高中数学第一章三角函数122同角三角函数关系学案苏教版必修4

1.2.2 同角三角函数关系

学习目标 1.能通过三角函数的定义推导出同角三角函数的基本关系式.2.理解同角三角函数的基本关系式.3.能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数式的化简、求值和证明．

知识点 同角三角函数的基本关系式 思考1 计算下列式子的值： (1)sin30°＋cos30°； (2)sin45°＋cos45°； (3)sin90°＋cos90°.

由此你能得出什么结论？尝试证明它．

思考2 由三角函数的定义知，tan α与sin α和cos α间具有怎样的等量关系？

梳理 (1)同角三角函数的基本关系式 ①平方关系：________________. ②商数关系：________________. (2)同角三角函数基本关系式的变形 ①sinα＋cosα＝1的变形公式 sinα＝________；cosα＝________.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

sin α

②tan α＝的变形公式

cos α

sin α＝________；cos α＝________.

类型一 利用同角三角函数的关系式求值

命题角度1 已知角α的某一三角函数值及α所在象限，求角α的其余三角函数值 5

例1 若sin α＝－，且α为第四象限角，则tan α的值等于________．

13

反思与感悟 同角三角函数的关系揭示了同角三角函数之间的基本关系，其常用的用途是“知一求二”，即在sin α，cos α，tan α三个值之间，知道其中一个可以求其余两个．解题时要注意角α的象限，从而判断三角函数值的正负．

4

跟踪训练1 已知tan α＝，且α是第三象限角，求sin α，cos α的值．

3

命题角度2 已知角α的某一三角函数值，未给出α所在象限，求角α的其余三角函数值 8

例2 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

17

反思与感悟 利用同角三角函数关系式求值时，若没有给出角α是第几象限角，则应分类讨论，先由已知三角函数的值推出α的终边可能在的象限，再分类求解．

5

跟踪训练2 已知cos α＝－，求13sin α＋5tan α的值．

13

类型二 利用同角三角函数关系化简 例3 已知α是第三象限角，化简：

反思与感悟 解答这类题目的关键在于公式的灵活运用，切实分析好同角三角函数间的关系，化简过程中常用的方法有：

(1)化切为弦，即把非正弦、余弦的函数都化为正弦、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的．

(2)对于含有根号的，常把根号下化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． (3)对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sinα＋cosα＝1，以降低函数次数，达到化简的目的．

cos 36°－1－cos36°跟踪训练3 化简：(1)；

1－2sin 36°cos 36°(2)2

cosα

类型三 利用同角三角函数关系证明

tan αsin αtan α＋sin α

例4 求证：＝. tan α－sin αtan αsin α

11＋tanα

2

2

2

2

1＋sin α

－1－sin α1－sin α

. 1＋sin α

－1＋sin α

(α为第二象限角)．

1－sin α

反思与感悟 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： (1)证明一边等于另一边，一般是由繁到简． (2)证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． 左边(3)比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)．

右边

(4)证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． cos x1＋sin x跟踪训练4 求证：＝.

1－sin xcos x

类型四 齐次式求值问题

例5 已知tan α＝2，求下列代数式的值．

4sin α－2cos α12112

(1)；(2)sinα＋sin αcos α＋cosα. 5cos α＋3sin α432

反思与感悟 (1)关于sin α、cos α的齐次式，可以通过分子、分母同除以cos α或cosα转化为关于tan α的式子后再求值．

(2)注意例5的第(2)问中不含分母，可以视分母为1，灵活地进行“1”的代换，由1＝sinα＋cosα代换后，再同除以cosα，构造出关于tan α的代数式．

2

2

22

sin α＋cos α

跟踪训练5 已知＝2，计算下列各式的值．

sin α－cos α3sin α－cos α(1)； 2sin α＋3cos α(2)sinα－2sin αcos α＋1.

4

1．若sin α＝，且α是第二象限角，则tan α的值等于________．

55

2．已知sin α－cos α＝－，则sin αcos α＝________.

43．1－sin

2

2

3π

＝________. 5

4．若tan θ＝－2，则sin θcos θ＝________. 1

5．已知sin α＝，求cos α，tan α.

5

1．利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值．

2．利用同角三角函数的关系式可以进行三角函数式的化简，结果要求：

(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值．

3．在三角函数的变换求值中，已知sin α＋cos α，sin αcos α，sin α－cos α中的一个，可以利用方程思想，求出另外两个的值．

4．在进行三角函数式的化简或求值时，细心观察题目的特征，灵活、恰当地选用公式，统一角、统一函数、降低次数是三角函数关系式变形的出发点．利用同角三角函数的基本关系主要是统一函数，要掌握“切化弦”和“弦化切”的方法．

5．在化简或恒等式证明时，注意方法的灵活运用，常用技巧：(1)“1”的代换；(2)减少三角函数的个数(化切为弦、化弦为切等)；(3)多项式运算技巧的应用(如因式分解、整体思想等)；(4)对条件或结论的重新整理、变形，以便于应用同角三角函数关系来求解．

答案精析

问题导学 知识点

思考1 3个式子的值均为1.由此可猜想：

对于任意角α，有sinα＋cosα＝1，下面用三角函数的定义证明：

设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，则由三角函数的定义，得sin α＝y，cos α＝

2

2

x.

∴sinα＋cosα＝x＋y＝|OP|＝1.

2

2

2

2

2

ysin α

思考2 ∵tan α＝，∴tan α＝. xcos α

梳理 (1)①sinα＋cosα＝1

sin απ

②tan α＝ (α≠kπ＋，k∈Z)

cos α2(2)①1－cosα 1－sinα ②cos αtan α 题型探究 5

例1 －

12

43

跟踪训练1 － －

55

8

例2 解 ∵cos α＝－<0，且cos α≠－1，

17∴α是第二或第三象限角． (1)当α是第二象限角时，则 sin α＝1－cosα＝2

2

2

2

2

sin α

tan α

?8?2151－?－?＝， ?17?17

1517sin α15

tan α＝＝＝－.

cos α88

－17(2)当α是第三象限角时，则

15152

sin α＝－1－cosα＝－，tan α＝.

178跟踪训练2 0

例3 解 原式＝＝

＋sin α

21－sinα

2

＋sin α＋sin α－－sin α

21－sinα

＋sin α－sin α

2

－－sin α＋sin α－sin α－sin α

1＋sin α1－sin α＝－. |cos α||cos α|

∵α是第三象限角，∴cos α＜0.

1＋sin α1－sin α

∴原式＝－＝－2tan α(注意象限、符号)．

－cos α－cos α跟踪训练3 (1)1 (2)tan α 例4 证明 ∵右边 ＝＝＝＝＝

tanα－sinα

α－sin ααsin αtanα－tanαcosα

α－sin ααsin αtanα－cosα

α－sin ααsin αtanαsinαα－sin α

2

2

2

2

2

2

2

2

2

αsin α

tan αsin α

＝左边，

tan α－sin α

∴原等式成立． 跟踪训练4

证明 方法一 (比较法——作差) ∵

cos x1＋sin x－ 1－sin xcos x2

2

cosx－－sinx＝ －sin xx＝∴

cosx－cosx＝0，

－sin xxcos x1＋sin x＝. 1－sin xcos x2

2

方法二 (比较法——作商) cos x左1－sin x∵＝＝右1＋sin xcos x2

2

cos x·cos x ＋sin x－sin xcosxcosx＝2＝2＝1. 1－sinxcosx∴

cos x1＋sin x＝. 1－sin xcos x方法三 (综合法)

∵(1－sin x)(1＋sin x)＝1－sinx ＝cosx＝cos x·cos x， ∴

cos x1＋sin x＝. 1－sin xcos x2

2

4tan α－26例5 解 (1)原式＝＝.

5＋3tan α1112112sinα＋sin αcos α＋cosα432

(2)原式＝ 22

sinα＋cosα1111112

tanα＋tan α＋×4＋×2＋43243213＝＝＝. 2

tanα＋1530813

跟踪训练5 (1) (2) 910当堂训练

493π2

1．－ 2.－ 3.－cos 4.－

332552665．cos α＝ tan α＝ 512266

或cos α＝－ tan α＝－

512

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