2009年高考数学（文）试题及答案（广东卷）

绝密☆启用前 试卷类型：A

2009年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)

数学(文科）

本试卷共4页，21小题，满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(A)填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。

4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、多涂的，答案无效。

5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式v?13Sh，其中s是锥体的底面积，h是锥体的高．

一、选择题：本大题共10 小题，每小题5分，满分50分.每小题给出得四个选项中，只有一项十符合题目要求得.

1.已知全集U=R，则正确表示集合M= {－1，0，1} 和N= { x |x2+x=0} 关系的韦恩（Venn）图是

2.下列n的取值中，使i=1(i是虚数单位）的是

A. n=2 B. n=3 C. n=4 D. n=5

2（－x,x）3.已知平面向量a= ，b=， 则向量a?b （x,1）nA平行于x轴 B.平行于第一、三象限的角平分线 C.平行于y轴 D.平行于第二、四象限的角平分线

x4.若函数y?f(x)是函数y?a（的反函数，且f(2)?1，则f(x)? a>0，且a?1）A．log2x B．

12x C．log12x D．2x?2

5.已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9=2a5，a2=1，则a1=

A.

122 B.

22 C. 2 D.2

6.给定下列四个命题：

①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行； ②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；

④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中，为真命题的是

A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 7.已知?ABC中，?A,?B,?C的对边分别为a,b,c若a=c=6?A.2 B．4＋23 C．4—23 D．6?8.函数f(x)?(x?3)ex的单调递增区间是

A. (??,2) B.(0,3) C.(1,4) D. (2,??) 9．函数y?2cos(x?22且?A?75o，则b=

2

?4)?1是

A．最小正周期为?的奇函数 B. 最小正周期为?的偶函数 C. 最小正周期为

?2的奇函数 D. 最小正周期为

?2的偶函数

10．广州2010年亚运会火炬传递在A、B、C、D、E五个城市之间进行，各城市之间的路线距离（单位：百公里）见下表.若以A为起点，E为终点，每个城市经过且只经过一次，那么火炬传递的最短路线距离是

A.20.6 B.21 C.22 D.23

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分。 （一）必做题（11－13题）

11.某篮球队6名主力队员在最近三场比赛中投进的三分球个数如下表所示： 队员i 三分球个数 1 a1 2 a2 3 a3 4 a4 5 a5 6 a6 图1是统计该6名队员在最近三场比赛中投进的三分球总数的程序框图，则图中判断框应填 ，输出的s=

(注：框图中的赋值符号“=”也可以写成“←”或“：=”)

图1

12．某单位200名职工的年龄分布情况如图2，现要从中抽取40名职工作样本，用系统抽样法，将全体职工随机按1－200编号，并按编号顺序平均分为40组（1－5号，6－10号?，196－200号）.若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是 。若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取 人.

图 2

13．以点（2，?1）为圆心且与直线x?y?6相切的圆的方程是 . (二)选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线?常数k= .

15.(几何证明选讲选做题)如图3，点A、B、C是圆O上的点，且AB=4，?ACB?30o，则圆O的面积等于 .

?x?1?2t?y?2?3t（t为参数）与直线4x?ky?1垂直，则

图3

三、解答题，本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16.（本小题满分12分）

已知向量a?(sin?,?2)与b?(1,cos?)互相垂直，其中??(0,（1）求sin?和cos?的值

（2）若5cos(???)?35cos?，0???17.（本小题满分13分）

某高速公路收费站入口处的安全标识墩如图4所示,墩的上半部分是正四棱锥P－EFGH,下半部分是长方体ABCD－EFGH.图5、图6分别是该标识墩的正(主)视图和俯视图. （1）请画出该安全标识墩的侧(左)视图 （2）求该安全标识墩的体积 （3）证明:直线BD?平面PEG

?2?2)

,求cos?的值

18.（本小题满分13分）

随机抽取某中学甲乙两班各10名同学,测量他们的身高(单位:cm),获得身高数据的茎叶图如图7.

(1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差

(3)现从乙班这10名同学中随机抽取两名身高不低于173cm的同学,求身高为176cm的同学被抽中的概率.

19.（本小题满分14分）

32已知椭圆G的中心在坐标原点,长轴在x轴上,离心率为

22,两个焦点分别为F1和F2,椭

圆G上一点到F1和F2的距离之和为12.圆Ck:x?y?2kx?4y?21?0(k?R)的圆心为点Ak.

(1)求椭圆G的方程 (2)求?AkF1F2的面积

(3)问是否存在圆Ck包围椭圆G?请说明理由. 20.（本小题满分14分）

已知点（1，）是函数f(x)?ax(a?0,且a?1）的图象上一点，等比数列{an}的前n

31项和为f(n)?c,数列{bn}(bn?0)的首项为c，且前n项和Sn满足Sn－Sn?1=Sn+Sn?1（n?2）.

（1）求数列{an}和{bn}的通项公式； （2）若数列{

1bnbn?1}前n项和为Tn，问Tn>

10002009的最小正整数n是多少?

21.（本小题满分14分）

已知二次函数y?g(x)的导函数的图像与直线y?2x平行,且y?g(x)在x=－1处取得最小值m－1(m?0).设函数f(x)?g(x)x

(1)若曲线y?f(x)上的点P到点Q(0,2)的距离的最小值为2,求m的值 (2) k(k?R)如何取值时,函数y?f(x)?kx存在零点,并求出零点.

参考答案

一、

1. B 2. C 3. C 4. A 5. B 6. D 7.A 8. D 9．A 10．B 二、

11.i?6,a1?a2???a6 12． 37, 20

13．(x?2)2?(y?1)2?14． ?6 15.16? 16.

vvvv【解析】（１）Qa?b,?agb?sin??2cos??0,即sin??2cos?

252

又∵sin2??cos??1, ∴4cos2??cos2??1,即cos?215,∴sin??245

又 ??(0,?2)?sin??255,cos??55 (2) ∵5cos(???)?5(cos?cos??sin?sin?)?5cos??25sin??35cos?

2 ?cos??sin? ,?cos2??sin2??1?cos2? ,即cos???212

又 0???17.

, ∴cos??22

【解析】(1)侧视图同正视图,如下图所示.

（２）该安全标识墩的体积为：V?VP?EFGH?VABCD?EFGH ?13?40?60?40?20?32000?32000?64000

22?cm?

2 （３）如图,连结EG,HF及 BD，EG与HF相交于O,连结PO. 由正四棱锥的性质可知,PO?平面EFGH , ?PO?HF 又EG?HF ?HF?平面PEG 又BDPHF ?BD?平面PEG；

18.

【解析】（1）由茎叶图可知：甲班身高集中于160:179之间，而乙班身高集中于170:180 之间。因此乙班平均身高高于甲班; (2) x?158?162?163?168?168?170?171?179?179?182101102222?170

2 甲班的样本方差为

2[(158?170)??162?170???163?170???168?170???168?170?

2222 ??170?170???171?170???179?170???179?170???182?170?]＝57 （3）设身高为176cm的同学被抽中的事件为A；

从乙班10名同学中抽中两名身高不低于173cm的同学有：（181，173） （181，176） （181，178） （181，179） （179，173） （179，176） （179，178） （178，173） (178, 176) （176，173）共10个基本事件，而事件A含有4个基本事件；

?P?A??410?25 ；

xa2219.【解析】（1）设椭圆G的方程为：

?yb22?1 （a?b?0）半焦距为c;

?2a?12???a?6 则?c , 解得 , ?b2?a2?c2?36?27?9 ?3????c?332?a 所求椭圆G的方程为：

x236?y29?1.

(2 )点AK的坐标为??K,2? SVAF1F2K?12?F1F2?2?12?63?2?63 （3）若k?0，由62?02?12k?0?21?5?12kf0可知点（6，0）在圆Ck外， 若k?0，由(?6)2?02?12k?0?21?5?12kf0可知点（-6，0）在圆Ck外； ?不论K为何值圆Ck都不能包围椭圆G. ?1?20.【解析】（1）Qf?1??a?,?f?x????

3?3?2?c ,a2????, f2?c?f1?c???????????392f3?c?f2?c????? a3?? . ????????271x a1?f?1??c?14又数列?an?成等比数列，a1?a22a3?81??2?1?c ，所以 c?1； 233?27n?12?1??，所以an????又公比q?a133?3?QSn?Sn?1?a21?1?*??2?? n?N ；

?3?n?Sn?Sn?1??Sn?Sn?1??Sn?Sn?1 ?n?2?

又bn?0,Sn?0, ?数列

Sn?Sn?1?1；

2?Sn构成一个首相为1公差为1的等差数列，Sn?1??n?1??1?n ， Sn?n

2?2当n?2， bn?Sn?Sn?1?n??n?1??2n?1 ；

?bn?2n?1(n?N)；

*

（2）Tn?1b1b2?1b2b3?1b3b4?L?1bnbn?1?11?3?13?5?15?7?K?1(2n?1)??2n?1?

?1?1?1?11?1?111??????????2?3?2?35?2?571?11???K?????

2?2n?12n?1???1?1?n； 1????2?2n?1?2n?1n2n?1?10002009 由Tn?得n?210009，满足Tn?10002009的最小正整数为112.

21.【解析】（1）设g?x??ax?bx?c，则g??x??2ax?b； 又g??x?的图像与直线y?2x平行 ?2a?2 a?1 又g?x?在x??1取极小值， ?b2??1 ，b?2

?g??1??a?b?c?1?2?c?m?1， c?m；

g?x?x2 f?x???x?mx?2， 设P?xo,yo?

2?m?m222?x0??x0???2x0?2?2?22m?2

x0x0??2 则PQ2?x0??y0?2?2 ?22m?2?4 m?? （2）由y?f?x??kx??1?k?x?2222；

mx?2?0，

得 ?1?k?x?2x?m?0 ?*? 当k?1时，方程?*?有一解x??m2，函数y?f?x??kx有一零点x??m21m； ，

当k?1时，方程?*?有二解???4?4m?1?k??0，若m?0，k?1? 函数y?f?x??kx有两个零点x??2?4?4m?1?k?2?1?k??2?1?1?m?1?k?k?1?；若m?0，

k?1?1m，函数y?f?x??kx有两个零点x?4?4m?1?k?2?1?k??1?1?m?1?k?k?1；

?k??0, k?1? 当k?1时，方程?*?有一解???4?4m?1x?y?f?xx??k有一零点

1k?11m, 函数

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