培优班大学物理(下)作业参考答案01电磁

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练 习 一

1.

两个粗细不同、长度相同的铜棒串联在一起，在两端加有一定的电压V，如图所示，略去分界处的边缘效应，问： （1） （2） （3） （4）

通过两棒的电流强度是否相同？ 通过两棒的电流密度是否相同？ 两棒中的电场强度是否相同？

细棒两端和粗棒两端的电压是否相同？

ISV解： (1) 通过两棒的电流强度相同；（串联）

（2） ??，I1?I2,S1?S2????1??2 即通过两棒的电流密度不同；

E1?E2 即两棒中的电场强度不同；

R1?R2

（3） E???，?1??2,（4） R??lS?1??2???l1?l2,，?1??2,S1?S2???U1?I1R1?I2R2?U2

即细棒两端和粗棒两端的电压不同。

2.

一铜棒的横截面积为20mm×80mm，长为2m，两端的电势差为50mV。已知铜的电阻率为ρ＝1.75×10-8 Ω·m，铜内自由电子的数密度为8.5×1028/m3。求： （1）棒的电阻； （2）通过棒的电流； （3）棒内的电流密度； （4）棒内的电场强度； （5）棒所消耗的功率；

（6）棒内电子的平均漂移速度。 解：（1）R?? （2）I? （3）??URISlS?1.75?10?3?8?220?80?10?5?6?2.19?103?5(?)

?50?10/(2.19?10)?2.28?10(A)

3?6?2.28?10/(20?80?10?86)?1.43?10(A/m)

?262 （4）E????1.75?10?1.43?10?2.50?10?3(V/m)

（5）P?IU?2.28?10?50?1063?114(W)

28 （6）v??/(ne)?1.43?10/(8.5?10

?1.6?10?19)?1.05?10?4(m/s)

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3.

金属导体中的传导电流是由大量的自由电子的定向漂移运动形成的，自由电子除无规则热运

?动外，将沿着电场强度E的反方向漂移。设电子电量的绝对值为e，电子的“漂移”速度的平均值为v，单位体积内自由电子数为n，求金属导体中的传导电流密度大小。

解：

???I?S?ne?S?v?t?S??t?nev

?S?I 4.

v??t在如图所示的一段电路中，两边为电导率很大的导体，中间有两层电导率分别为?1和?2的均匀导电介质，其厚度分别为d1和d2，导体的横截面积为S，当导体中通有稳恒电流强度I时，求：

（1） （2） 解：

两层导电介质中电场强度的E1和E2； 电势差UAB和UBC。

IABC?1d1?2d2I（1） ??IS??E， I??ES，

?1E1S??2E2S?I

E1?I?1S,E2?I?2S,

Id2（2）

UAB?E1d1?Id1?1SUBC?E2d2??2S

5. 某闭合三棱柱面如图所示，处于磁感应强度大小为B?2.0Wb?m匀磁场中。已知ab = 40 cm, be = ad = 30cm, ae = 50cm, 求：

通过图中 abcd 面的磁通量； 通过图中 befc 面的磁通量； 通过图中 aefd 面的磁通量。

a?2、方向沿x轴正方向的均

yb（1） （2） （3）

e????解： ??B?S?B?Scos(n,B)

?BxcO（1）

（2）

?abcd?BSabcdcos???2?0.30?0.40??0.24(Wb)zdf?befc?B?Sbefc?cos?2?0

?aefd???B?Saefd?BSabcd?0.24(Wb)

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练习二 1.

求下图各图中P点的磁感应强度B的大小和方向。

IIIPraPIPIa解：（1）水平段电流在P点不产生磁场，竖直段电流是一“半无限长”直电流，它在P点的磁场为

Ir B?1?0I22πa??0I4πa 方向垂直纸面向外。

?0I(2πr)（2）两直线电流在P点的磁场相当于两个“半无限长”直电流磁场的叠加，为。半圆电流

在P点的磁场为圆电流在圆心处磁场的一半，即P点的总磁场大小为

B＝?0I4r。

?0I2πr??0I4r，方向垂直纸面向里。

（3）P点到每一边的距离为a/(23)。P点的磁场是三边电流产生的同向磁场的叠加，为

B?3??0I4πa/(23)(cos30?cos150)?009?0I2πa，方向垂直纸面向里。

2.

有一宽为a的无限长薄金属片，自下而上通有均匀分布的电

?流I ，如图所示，求图中P点处的磁感应强度B。

IadI解： dI?d rdB?P?0dI2?r??0I2?ardr lnl?allB??l?al?0I2?ardr??0I2?ar

a方向垂直纸面向里。

3.

半径为R的圆环，均匀带电，单位长度所带的电量为?，以每秒n转绕通过环心并与环面垂直的轴作等速转动。求：

AO（1） 环中的等效电流强度； （2） 环的等效磁矩大小； （3） 环心的磁感应强度大小；

（4） 在轴线上距环心为x处的任一点P的磁感应强度大小。

解： (1) I?qn?2?R?n

xR大学物理下作业 学号 姓名 序号

(2) m?IS?2?R???n??R2?2?2R3?n (3) Bo?（4）Bx??0I2R23??0??n

?0IR2r??0(2?R?n)R2?R?x222?32??0??nR332

?R2?x2?

4.

一载有电流I的圆线圈，半径为R，匝数为N。求轴线上离圆心x处的磁感应强度大小B，取R =12 cm，I=15A，N=50，计算x = 0 cm，x = 5.0 cm, x = 15 cm各点处的B值； 解： Bx??0NIR2?R?x2232

2?x?0： B1??0NIR2?R?x2232?4??10?7?50?15?0.12322???2?0.124??10?7?3.9?10(T)

?3x?0.05m： B2??0NIR2?R?x2232??50?15?0.123222?3.0?10(T)

?322?(0.12?0.050)2?4??10?7x?0.15m： B3??0NIR2?R?x2232?50?15?0.123222?9.6?10(T)

?422?(0.12?0.150)2 5.

在一半径R=1.0cm的无限长半圆柱形金属薄片中，自上而下通有电流I=5.0A，如图所示。求圆柱轴线上任一点P处的磁感应强度。 解： dI? dB??0dI2?RIII?R?dl??R?IRd??d?

?d?

y?02?R??dBdIdBx??dBsin???dBy?dBcos??By??0I2?R22?rPsin?d?

?x?0I2?Rcos?d?

???0I2?R20cos?d???0I2?R2?sin?0?0

?B?Bx???0??0I2?R?72sin?d???0I2?R?52cos?0???0I?R2

??10沿x负向。

??4??102?5.0?2??2??10(T)

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6. 质量为M、半径为R的薄均质圆盘上均匀带电，总电量为q，令此盘绕通过盘心且垂直盘面的轴线匀速转动，角速度为?，求

AO（1） 轴线上距盘心x处的磁感应强度； （2） 圆盘的等效磁矩； （3） 磁矩与角动量的关系。 解： （1） 圆盘上电荷面密度 ??取半径为r?r?dr的圆环，则：

dq???2?rdr dI?dqT?q?R2

rRx?2?2??2?rdr????rdr

dB??0rdI2?r?x22?232??0r2232???rdr

2?r?x23222???0q?4?R2?rd(r) 沿x正向

?r?xR2?2B??dB??0q?4?R2?0x?x?r222?r2?x2?32d(r)

2??2x?r?4?R?2?0q??2?? 22x?r?02x2R2?2?R???，或相反（q?0）。 B的方向与?方向相同（q?0）

??0q??R2?2x2??2x? 22R?x?（2） dm??r?m??2?2?dq????rdr

3?14dm??4R0???rdr

143???R???qR

142?qR?

2矢量式： m??即：m的方向与?方向相同（q?0），或相反（q?0）；

??12?(3) L?J??MR?，所以有

2?m?q2M?122?MR???q2M?L

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练习三

1. 如图所示，两导线中的电流I1和I2均为8A，对图中所示的三条闭合曲线a、b、c， （1） 分别写出安培环路定理表达式；

（2） 在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度的大小是否相等？ （3） 在闭合曲线c上各点磁感应强度的大小是

否为零？

解：

（1）

??B?dl??0I1?8?0

caI1??????bbI2a??B?dl??0I2?8?0 ??B?dl??0(I2?I1)?0

c（2） 不相等； （3） 不为零。

2. 两根导线沿半径方向被引到铁环上A，C两点，电流方向如图所示。求环中心O处的磁感应强度是多少？

解：两根长直电流在圆心处的磁场均为零。I1在圆心处的磁场为 1 ?Il?IlB1?011?0121，方向垂直纸面向外；

2r2πr4πrI2在圆心处的磁场为

I A 2 C I B2??0I2l22r2πr??0I2l24πr2o ， 方向垂直纸面向里；

由于l1和l2的电阻与其长度成正比，于是

I1I2R1l1??因此，B1和B2大小相等，方向相反，因而圆心处的合磁场为零。

?R2?l2， 即：I1l1?I2l2

3. 如图所示，两无限大平行平面上都有均匀分布的电流，设其单位宽度上的电流分别为i1和i2，且方向相同。求：

（１） 两平面之间任一点的磁感应强度； （２） 两平面之外任一点的磁感应强度； （３） i1?i2?i时，结果又如何？ 解：如图将空间分成三个区域1、2、3

B?12123?0i

i1i2?????（1）两平面之间：B2?Bi1?Bi2 Bi1与Bi2方向相反

B2?12?0(i1?i2)，方向：垂直纸面向里

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??（2）两平面之外：Bi1与Bi2方向相同。

B1?B3?12???0(i1?i2)，方向：B1垂直纸面向外；B3垂直纸面向里

（3）B2?0；B1?B3??0i

4. 矩形截面的螺绕环，尺寸如图所示。 （１） 求环内磁感应强度的分布；

（２） 证明通过螺绕环截面（图中阴影区）的磁通量，???0匝数，I为其中电流强度。

解： （1）

IINIh2?lnD1D2 式中N为螺绕环总

??L??B?dl??0?I内

B?2?r??0NI

B??0NI2?r

D12D22（2） ???S??B?dS???0NI2?r?hdr

D2h??0NIh2?lnD1D2

D1

5. 一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱（半径为a）和一同轴导体圆管（内外半径分别为b、c）构成，使用时，电流I从一导体流出，从另一导体流回。设电流都是均匀分布在导体的横截面上，如图所示。求

（1） 导体柱内 ( r < a )； （2） 两导体之间 ( a < r < b ) ； （3） 导体圆管内 ( b < r < c ) ；

（4） 电缆外 ( r > c ) 各点处磁感应强度的大小，并画

出B — r曲线。

???0B?2?r???IB??I内 B?dl???I解： ?， ， 0内0内?L2?r（1） 0?r?a：B?（2） a?r?b：B?（3） b?r?c：

?0?0I2?rI2II2?r?a?r?2?0Ir2?a2

B?0I2?a

?0I2?b222?0Ic?rI?(r?b)?B?I?? ??22222?r??(c?b)?2?rc?b（4） r?c： B?0；

O?0?2abcr大学物理下作业 学号 姓名 序号

6. 一根外半径为R1的无限长圆柱形导体管，管内空心部分的半径为R2，空心部分的轴与圆柱的轴相平行但不重合，两轴间距离为a，且a >R2。现在电流I沿导体管流动，电流均匀分布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行，如图所示，求： （1） 圆柱轴线上的磁感应强度的大小； （2） 空心部分轴线上的磁感应强度的大小；

????解：（1） Bo?B1?B2?B2

设R1=10mm, R2=0.5mm, a =5.0mm, I =20 A.

O空心部分 IBo??02?a??R2?R22222?02?a?(R1?R2)?2?10?7?3?I22??R2

2222?aR1?R25.0?10????（2） Bo??B1?B2?B1

??0I??20??0.5?2??10?0.5??2.0?10?6(T)

Bo???02?a??a??722?02?a?(R1?R2)?3?I22??a?2?0Ia2?a(R1?R2)22

?2?10?20?5.0?10?0.52?10??10?6?2.0?10?4(T)

7. 在一对平行圆形极板组成的电容器（电容C＝1×10－12F）上，加上频率为50Hz，峰值为1.74×105V的交变电压，计算极板间的位移电流的最大值。 解：极板间的电通量为

?e?ES??S/?0?Q/?0?CU/?0

Id??0d?edt?CdUdt

?12Id,max?2π?CUmax?2π?50?1?10?1.74?105?5.5?10?5A

8. 试证明平行板电容器中位移电流可写为Id?Cdu/dt?dq0/dt，忽略边缘效应，式中C是电容器的电容，u是两极板电压。 解： ? C?而 ?0?q0Uq0S， ?q0?CU ?CUS， D??0

?S?CdUdt?d(CU)dt?dq0dt?Id?

?D?t?S?C?US?t

9. 为了在一个1μF的电容器中产生由1A的瞬时位移电流，加在电容器上的电压变化率为多大？ 解： ? Id?Cdudt， ?

dudt?IdC?1.00?10V/s

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练习四

?2１． 如图所示，电流I ＝7.0 A，通过半径R?5.0?10m的铅丝环，铅丝的截面积

S?7.0?10?72m，放在B ＝1.0 T的均匀磁场中，求铅丝中的张力及由此引起的拉应力(即单位

面积上的张力)。 解： 铅丝受到的合力为0

但环上各处都受到沿法向的磁场力 铅丝中的张力：

F?2BIR2FS?1.0?7.0?5.0?10?2y?I?0.35(N)

??R????O??????B???x单位面积上的张力： ???0.357.0?10?7?????5.0?10(Pa)

5?

２． 如图所示，在长直导线AB内通有电流I1，有限长导线CD中通有电流I2，AB与CD共面且垂直，求：

（１） 长直导线AB在空间的磁场分布； （２） CD受到AB的磁力； （３） 若CD自由，则将如何运动？ 解： （1）

??B?dl??0I1

BA?FCdI1I2Dl??LB?2?r??0I1 B??0I1?（2） F??L2?r??I2dl?B，方向如图所示；

大小：F??d?ldI2?0I12?rdr??0I1I22?lnd?ld

（3） 向上加速运动的同时，顺时针转动到与AB平行后向右运动；

３． 将一均匀分布着电流的无限大载流平面放入均匀磁场中，电流方向与此磁场垂直。已知平面两

??侧的磁感应强度分别为B1和B2（如图所示），求该载流平面单位面积所受的磁场力的大小和方向。

解：载流平面在其两侧产生的磁场

B1i?B2i???0i2，方向相反

均匀外磁场B0在平面两侧方向相同

?由图所示可知：B2?B1，i的方向为垂直纸面向里。

B1?B0?B1i, B2?B0?B2i

?B1?B2大学物理下作业 学号 姓名 序号

由此可得： B0?(B1?B2)/2, B1i?B2i?(B2?B1)/2

i?2B1i?0?B2?B1?0

22（B2?B1）载流平面单位面积受的力为： F?iB0?

2?0?方向垂直载流平面指向B1一侧。

４． 横截面积S?2.0mm2的铜线，弯成U形，其中OA和DO?两段保持水平方向不动，ABCD段

?是边长为a的正方形的三边，U形部分可绕OO?轴转动。如图所示，整个导线放在匀强磁场B中，?3?3B的方向竖直向上。已知铜的密度??8.9?10kg?m，当这铜线中的电流I =10 A时，在平衡情况下，AB段和CD段与竖直方向的夹角为??15?。求磁感应强度的大小B。 解：重力矩

M1?2a?gS?212OAasin??a?gSasin?

IB?BDO??2Sa?gsin??磁力矩 M2?Ia2Bsin????2????IaBcos? 2??IC2平衡时 M1?M2， 2Sa2?gsin??IaBcos?

B?2S?gItan??2?2.0?10?6?8.9?10?9.8103?tan15??9.3?10?3(T)

５． 如图所示，一平面塑料圆盘，半径为R，表面带有面密度为?的剩余电荷。假定圆盘绕其轴线

AA?以角速度?转动，磁场B的方向垂直于转轴AA?，证明磁场作用于圆盘的力矩大小为：

M????RB44

A?B解： 取半径为r?r?dr的圆环，则此圆环所带电荷为：

dq???2?rdr dI?r?2?Rdq

A?2dm?SdI??r?dM?Bsin?2?dq????rdr

33?2dm????Brdr

3M??dM?????Brdr????BR44

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６． 如图所示，在长直导线AB内通有电流I1?20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2?10A，AB与线圈共面，且CD、EF 都与AB平行，已知a = 9.0 cm , b = 20.0 cm , d =1.0 cm ，求： （1） 矩形线圈每边受到的导线AB磁场的作用力； （2） 矩形线圈所受到的合力和以导线AB为轴的合力矩； （3） 将矩形线圈平移至左边对称位置，磁力做的功；

（4） 将矩形线圈以AB为轴旋转π至左边对称位置，磁力做的功。 解：

（1） 矩形线圈每边受力为：

fCD?ACaFI1dI2bE?0I12?dI2b?7D?2?10??4201.0?10(N)?2B?10?0.20 ， 向左；

?8.0?10fEF??0I12??d?a?I2b?2?10?7?201.0?10d?add?ad?1?10?0.20?8.0?10?5(N) ， 向右；

fDE?fCF???d?ad?0I12?rI2dr?I2dr??0I1I22?ln?2?10?7?20?10?ln10?9.2?10(N)，向下；

?5d?ad?0I12?r?0I1I22?ln?9.2?10(N)，向上

?5?????（2） F?fCD?fEF?fDE?fCF

F?fCD?fEF?7.2?10?4N，方向向左

由于线圈各边受力与轴共面，所以它所受的力矩为零。 （3） ?1????B?dS??a?dd?0I12πr?bdr??0I1b2πlna?ddln

a?ddA?I2(?2??1)?I2(??1??1)????4?10?7?0I1I2bπ1.0

?5?20?10?0.200?ln9.0?1.0?3.68?10(J)

???1)?I2(?1??1)?0 （4） A?I2(?2

７． 如图所示，一直角边长为 a 的等腰直角三角形线圈ACD内维持稳恒电流强度为I，放在均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行。求： (1)． AC边固定，D点绕AC边向纸外转(2)． CD边固定，A点绕CD边向纸外转(3)． AD边固定，C点绕AD边向纸外转解：

?2，磁力做的功； ，磁力做的功； ，磁力做的功。

A?B?2IC?2D大学物理下作业 学号 姓名 序号

（1） ?1?0， ?2?BS?A?I2(?2??1)?I2(112aB

222aB?0)?I22aB

2（2） ?1?0， ?2?0， A?I2(?2??1)?0

???1222（3） ?1?0， ?2?B?S?BScos?a2B??aB

4224A?I2(?2??1)?I2(24aB?0)?224aBI2

2

８． 一个半径R = 0.10 m的半圆形闭合线圈，载有电流I = 10 A，放在均匀外磁场中，磁场方向与线圈平面平行（如图所示），磁感应强度的大小B?5.0?10?1T。 （１） 求线圈所受磁力矩的大小和方向；

（２） 在这力矩的作用下线圈转过90?（即转到线圈平面与B垂直），求磁力矩作的功。

??????????解： （1） M?m?B， 方向如右图 M?m?BM?mB?ISB?12?RIB

?12?12??0.1?10?5.0?10?32 (Nm)?25??10?7.85?10?2RI?oB?2（2）A?I(?2??1)?IBS?7.85?10(J)

９． 如图所示，半径为R载有电流I1的导体圆环，与载有电流I2的长直导线AB彼此绝缘，放在同一平面内，AB与圆环的直径重合。试求圆环所受安培力的大小和方向。 解：

???df?I1dl?B， 方向如图

AI2由对称性分析可知， F?Fx

F????0I12??0I22?rI1dlcos?

rR??I1dl?dfI1?0I22?Rcos?Ocos?Rd?

x??0I1I2

方向沿x 正向

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练习五

１． 如图所示，一电子经A沿半径R＝5cm的半圆弧以速率v?1?107ms运动到C点，求（1）所

需磁感应强度大小和方向；（2）所需时间。 解：（1）对电子的圆运动用牛顿第二定律

evB?mmvv2?vR

?31??19eR1.6?10?0.05磁场方向应垂直纸面向里。

B?9.11?10?1?107A?1.1?10(T)

?3OC（2）所需时间应为：

?t?

２．一电子在B?70?10?4T的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r = 0.3 cm ，已知B垂直于纸面向

外，某时刻电子在A点，速度v向上，如图所示。 (1) 画出这电子运动的轨道； (2) 求这电子速度v的大小； (3) 求这电子的动能Ek。 解： （1） 电子运动的轨道如右图

（2） mv2T2?2πR2v?π?0.05?8?1.6?10 s71?10???v?Br?er?evB eBrm2v??121.6?10?19?70?109.1?10?4?0.3?10?2?31?3.69?10(m/s)

?186（3）Ek?

12mv??9.1?10?31?(3.69?10)?6.2?1062(J)

３．在霍耳效应实验中，一宽1.0 cm 、长4.0 cm 、厚1.0?1.0cm的导体，沿长度方向载有3.0A的电流，当磁感应强度大小为B =1.5 T的磁场垂直地通过该导体时，产生1.0?10求：

(1) 载流子的平均漂移速度； (2) 每立方米的载流子数目。 解：（1）fL?fe，qvB?qE?qv?UHBaIevSUHa?5?3V的横向电压，?B???b?f?L??v 23?3?4?a??fe???I?1.0?10?5?21.5?1.0?10Ievab??10?6.7?10(m/s)

????? （2） I?JS?nevS

n???3.01.60?10?19?6.7?10?4?1.0?10?2?1.0?10?5?2.8?1029(m?3)

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４．真空中两束阴极射线向同一方向以速率v发射，试分析两束射线间相互作用的电磁力，并给出两

者大小的比值。

解：阴极射线为电子流。考虑其中距离为r 且正对着的一对电子：

Fe?eE?e224??0r， 相互排斥

Fm?evB?evFeFm?1?0ev4?r2??0ev4?r222， 相互吸引

?0?0v2

５．如图所示，一电子在B?20?10?4T的磁场中沿半径为R = 2 cm的螺旋线运动，螺距为h = 5.0

cm。

（１） 磁场B的方向如何？ （２） 求这电子的速度。 解：

（1） 磁场方向如图向上 （2）

? ??mvsin?R22?BRh?qvsin?B2?Rvsin?

h?vcos?vsin??qRB?m ??vcos??qBh2?mv?qBmR??192h224?

?4?1.6?10?20?10?319.1?102?Rh0.02?20.05224?3.14?7.57?10(ms)6?1??arctg?arctg4?5?68.30?

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６．一环形铁芯横截面的直径为4.0mm，环的平均半径R=15mm，环上密绕着200匝的线圈，如图所

示，当线圈导线中通有25mA的电流时，铁芯的相对磁导率?r?300，求通过铁芯横截面的磁通量。 解：

II??L??H?dl?NI

H?2?R?NI H?NI2?R

d2)

?3?322RB??0?rH???BS??0?rNI2?R??(?0?rNI2?R?7?2?10?300??7200?25?1015?10?3?3.14?(2?10)

?2.512?10(Wb)

７．有一圆柱形无限长磁介质圆柱体，其相对磁导率为?r，半径为R，今有电流I沿轴线方向均匀通

过，求：

（1） 圆柱体内任一点的B； （2） 圆柱体外任一点的B；

（3） 通过长为L的圆柱体的纵截面的一半的磁通量。 解：

（1） r ＜ R

??H?dl??内I rR2??L22H?2?r?H?IrI

2?R??H?dl??内I （2） r ＞ R ??L， B??0?rH??0?rIr2?R2

H?2?r?I H?I2?r， B??0H?R0?0I2?r2

?R?2（3） ??

???B?dS???0?rIr2?R2?Ldr??0?rIL4?R?0?rIL4?

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5. 如图所示，一均匀磁场被限制在半径R = 20 cm的无限长圆柱形空间内，磁场以

dB/dt?(4/?)T?s?1的恒定速率增加。问图中线框abcda的感生电流是多少？已知线框的电阻

R?4.0?,???/6,oa?ob?10cm,oc?od?30cm。

解：

?i?S?Ii?cdBdt??2(R?Oa)22dBdt?????1?422??(0.20?0.10)??0.01(V)26?

??ROb????????iR?0.014.0?2.5?10?3(A)

?B????a方向：逆时针

d6. 一电子在电子感应加速器中半径为1.0 m的轨道作圆周运动，如果电子每转一周动能增加700 eV，计算轨道内磁通量的变化率解：

d?dtd?dt??i， e?i??Ek ??Eke?700eVe?700(V) d?dt。

7. 在半径为R的圆筒内，有方向与轴线平行的均匀磁场B，以1.0?10?2T?s?1的速率减小，a、b、c各点离轴线的距离均为r = 5.0 cm，试问 (1)． 电子在各点处可获得多大的加速度？ (2)． 加速度的方向如何？

(3)． 如果电子处在圆筒的轴线上，它的加速度又是多大？ 解： （1）

Ek??rdB2dteEkm?0

??2?????a?????RO??5.0?102?Bc?????(?1.0?10)?2.5?10?2?4(Vm)? a?fm???1.6?109.1?10?19?31b??2.5?10?4?4.4?10(ms)

72（2） 方向：a 点向左，b点向右，c点向上 （3） a

r?0大学物理下作业 学号 姓名 序号

8. 在两根通有反向电流I的平行长直导线的平面内，有一矩形线圈放置如图所示，若导线中电流随时间的变化率为dI/dt?K（大于零的恒量）。试计算线圈中的感生电动势。 解：???2??1??a?da??0I2πr?ldr??b?d?0I2πrb?ldr

d?0Il?d?dt?ln2π??a?da??lnb?d?? b?a?da?lnb?d?? b?IIbal?i????0ldI?2πa?da?lndt??ln?0lK?2π?ln?b?d?? b?方向如图（逆时针）。

9. 在电子感应加速器中，要保持电子在半径一定的轨道环内运行，轨道环内的磁场B应该等于环围绕的面积中B的平均值B的一半，试证明之。 解：电子沿半径为R的一定轨道运动时，其运动方程为

eE?meat?medvdt (1)

2evB?mean?mevR (2)

dvdt?eRme由(2)式得 eB?mev/R（其中B为环内磁场），而代入(1)式可得

dBdt?ER，

d??πR2又由于感应电场 E?代入上式，即可得

1dB2?Rdt2πRdt?RdB2dt（B为环围绕的面积内的磁场的平均值）

dBdtB2?1dB2dt

由此可得 B?

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练习八

1．一圆环形线圈a由50匝细线绕成，截面积为4.0cm2，放在另一个匝数等于100匝，半径为20.0cm的圆环形线圈b的中心，两线圈同轴。求： （1）两线圈的互感系数；

（2）当线圈a中的电流以50A/s的变化率减少时，线圈b内磁通量的变化率； （3）线圈b的感生电动势。

解：（1）线圈b通电流Ib时，由于线圈a的半径较线圈b的半径甚小，所以可近似求得线圈a通过的

磁链为

?ab?Nb?0Ib2RbNaSa

由此得两线圈的互感系数为

M?（2）

d?badt??abIb??0NaNb2RbSa?4π?10?7?50?100?4.0?102?0.2?4?6.3?10?6?6H

1d?baNbdt?1NbMdiadt?6?1100?6.3?10?6?(?50)??3.1?10Wb/s

（3）?ba??Mdiadt??6.3?10?(?50)?3.1?10?4V

2． 一长直螺线管的导线中通入10.0A的恒定电流时，通过每匝线圈的磁通量是20μWb；当电流以4.0A/s的速率变化时，产生的自感电动势为3.2mV。求此螺线管的自感系数与总匝数。 解： L??/didt?3.2?10?3/4.0?0.8?10?3H

又 L?N?/I 所以 N?LI/??0.8?10?3?10.0/(20?10?6)?400（匝）

3. 一截面为长方形的环式螺绕环，共有N匝，其尺寸如图所示。 （１） 证明：此螺绕环的自感系数为：

L?2??Nh2?lnba

（２） 沿环的轴线拉一根直导线。求直导线与螺绕环的互感系数M12和M21，二者是否相等？ 解：（1）设螺绕环通有电流I，

则有： H?NI2πr， B?ba?0NI2πrh

ba???I??B?dS????0NI2πr2?hdr??0NIh2πlnba

L???N?I?0Nh2πlnba

（2）直导线可以认为在无限远处闭合，匝数为1。螺绕环通过电流I1时，通过螺绕环截面的磁

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通量也就是通过直导线回路的磁通量。因此

M21??21I1??1I1??0NI1h2πlnba/I1??0Nh2πlnR2R1

当直导线通有电流I2时，其周围的磁场为

B2??0I2/(2πr)

通过螺绕环截面积的磁通量为

b?12?M12??B2hdr?a?0I2h2π?b?adrr??0I2h2πbalnba

?12I2?N?12I2?0Nh2πln

比较这两个结果 M12?M21

4. 一螺绕环，横截面的半径为a ，中心线的半径为R ，R >> a ，其上由表面绝缘的导线均匀地密绕两个线圈，一个匝N1，另一个匝N2。求：

(1) 两线圈的自感L1和L2； (2) 两线圈的互感M ； (3) M与L1和L2的关系。

2??11?B1??a??0解：(1) 设I1 ， 则 B1??0n1I1??N12?RI1??a

2L1?N1?11I1??0N122?R???a?2?0N1a2R??a?222

?0N2a2R?22同理可得：L2???21??0 (2) I1??N2?22I2N12R?0N22?R2

2I1a???M21?2N2?21I1?0N1N2a2R?M

(3) M2?L1L2

5. 一无限长导线通以电流I?I0sin?t，紧靠直导线有一矩形线框，线框与直导线处在同一平面内，如图所示，求：

(1) 直导线和线框的互感系数； (2) 线框中的感应电动势。 解：(1) 设直导线中通有电流 I1 ，则

?21?II?I0sin?t???B?dS?3a?2a2?0I12?r?adr??0I1a2?ln3

aM21?N2?21I1?1?dI1dt?0I1a2?I12?ln3??0a2?ln3

a232a(2) ?21??M21???0aln3?I0?cos?t

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练习九

１． 氢原子中电子在一圆轨道上运动，问这轨道中心处磁场能量密度有多大？玻尔氢原子模型中电

子的轨道半径为5.1?10?11m，频率f等于6.8?105Hz。 解：等效电流：I?ef

B??0I2R?2?0ef2R

wm??B2?0?12?0?7?0ef2R2222222??38?0ef8R22224??10?1.6?10(J?m?3?6.8?10108?5.1?10?13?22

?7.15?10)

２． 一长直的铜导线截面半径为5.5mm，通有电流20A。求导线外表面处的电场能量密度和磁场能

量密度各是多少？铜的电阻率为1.69?10-8??m。 解：外表面处的

E?????I/(?R)，H?2I2πR，

?12we??02E2??0(?I)2(πR)222 ?8.85?10?(1.69?10?3?82?20)222?[π?(5.5?104π?102?7)]?5.6?10?17J/m

3wm??0H22??02(I2πR)?2?202?32?4π?(5.5?10)2?0.21J/m

3

３． 在一个回路中接有三个容量均为30?F的电容器，回路面积为100cm2，一个均匀磁场垂直穿过

回路平面，如图所示，若磁场的大小以每秒5特斯拉(5T?sC03?1）的速率随时间而均匀增加，求每

个电容器上的电量为多少？并标出每个电容器极板的极性。 解： C??i?S

?100?10?4C0?5?5?10?2dBdt(V)

?????????????q0?q?C?i?303?10?6?5?10?2?5.0?10?7(C)

C0??B???C0

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