对一道经典数学题的思考

对一道经典数学题的多角度思考

何为数学经典题目？数学经典题目就是经过历史选择出来的最有价值的经久不衰的题目 。每个经典题目，都经得起人们的拷问和时间的考验；每个经典题目，总是蕴含着某种重要的数学思想和方法；每个经典题目，总有其独特的教育价值和教学功能；每个经典题目，都能穿越时间的深度和厚度而又最终超越时间经久弥新、与时俱进。数学教科书上的例习题有不少题目堪当经典，本文以其中一道经典题目为例，说明经典题目在复习教学中的潜能挖掘与应用，以期抛砖引玉。

题目 已知，且，求证。

不等式选讲人教

版第十页习

本题目是普通高中课程标准实验教科书数学选修

题

第11题。这是一道经典的条件不等式证明题，解题入口宽、方法多样，对本题进行一

题多解训练，可达到举一反三触类旁通，解读一题沟通一片以点带面的复习效果。

证法1（配方法）因为所以

，所以

，

，

所以

时等号成立。

，当且仅当且且，即

点评 本解法先消元，将表示成只含的二次式，并将此式当作是以为

主元的二次三项式进行配方，再将配方后余下的部分再次配方，然后用实数平方的非负性，

从而使问题得到解决。

证法2（构造二次函数）因为于是

，所以

，

，

故当时，最小，此时，

所以，

所以，当且仅当时等号成立。

点评 本解法通过构造函数将不等式证明问题转化为函数的最值问题。先消元

表示成只含

，将

的二次式，然后选为主元，将此式当作是含有参数的以为

自变量的二次函数值就是

，求出的最小值，的最小

的最小值，从而使问题获解。

，

证法3（用重要不等式）因为

所以，当且仅当时等号成立。

点评 将已知等式两边平方是运用重要不等式的关键。

证法4（用等号成立的条件构造平方和）由所证不等式等号成立的条件得

，

，

即，所以

，当且仅当

时等号成立。

证法5（用等号成立的条件构造配偶不等式）由所证不等式等号成立的条件可构造如

下不等式

：

，

，，三式相加得

，

，所以

号成立。

，当且仅当时等

点评 证法4和证法5注意到等号成立的条件在。

证法

是问题获得简解的关键之所

6（用柯西不等式）由三元柯西不等式

得

，即

。

证法7（用向量数量积不等式）构造向量，，由向量数量积不等

式得

，，

即，当且仅

当

时等号成立。

证法8（利用直线与圆有公共点解题）把当作参数

可看作是直角坐标系

当作变量，则

即

则

下的一条直线的方程，设

，此方程可看作是圆心是坐标原点半径为的圆的方程。因为这两个

方程所组成的方程组有解，所以直线与圆有公共点，故圆心到直线的距离不大于半径。故

，即有解，所以，解得则，

即。

点评 本解法需要有方程思想、数形结合思想和化归意识，化静为动，动中求静。根据“方程组有解，则直线与圆有公共点，从而直线到圆心的距离不大于半径”列不等式，进而使问题得以解决。

证法

9（三角换元法）

设

。由

所以

得

则

，

设

，

，两边平方解

，由正弦函数的有界性得

得，故。

证法10（构造概率模型）设随机变

量取值

为时的概率均

为，因

为

，所

以，所

以，即

，当且仅当

时等号成立。

证法11（用琴生不等式）构造函数，因为是上的凹函数，由琴生不

等式得

，，

即，所以

，当且仅当

证法12（用点面距离公式）面的方程，

时等号成立。

可看作是空间直角坐标系

下的一个平

可看作是这个平面内任意一点到原点O的距离的平方，由

最小，由点面距离公式得点O到平

垂线段最短知，当OP与平面垂直时，OP最短从而

面的的距离为：，所以，即。

凹凸函数、琴生不等式是高等数学的内容，但与初等函数关系密切，是初等数学与高

等数学的衔接处，点面距离公式是大学空间解析几何的内容，但可当作是平面解析几何点线距离公式在空间的一个类比拓广，这些知识可开阔学生的视野，类比推理有利于发现新知识和数学思想方法的迁移。

以上从十二个不同的角度来思考解决一个经典不等式的证明问题，消元法、配方法、构造法，函数和方程思想，化归和转化思想，数形结合思想都是高中数学重要的数学思想方法，在以上十二种解法中体现得淋漓尽致。一题多解有利于培养发散思维、求异思维和综合运用多种知识解决问题的能力，有利于拓宽解题思路，有利于创造性思维的培养。发挥经典以一当十，解析一题复习一片。

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