?lnx|?ln[f?(x)?3x]?0得

33a?lnx?ln或a?lnx?ln2?3x2?3x

33x32x?3x2?ln设h(x)?lnx?ln,g(x)?lnx?ln, ?ln2?3x2?3x2?3x311依题意知a?h(x)或a?g(x)在x?[,]上恒成立,

632?3x3(2?3x)?3x?32?g?(x)????0, 23xx(2?3x)(2?3x)312?6xh?(x)??(2?6x)??0, 222x?3x32x?3x11?g(x)与h(x)都在[,]上单增,要使不等式①成立,

631111当且仅当a?h()或a?g(),即a?ln或a?ln.

363532 ⑶由f(x)??2x?b?ln(2?3x)?x?2x?b?0.

23237?9x2令?(x)?ln(2?3x)?x?2x?b,则??(x)?, ?3x?2?22?3x2?3x77当x?[0,]时,??(x)?0,于是?(x)在[0,]上递增;

3377x?[,1]时,??(x)?0,于是?(x)在[,1]上递减,

33

77 而?()??(0),?()??(1),

33?f(x)??2x?b即?(x)?0在[0,1]恰有两个不同实根等价于

???(0)?ln2?b?0?7727??()?ln(2?7)???b?0 ?366?1??(1)?ln5??b?0?2?1727?ln5??b?ln(2?7)??.

263

26

28. (2009宁夏,利用根的分布) 已知函数f(x)?(x3?3x2?ax?b)e?x ⑴如a?b??3,求f(x)的单调区间;

⑵若f(x)在(??,?),(2,?)单调增加,在(?,2),(?,??)单调减少,证明:???<6.解:⑴a?b??3时,f(x)?(x3?3x2?3x?3)e?x,故

w.w.w.ks.5.u.c.o.m w.w.w..s.5.u.c.o.m

w.w.w..s.5.u.c.o.m f'(x)??(x3?3x2?3x?3)e?x?(3x2?6x?3)e?x??x(x?3)(x?3)e?x 当x??3或0?x?3时,f'(x)?0;当?3?x?0或x?3时,f'(x)?0.

0),(3,??)从而f(x)在(??,?3),(0,3)单调增加,在(?3,单调减少.

⑵f'(x)??(x3?3x2?ax?b)e?x?(3x2?6x?a)e?x??e?x[x3?(a?6)x?b?a]. 由条件得f'(2)?0,即23?2(a?6)?b?a?0,故b?4?a, 从而f'(x)??e?x[x3?(a?6)x?4?2a]. 因为f'(?)?f'(?)?0,

所以x3?(a?6)x?4?2a?(x?2)(x??)(x??)?(x?2)[x2?(???)x???]. 将右边展开,与左边比较系数得,?????2,???a?2.故

????(???)2?4???12?4a.

又(??2)(??2)?0,即???2(???)?4?0.由此可得a??6.于是????6.

29. (2009天津文,利用根的分布讨论)

w.w 13x?x2??m2?1?x?x?R?,其中m?0 3⑴当m?1时,求曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线的斜率

设函数f?x???⑵求函数f?x?的单调区间与极值

⑶已知函数f?x?有三个互不相同的零点0、x1、x2,且x1?x2,若对任意的

x??x1,x2?,f?x??f?1?恒成立,求m的取值范围.

13x?x2,f/(x)?x2?2x,故f'(1)?1 3所以曲线y?f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为1.

⑵f'(x)??x2?2x?m2?1,令f'(x)?0,得到x?1?m,x?1?m

解:⑴当m?1时,f(x)?因为m?0,所以1?m?1?m,

当x变化时,f(x),f'(x)的变化情况如下表:

(??,1?m) 1?m (1?m,1?m) 1?m (1?m,??) x

+ 0 0 + - f'(x)

f(x) ↓ 极小值 ↑ 极大值 ↓

27

f(x)在(??,1?m)和(1?m,??)内减函数,在(1?m,1?m)内增函数。

2312函数f(x)在x?1?m处取得极大值f(1?m),且f(1?m)=m?m?

332312函数f(x)在x?1?m处取得极小值f(1?m),且f(1?m)=?m?m?

331212⑶由题设f(x)?x(?x?x?m?1)??x(x?x1)(x?x2)

33122所以方程?x?x?m?1=0由两个相异的实根x1,x2,故x1?x2?3,且

3411??1?(m2?1)?0,解得m??(舍),m?

3223因为x1?x2,所以2x2?x1?x2?3,故x2??1(难点)

21若x1?1?x2,则f(1)??(1?x1)(1?x2)?0,而f(x1)?0,不合题意;

3若1?x1?x2,则对任意的x?[x1,x2]有x?x1?0,x?x2?0,

1则f(x)???x(x?x1)(x?x2)?0,又f(x1)?0,所以函数f(x)在x?[x1,x2]的最

312小值为0,于是对任意的x?[x1,x2],f(x)?f(1)恒成立的充要条件是f(1)?m??0,

33313解得?,综上,m的取值范围是(,?m?)

3323

30. (2007全国II理22,转换变量后为根的分布) 已知函数f(x)?x3?x.

(1)求曲线y?f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程;

(2)设a?0,如果过点(a,b)可作曲线y?f(x)的三条切线,证明:?a?b?f(a). 解:(1)f?(x)?3x2?1.y?f(x)在点M(t,f(t))处的切线方程为y?f(t)?f?(t)(x?t),即y?(3t2?1)x?2t3.

(2)如果有一条切线过点(a,b),则存在t,使b?(3t2?1)a?2t3. 若过点(a,b)可作曲线y?f(x)的三条切线,

则方程 2t3?3at2?a?b?0有三个相异的实数根.

记 g(t)?2t3?3at2?a?b,则g?(t)?6t2?6at?6t(t?a). 当t变化时,g(t),g?(t)变化情况如下表:

(??,0) 0 t g?(t) ? 0 g(t) ? 极大值a?b (0,a) a 0 ? ? (a,??) ? 极小值b?f(a) ? 28

如果过(a,b)可作曲线y?f(x)三条切线,

?a?b?0,g(t)?0即有三个相异的实数根,则?即 ?a?b?f(a).

?b?f(a)?0.3231. 已知函数f?x??ax?bx?3x?a,b?R?在点?1,f?1??处的切线方程为y?2?0.

⑴求函数f?x?的解析式;

⑵若对于区间??2,2?上任意两个自变量的值x1,x2都有f?x1??f?x2??c,求实数c的最小值;

⑶若过点M?2,m??m?2?可作曲线y?f?x?的三条切线,求实数m的取值范围. 解:⑴f??x??3ax?2bx?3.??????????????????????2分

2??a?1?f?1???2,?a?b?3??2,根据题意,得?即?解得?????????3分

?b?03a?2b?3?0,????f?1??0,所以f?x??x?3x.????????????????????????4分

3⑵令f??x??0,即3x2?3?0.得x??1.

x f??x? f?x? ?2 ??2,?1? + 增 ?1 极大值 ??1,1? ? 减 1 极小值 ?1,2? + 增 2 2 ?2 因为f??1??2,f?1???2,

所以当x???2,2?时,f?x?max?2,f?x?min??2.????????????6分 则对于区间??2,2?上任意两个自变量的值x1,x2,都有

f?x1??f?x2??f?x?max?f?x?min?4,所以c?4.

所以c的最小值为4.??????????????????????????8分 ⑶因为点M?2,m??m?2?不在曲线y?f?x?上,所以可设切点为?x0,y0?.

3则y0?x0?3x0.

2因为f??x0??3x0?3,所以切线的斜率为3x0?3.????????????9分

23x0?3x0?m则3x?3=,????????????????????????11分

x0?220 29

32即2x0?6x0?6?m?0.

因为过点M?2,m??m?2?可作曲线y?f?x?的三条切线,

32所以方程2x0?6x0?6?m?0有三个不同的实数解.

所以函数g?x??2x?6x?6?m有三个不同的零点.

32则g??x??6x?12x.令g??x??0,则x?0或x?2.

2x g??x? ???,0? + 增 ,即0 极大值 ?0,2? ? 减 2 极小值 ?2,??? + 增 g?x? 则??g?0??0???g?2??2,解得?6?m?2. ?6?m?0???2?m?032. (2011省模,利用⑴的结论,转化成根的分布分题)

a?lnx?1,g(x)?(lnx?1)ex?x,(其中e?2.718) x(I)求函数f(x)在区间?0,e?上的最小值;

已知a?R,函数f(x)?(II)是否存在实数x0??0,e?,使曲线y?g(x)在点x?x0处的切线与y轴垂直?若存在,求出x0的值;若不存在,请说明理由。

30

33. 已知函数f(x)?x,函数g(x)??f(x)?sinx是区间[-1,1]上的减函数. (I)求?的最大值;

(II)若g(x)?t2??t?1在x?[?1,1]上恒成立,求t的取值范围;

lnx?x2?2ex?m的根的个数. f(x)解:(I)f(x)?x,?g(x)??x?sinx,?g(x)在[?1,1]上单调递减,?g'(x)???cosx?0 ????cosx在[-1,1]上恒成立,????1,故?的最大值为?1.

(II)由题意[g(x)]max?g(?1)????sin1,?只需???sin1?t2??t?1,

,恒成立,令h(?)?(t?1)??t2?sin1?1?0(???1),?(t?1)??t2?sin?1?0(其中???1)

?t??1?t?1?0,而t2?t?sin1?0恒成立,?t??1 则?,??22??t?1?t?sin1?1?0?t?t?sin1?0lnxlnx??x2?2ex?m. (Ⅲ)由

f(x)xlnx1?lnx,f2(x)?x2?2ex?m,?f1'(x)?, 令f1(x)?2xx当x?(0,e)时,f1'(x)?0,?f1(x)在?0,e?上为增函数; 当x??e,???时,f1'(x)?0,?f1(x)在?e,???为减函数;

1 当x?e时,[f1(x)]max?f1(e)?,e1122而f2(x)?(x?e)2?m?e2,?当m?e?,即m?e?时,方程无解;

ee1122当m?e?,即m?e?时,方程有一个根;

ee1122当m?e?时,m?e?时,方程有两个根.

ee (Ⅲ)讨论关于x的方程

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三、不等式证明 作差证明不等式

34. (2010湖南,最值、作差构造函数) 已知函数f(x)?ln(x?1)?x. (1)求函数f(x)的单调递减区间;

31

(2)若x??1,求证:1?1≤ln(x?1)≤x. x?11x?1??, x?1x?1解:(1)函数f (x)的定义域为(-1,+∞),f?(x)?x??0??由f?(x)?0 得:?x?1,∴x>0,∴f (x)的单调递减区间为(0,+∞).

??x??1(2)证明:由(1)得x∈(-1,0)时,f?(x)?0, 当x∈(0,+∞)时,f?(x)?0,且f?(0)?0

∴x>-1时,f (x)≤f (0),∴ln(x?1)?x≤0,ln(x?1)≤x

11x1?g(x)???g(x)?ln(x?1)??1 令,则, x?1(x?1)2(x?1)2x?1∴-1<x<0时,g?(x)?0,x>0时,g?(x)?0,且g?(0)?0 1?1≥0 x?111∴ln(x?1)≥1?,∴x>-1时,1?≤ln(x?1)≤x.

x?1x?1∴x>-1时,g (x)≥g (0),即ln(x?1)?

35. (2007湖北20,转换变量,作差构造函数,较容易) 已知定义在正实数集上的函数f(x)?12x?2ax,g(x)?3a2lnx?b,其中a?0.设两曲线2y?f(x),y?g(x)有公共点,且在该点处的切线相同. ⑴用a表示b,并求b的最大值; ⑵求证:当x?0时,f(x)≥g(x).

解:⑴设y?f(x)与y?g(x)(x?0)在公共点(x0,y0)处的切线相同.

23a∵f?(x)?x?2a,g?(x)?,由题意f(x0)?g(x0),f?(x0)?g?(x0).

x?122x?2ax?3alnx0?b,00?23a2?即?由x0?2a?得:x0?a,或x0??3a(舍去). 23ax0?x0?2a?,?x0?125a?2a2?3a2lna?a2?3a2lna. 22522令h(t)?t?3tlnt(t?0),则h?(t)?2t(1?3lnt).于是

21当t(1?3lnt)?0,即0?t?e3时,h?(t)?0;

1当t(1?3lnt)?0,即t?e3时,h?(t)?0.

即有b?故h(t)在(0,e3)为增函数,在(e3,+?)为减函数,

233?∞)的最大值为h(e)?e. 于是h(t)在(0,21311 32

12x?2ax?3a2lnx?b(x?0), 223a(x?a)(x?3a)则F?(x)?x?2a??(x?0).

xx?∞)为增函数, 故F(x)在(0,a)为减函数,在(a,?∞)上的最小值是F(a)?F(x0)?f(x0)?g(x0)?0. 于是函数F(x)在(0,⑵设F(x)?f(x)?g(x)?故当x?0时,有f(x)?g(x)≥0,即当x?0时,f(x)≥g(x).

36. (2009全国II理21,字母替换,构造函数)

设函数f?x??x?aln?1?x?有两个极值点x1、x2,且x1?x2

2⑴求a的取值范围,并讨论f?x?的单调性;

1?2ln2. 4a2x2?2x?a解: ⑴f??x??2x??(x??1)

1?x1?x1 令g(x)?2x2?2x?a,其对称轴为x??。

2 由题意知x1、x2是方程g(x)?0的两个均大于?1的不相等的实根,

???4?8a?01 其充要条件为?,得0?a?

2?g(?1)?a?0 当x?(?1,x1)时,f??x??0,?f(x)在(?1,x1)内为增函数;

⑵证明:f?x2??

当x?(x1,x2)时,f??x??0,?f(x)在(x1,x2)内为减函数; 当x?(x2,??)时,f??x??0,?f(x)在(x2,??)内为增函数;

1?x2?0, 222由g(x2)?2x2?2x2?a?0得a??(2x2+2x2),

⑵由⑴知g(0)?a?0,???f?x2??x22?aln?1?x2??x22?(2x22+2x2)ln?1?x2?

12则h??x??2x?2(2x?1)ln?1?x??2x??2(2x?1)ln?1?x?

设h?x??x?(2x?2x)ln?1?x?(x??),

2211,0)时,h??x??0,?h(x)在[?,0)单调递增; 22当x?(0,??)时,h??x??0,h(x)在(0,??)单调递减。

当x?(?所以,当x?(?,0)时,h?x??h(?)?12121?2ln2 4 33

故f?x2??h(x2)?1?2ln2. 4变形构造函数证明不等式

37. (变形构造新函数,一次) 已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax. ⑴试讨论f(x)在定义域内的单调性;

|f(x1)?f(x2)|?1.求实数m的取值范围.

|x1?x2|a?1(a?1)?ax?a?解:⑴函数的定义域为(0,??),f?(x)?. xxa?1a?1,??),减区间为(0,); 当a??1时,增区间为(aa当?1≤a≤0时,增区间为(0,??);

a?1a?1),减区间为(,??). 当a?0时,增区间为(0,aa⑵当a>0时,f(x)在区间(0,1)上单调递增,

不妨设0?x1?x2?1,则x1?x2?0,f(x1)?f(x2)?0, |f(x1)?f(x2)|?1等价于f(x1)?f(x2)?x1?x2,即f(x1)?x1?f(x2)?x2. ∴

|x1?x2|(a?1)?ax(a?1)(1?x)?1?构造g(x)?f(x)?x,则g?(x)>0(0?x?1). xx∴g(x)在(0,1)上是增函数,当0?x1?x2?1时,g(x1)?g(x2),

⑵当a<-1时,证明:?x1,x2?(0,1),

即f(x1)?x1?f(x2)?x2,即f(x1)?f(x2)?x1?x2. 又当a>0时,f(x)在区间(0,1)上单调递增, ∴x1?x2?0,f(x1)?f(x2)?0.

|f(x1)?f(x2)|?1. ∴|f(x1)?f(x2)|?|x1?x2|,即

|x1?x2|

38. (2011辽宁理21,变形构造函数,二次) 已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. ⑴讨论函数f(x)的单调性;

⑵设a??1,如果对任意x1,x2?(0,??),|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|,求a的取值范围.

a?12ax2?a?1. 解:⑴f(x)的定义域为(0,+∞). f?(x)??2ax?xx当a?0时,f'(x)>0,故f(x)在(0,+∞)单调增加; 当a??1时,f'(x)<0,故f(x)在(0,+∞)单调减少;

34

a?1. 2aa?1a?1则当x?(0,?)时,f'(x)>0;x?(?,??)时,f'(x)<0.

2a2a当-1<a<0时,令f'(x)=0,解得x??a?1a?1)单调增加,在(?,??)单调减少. 2a2a⑵不妨假设x1?x2,而a<-1,由⑴知在(0,+∞)单调减少,从而

故f(x)在(0,? ?x1,x2?(0,??),f(x1)?f(x2)?4x1?x2

等价于?x1,x2?(0,??),f(x2)?4x2?f(x1)?4x1?? ①

a?1?2ax?4 xa?1?2ax?4?0. ①等价于g(x)在(0,+∞)单调减少,即x?4x?1?4x?1,h(x)?(x?0),并设t?4x?1?1, 从而a?设222x?12x?1?8t?8y?2?t?1?8??2. ∴x?,∴t?2t?9t?9?2≤

43?3?2t令g(x)?f(x)?4x,则g'(x)?故a的取值范围为(-∞,-2].

39. (2010辽宁文21,构造变形,二次) 已知函数f(x)?(a?1)lnx?ax2?1. ⑴讨论函数f(x)的单调性;

⑵设a≤?2,证明:对任意x1,x2?(0,??),|f(x1)?f(x2)|≥4|x1?x2|.

a?12ax2?a?1. 解:⑴ f(x)的定义域为(0,+?),f?(x)??2ax?xx当a≥0时,f?(x)>0,故f(x)在(0,+?)单调增加; 当a≤-1时,f?(x)<0, 故f(x)在(0,+?)单调减少;

当-1<a<0时,令f?(x)=0,解得x=?x∈(?a?1.当x∈(0, 2a?a?1)时, f?(x)>0; 2aa?1,+?)时,f?(x)<0, 2aa?1a?1)单调增加,在(?,+?)单调减少. 2a2a⑵不妨假设x1≥x2.由于a≤-2,故f(x)在(0,+?)单调减少.

所以f(x1)?f(x2)≥4x1?x2等价于f(x1)?f(x2)≥4x1-4x2,

故f(x)在(0,

?即f(x2)+ 4x2≥f(x1)+ 4x1.

35

2a?12ax?4x?a?1. ?2ax+4=令g(x)=f(x)+4x,则g?(x)?xx1设h(x)?2ax2?4x?a?1,a≤-1,对称轴为x??,

a8a(a?1)?16(a?2)(a?1)?结合图象知h(x)≤≤0,

8aa22?4x?4x?1?(2x?1)于是g?(x)≤=≤0.

xx从而g(x)在(0,+?)单调减少,故g(x1) ≤g(x2),

即 f(x1)+ 4x1≤f(x2)+ 4x2,故对任意x1,x2∈(0,+?) ,f(x1)?f(x2)≥4x1?x2

40. (辽宁,变形构造,二次)

12

x-ax+(a-1)lnx,a?1. 2(1)讨论函数f(x)的单调性;

已知函数f(x)=

w.w.w..s.5.u.c.o.m (2)证明:若a?5,则对任意x1,x2?(0,??),x1?x2,有解:(1)f(x)的定义域为(0,??).

f(x1)?f(x2)??1.

x1?x2a?1x2?ax?a?1(x?1)(x?1?a) f(x)?x?a???xxx(x?1)2'①若a?1?1即a?2,则f(x)?,故f(x)在(0,??)单调增加。

x②若a?1?1,而a?1,故1?a?2,则当x?(a?1,1)时,f'(x)?0; 当x?(0,a?1)及x?(1,??)时,f'(x)?0

故f(x)在(a?1,1)单调减少,在(0,a?1),(1,??)单调增加。

③若a?1?1,即a?2,同理f(x)在(1,a?1)单调减少,在(0,1),(a?1,??)单调增加.

12⑵考虑函数 g(x)?f(x)?x?x?ax?(a?1)lnx?x

2a?1a?1则g?(x)?x?(a?1)??2xg?(a?1)?1?(a?1?1)2(另一种处理)

xx由于1

f(x1)?f(x2)??1, 即f(x1)?f(x2)?x1?x2?0,故

x1?x2f(x1)?f(x2)f(x2)?f(x1)???1. 当0?x1?x2时,有

x1?x2x2?x1'(另一种处理)

a?1x2?(a?1)x?a?1,结合二次函数图象 g?(x)?x?(a?1)??xx 36

4(a?1)?(a?1)2?(a?3)2?6设h(x)?x?(a?1)x?a?1(1?a?5)≥≥>0

442

41. 已知函数f(x)?x?1?alnx(a?0). (1)确定函数y?f(x)的单调性;

(2)若对任意x1,x2??0,1?,且x1?x2,都有|f(x1)?f(x2)|?4|范围。

11?|,求实数a的取值x1x2

42. (变形构造)

已知二次函数f?x??ax?bx?c和“伪二次函数”g?x??ax?bx?clnx(a、b、

22c?R,abc?0),

(I)证明:只要a?0,无论b取何值,函数g?x?在定义域内不可能总为增函数; (II)在二次函数f?x??ax?bx?c图象上任意取不同两点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB中

2点的横坐标为x0,记直线AB的斜率为k, (i)求证:k?f?(x0);

2(ii)对于“伪二次函数”g?x??ax?bx?clnx,是否有①同样的性质?证明你的结论.

2c2ax?bx?c解:(I)如果x?0,g(x)为增函数,则g?(x)?2ax?b???0(1)恒成立,

xx 37

当x?0时恒成立, 2ax2?bx?c?0(2)

?a?0,由二次函数的性质, (2)不可能恒成立.则函数g(x)不可能总为增函数. 3分 (II)(i)k?? =2ax0?b.

x2?x1x2?x1由f?(x)?2ax?b,?f?(x0)?2ax0?b, 则k?f?(x0)--------5分 (ii)不妨设x2?x1,对于“伪二次函数”:

xx2a(x2?x12)?b?x2?x1??cln2cln2g?x2??g?x1?x1 =x1, (3) 7分 k??2ax0?b?x2?x1x2?x1x2?x1由(ⅰ)中(1)g??x0??2ax0?b?f?x2??f?x1?2a(x2?x12)?b?x2?x1?c,如果有(ⅰ)的性质,则g??x0??k , (4) x0x2xln2x1x1c,c?0,即:2,(4) --------10分 比较(3)( 4)两式得

??x2?x1x0x2?x1x1?x2clnx2lnt2, t?1, ?, (5) x1t?1t?112(t?1)?2(t?1)(t?1)22t?2??0, 设 s(t)?lnt?,则s?(t)??t?1t(t?1)2t(t?1)2∴s(t)在(1,??)上递增, ∴s(t)?s(1)?0.

∴ (5)式不可能成立,(4)式不可能成立,g??x0??k.

不妨令t? ∴“伪二次函数”g?x??ax?bx?clnx不具有(ⅰ)的性质. -------12分

2

43. (变形构造,第2问用到均值不等式)

22

已知定义在正实数集上的函数f(x)=x+4ax+1,g(x)=6alnx+2b+1,其中a>0.

⑴设两曲线y=f(x),y=g(x)有公共点,且在该点处的切线相同,用a表示b,并求b的最大值; ⑵设h(x)=f(x)+g(x)-8x,证明:若a≥-1,则h(x)在(0,+∞)上单调递增; ⑶设F(x)=f(x)+g(x),求证:对任意x1,x2∈(0,+∞),x1<x2有>8. 解:⑴设f(x)与g(x)交于点P(x0,y0),则有

f(x0)=g(x0),即x+4ax0+1=6a2lnx0+2b+1.① 又由题意知f′(x0)=g′(x0),即2x0+4a=.② 由②解得x0=a或x0=-3a(舍去).

22

将x0=a代入①整理得b=a-3alna.

22

令s(a)=a-3alna,则s′(a)=2a(1-3lna),

32a∈(0,)时,s(a)递增,a∈(,+∞)时,s(a)递减,所以s(a)≤s()=e3,

232323即b≤e,b的最大值为e3. 22⑵h(x)=f(x)+g(x)-8x,h′(x)=2x++4a-8,

因为a≥-1,所以h′(x)=2x++4a-8≥4a+4a-8≥4(+1)(-1)-8≥0,即h(x)在(0,+∞)内单调递增.

⑶由⑵知x1<x2时,h(x1)<h(x2),即F(x1)-8x1<F(x2)-8x2. 因为x1<x2,所以>8.

38

a,a为正常数. x?19⑴若f(x)?lnx??(x),且a?,求函数f(x)的单调增区间;

2⑵在⑴中当a?0时,函数y?f(x)的图象上任意不同的两点A?x1,y1?,B?x2,y2?,线段AB的中点为C(x0,y0),记直线AB的斜率为k,试证明:k?f?(x0).

g(x2)?g(x1)??1,求a的??x,x?0,2x?xg(x)?lnx??(x)⑶若,且对任意的12,12,都有x2?x1取值范围.

1ax2?(2?a)x?1?解:⑴f?(x)??

x(x?1)2x(x?1)2911∵a?,令f?(x)?0得x?2或0?x?,∴函数f(x)的单调增区间为(0,),(2,??).

222⑵证明:当a?0时f(x)?lnx

xln2121?f(x2)?f(x1)lnx2?lnx1x1 ∴f?(x)?, ∴f?(x0)?,又

k???xx?xx012x2?x1x2?x1x2?x1xln22x1与不妨设x2?x1 , 要比较k与f?(x0)的大小,即比较的大小,

x1?x2x2?x1x2(2?1)x22(x2?x1)x1lnx?x?又∵2与的大小. 1,∴ 即比较x2x1x1?x2?1x144. 已知函数?(x)?14(x?1)22(x?1)??0, (x?1),则h?(x)??令h(x)?lnx?x(x?1)2x(x?1)2x?1∴h(x)在?1,???上位增函数.

x2(2?1)x2xxx1?1,∴h(2)?h(1)?0, ∴ln2?又,即k?f?(x0)

xx1x1x12?1x1g(x2)?g(x1)g(x2)?x2??g(x1)?x1???1,∴ ?0 ⑶∵

x2?x1x2?x1由题意得F(x)?g(x)?x在区间?0,2?上是减函数.

1aa?1 ?x, ∴ F?(x)??1? 当1?x?2,F(x)?lnx?2x(x?1)x?1(x?1)21由F?(x)?0?a??(x?1)2?x2?3x??3在x??1,2?恒成立.

xx11设m(x)?x2?3x??3,x??1,2?,则m?(x)?2x?2?3?0

xx27∴m(x)在?1,2?上为增函数,∴a?m(2)?.

2 39

2? 当0?x?1,F(x)??lnx?1aa?1 ?x,∴ F?(x)???2x(x?1)x?1(x?1)21由F?(x)?0?a???(x?1)2?x2?x??1在x?(0,1)恒成立

xx1设t(x)?x2?x??1,x?(0,1)为增函数,∴a?t(1)?0

x27综上:a的取值范围为a?.

245. 已知函数f(x)?lnx?

12ax?(a?1)x(a?0). 2(Ⅰ)求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)记函数y?F(x)的图象为曲线C.设点A(x1,y1),B(x2,y2)是曲线C上的不同两

x1?x2;②曲线C在点M处的切2线平行于直线AB,则称函数F(x)存在“中值相依切线”.试问:函数f(x)是否存在“中

点.如果在曲线C上存在点M(x0,y0),使得:①x0?值相依切线”,请说明理由. 解:(Ⅰ)易知函数f(x)的定义域是(0,??),

1a(x?1)(x?)1a.????1分 f'(x)??ax?a?1??xx11 ①当??1时,即a??1时, 令f'(x)?0,解得0?x??或x?1;

aa1 令f'(x)?0,解得??x?1.?????2分

a11 所以,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增,在(?,1)上单调递减

aa1 ②当??1时,即a??1时, 显然,函数f(x)在(0,??)上单调递增;?????3分

a11 ③当??1时,即?1?a?0时, 令f'(x)?0,解得0?x?1或x??;

aa1 令f'(x)?0,解得1?x??.?????4分

a11 所以,函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增,在(1,?)上单调递减

aa综上所述,

11,1)上单调递减;

aa⑵当a??1时,函数f(x)在(0,??)上单调递增;

11⑶当?1?a?0时,函数f(x)在(0,1)和(?,??)上单调递增,在(1,?)上单调递

aa⑴当a??1时,函数f(x)在(0,?)和(1,??)上单调递增,在(?减.?????5分

(Ⅱ)假设函数f(x)存在“中值相依切线”.

40

本文来源:https://www.bwwdw.com/article/9hkg.html

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