1990年全国高考数学试题及其参考答案

1990年全国高考数学试题及其参考答案

（理工农医类）

一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,把所选项前的字母填在题后括号内.

[Key]

一、选择题:本题考查基本知识和基本运算. (1)A

【 】

[Key] (2)B

(3)如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是S,那么圆柱的体积等于

【 】

[Key] (3)D

(4)方程sin2x=sinx在区间(0,2π)内的解的个数是 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【 】

1

[Key] (4)C (5)

【 】

[Key] (5)C

(A){-2,4} (B){-2,0,4}

(C){-2,0,2,4} (D){-4,-2,0,4} 【 】

[Key] (6)B

(7)如果直线y=ax＋2与直线y=3x－b关于直线y＝x对称,那么

(C)a=3,b=-2 (D)a=3,b=6 【 】

[Key] (7)A

(A)圆 (B)椭圆

2

(C)双曲线的一支

[Key] (8)D

(D)抛物线 【 】

(B){(2,3)}

(C)(2,3) (D){(x,y)│y=x+1} 【 】

[Key] (9)B

【 】

[Key] (10)D

(11)如图,正三棱锥S ABC的侧棱与底面边长相等,如果E、F分别为SC、AB的中点,那么异面直线EF与SA所成的角等于

(A)90° (B)60° (C)45° (D)30° 【 】

[Key] (11)C

(12)已知h>0.设命题甲为:两个实数a,b满足│a－b│<2h;命题乙为:两个实数a,b满足│a－1│

(A)甲是乙的充分条件,但不是乙的必要条件 (B)甲是乙的必要条件,但不是乙的充分条件 (C)甲是乙的充分条件

(D)甲不是乙的充分条件,也不是乙的必要条件 【 】

3

[Key] (12)B

(13)A,B,C,D,E五人并排站成一排,如果B必须站在A的右边（A,B可以不相邻）,那么不同的排法共有 (A)24种 (B)60种 (C)90种 (D)120种 【 】

[Key] (13)B

(14)以一个正方体的顶点为顶点的四面体共有 (A)70个 (B)64个 (C)58个 (D)52个 【 】

[Key] (14)C

(15)设函数y=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位所得到的图象为C.又设图象C＇与C关于原点对称,那么C＇所对应的函数是 (A)y=-arctg(x-2) (B)y=arctg(x-2) (C)y=-arctg(x+2) (D)y=arctg(x+2) 【 】

[Key] (15)D

二、填空题:把答案填在题中横线上.

(17)(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中,x2的系数等于 . (18)已知{an}是公差不为零的等差数列,如果Sn是{an}的前n项的和,那

(19)函数y=sinxcosx+sinx+cosx的最大值是 .

(20)如图,三棱柱ABC－A1B1C1中,若E、F分别为AB、AC

的中点,平面EB1C1F将三棱柱分成体积为V1、V2的两部分,那么V1:V2＝ .

4

[Key] 二、填空题:本题考查基本知识和基本运算.

三、解答题.

(21)有四个数,其中前三个数成等差数列,后三个数成等比数列,并且第一个数与第四个数的和是16,第二个数与第三个数的和是12.求这四个数.

[Key] 三、解答题.

(21)本小题考查等差数列、等比数列的概念和运用方程（组）解决问题的能力.

解法一:

①

由②式得 d=12-2a. ③

整理得 a2-13a+36=0 解得 a1=4,a2=9.

代入③式得 d1=4,d2=-6.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

解法二:设四个数依次为x,y,12-y,16-x ①

由①式得 x=3y-12.

③

5

将③式代入②式得 y(16-3y+12)=(12-y)2, 整理得 y2-13y+36=0. 解得 y1=4,y2=9.

代入③式得 x1=0,x2=15.

从而得所求四个数为0,4,8,16或15,9,3,1.

[Key] (22)本小题考查三角公式以及三角函数式的恒等变形和运算能力.

解法一:由已知得

解法二:如图,不妨设0≤α≤β＜2π,且点A的坐标是（cosα,

sinα）,点B的坐标是（cosβ,sinβ）,则点A,B在单位圆x2+y2=1上.连结

连结OC,于是OC⊥AB,若设点D的坐标是（1,0）,再连结OA,OB,则有

6

解法三:由题设得

4(sinα+sinβ)=3(cosα+cosβ).

将②式代入①式,可得 sin(α-)=sin(-β). 于是 α－＝(2k+1)π-(-β)(k∈Z), 或 α-=2kπ+(-β)(k∈Z).

若 α-=(2k+1)π-(-β)(k∈Z),则α＝β＋(2k+1)π(k∈Z). 于是 sinα=-sinβ,即sinα+sinβ=0.

由此可知 α-=2kπ+(-β)(k∈Z), 即 α＋β＝2+2kπ(k∈Z).

所以

(23)如图,在三棱锥S ABC中,SA⊥底面ABC,AB⊥BC．DE垂直平分SC,且分别交AC、SC于D、E.又SA＝AB,SB＝BC.求以BD为棱,以BDE与BDC为面的二面角的度数.

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[Key] (23)本小题考查直线和平面,直线和直线的位置关系,二面角等基本知识,以及逻辑推理能力和空间想象能力.

解法一:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知 SC⊥DE,BE∩DE＝E, ∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

又 ∵SA⊥底面ABC,BD在底面ABC上, ∴SA⊥BD.

而SC∩SA＝S,∴BD⊥面SAC.

∵DE＝面SAC∩面BDE,DC＝面SAC∩面BDC, ∴BD⊥DE,BD⊥DC.

∴∠EDC是所求的二面角的平面角. ∵SA⊥底面ABC,∴SA⊥AB,SA⊥AC. 设SA＝a,

又因为AB⊥BC,

∴∠ACS＝30°.

又已知DE⊥SC,所以∠EDC＝60°,即所求的二面角等于60°.

解法二:由于SB＝BC,且E是SC的中点,因此BE是等腰三角形SBC的底边SC的中线,所以SC⊥BE.

又已知SC⊥DE,BE∩DE＝E∴SC⊥面BDE, ∴SC⊥BD.

由于SA⊥底面ABC,且A是垂足,所以AC是SC在平面ABC上的射影.由三垂线定理的逆定理得BD⊥AC;又因E∈SC,AC是SC在平面ABC上的射影,所以E在平面ABC上的射影在AC上,由于D∈AC,所以DE在平面 ABC上的射影也在AC上,根据三垂线定理又得BD⊥DE. ∵DE面BDE,DC面BDC,

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∴∠EDC是所求的二面角的平面角. 以下同解法一.

(24)设a≥0,在复数集C中解方程z2+2│z│＝a.

[Key] (24)本小题考查复数与解方程等基本知识以及综合分析能力.

解法一:设z＝x+yi,代入原方程得

于是原方程等价于方程组

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a. ③

(Ⅰ)令x>0,方程③变为x2＋2x=a. ④ .

由此可知:当a=0时,方程④无正根;

(Ⅱ)令x<0,方程③变为x2-2x=a. ⑤ .

由此可知:当a=0时,方程⑤无负根; 当a>0时,方程⑤有负根

x=1-.

(Ⅲ)令x=0,方程③变为0=a.

由此可知:当a=0时,方程⑥有零解x=0; 当a>0时,方程⑥无零解. 所以,原方程的实数解是: 当a=0时,z=0;

.

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a. ⑦

(Ⅰ)令y>0,方程⑦变为-y2+2y=a,即(y-1)2=1-a. ⑧ 由此可知:当a>1时,方程⑧无实根. 当a≤1时解方程⑧得

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y=1±,

从而, 当a=0时,方程⑧有正根 y=2;

当0

(Ⅱ)令y<0,方程⑦变为-y2-2y=a,即 (y+1)2=1-a. ⑨ 由此可知:当a>1时,方程⑨无实根. 当a≤1时解方程⑨得 y=-1±从而,当a=0时,方程⑨有负根 y=-2; 当0

当01时,原方程无纯虚数解.

解法二:设z=x+yi代入原方程得

于是原方程等价于方程组

,

)i.

由②式得y=0或x=0.由此可见,若原方程有解,则其解或为实数,或为纯虚数.下面分别加以讨论.

情形1.若y=0,即求原方程的实数解z=x.此时,①式化为 x2+2│x│=a.

即 | x |2+2│x│=a. ③ 解方程③得

, 所以,原方程的实数解是

.

情形2.若x=0,由于y=0的情形前已讨论,现在只需考查y≠0的情形,即求原方程的纯虚数解z=yi(y≠0).此时,①式化为 -y2+2│y│=a.

即 -│y│2 +2│y│=a. ④

当a=0时,因y≠0,解方程④得│y│=2, 即当a=0时,原方程的纯虚数解是z=±2i. 当0

,

即当0

10

.

而当a>1时,方程④无实根,所以这时原方程无纯虚数解.

解法三:因为z2=-2│z│+a是实数,所以若原方程有解,则其 解或为实数,或为纯虚数,即z=x或z=yi(y≠0). 情形1.若z=x.以下同解法一或解法二中的情形1.

情形2.若z=yi(y≠0).以下同解法一或解法二中的情形2.

解法四:设z=r(cosθ+isinθ),其中r≥0,0≤θ<2π.代入原方程得 r2cos2θ＋2r+ir2sin2θ＝a. 于是原方程等价于方程组

情形1.若r=0.①式变成 0=a. ③

由此可知:当a=0时,r=0是方程③的解. 当a>0时,方程③无解.

所以, 当a=0时,原方程有解z=0; 当a>0时,原方程无零解.

考查r>0的情形.

(Ⅰ)当k=0,2时,对应的复数是z=±r.因cos2θ=1,故①式化为 r2+2r=a. ④ . 由此可知:当a=0时,方程④无正根; 当a>0时,方程④有正根

.

所以,当a>0时,原方程有解 .

(Ⅱ)当k=1,3时,对应的复数是z=±ri.因cos2θ=-1,故①式化为 -r2+2r=a,即(r-1)2=1-a, ⑤

由此可知:当a>1时,方程⑤无实根,从而无正根; .

从而, 当a=0时,方程⑤有正根 r=2;

所以, 当a=0时,原方程有解z=±2i;

11

.

当0

当a>1时,原方程无纯虚数解.

[Key] (25)本小题考查椭圆的性质,距离公式,最大值知识以及分析问题

的能力.

解法一:根据题设条件,可取椭圆的参数方程是

其中a>b>0待定,0≤θ<2π.

设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则

大值,由题设得

,

因此必有

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, 由此可得 b=1,a=2. 所求椭圆的参数方程是

解法二:设所求椭圆的直角坐标方程是 其中a>b>0待定.

, 设椭圆上的点(x,y)到点P的距离为d,则

其中

-byb.

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.

由此得

, 由此可得 b=1,a=2.

所求椭圆的直角坐标方程是

n≥2.

(Ⅰ)如果f(x)当x∈(-∞,1]时有意义,求a的取值范围; (Ⅱ)如果a∈(0,1],证明2f(x)

[Key] (26)本题考查对数函数,指数函数,数学归纳法,不等式的知识以及综合运用有关知识解决问题的能力. (Ⅰ)解:f(x)当x∈(-∞,1]时有意义的条件是 1+2x+…(n-1)x+nxa>0 x∈(-∞,1],n≥2,

上都是增函数,

在(-∞,1]上也是增函数,从而它在x=1时取得最大值

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也就是a的取值范围为

(Ⅱ)证法一:2f(x)

[1+2x+…+(n-1)x+nxa]2

现用数学归纳法证明②式.

（A）先证明当n=2时②式成立. 假如0

(1+2xa)2=1+222xa+22xa2≤2(1+22x)<2(1+22xa). 假如a=1,x≠0,因为1≠2x,所以

因而当n=2时②式成立.

（B）假如当n=k(k≥2)时②式成立,即有

[1+2x+…+(k-1)x+kxa]2

=(1+2x+…+kx)2+2(1+2x+…+kx)(k+1)xa+(k+1)2xa2

+k2x)+{[1+(k+1)2xa2]+[22x+(k+1)2xa2]+… +[k2x+(k+1)2xa2]}+(k+1)2xa2] =(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2xa2] ≤(k+1)[1+22x+…+k2x+(k+1)2xa], 这就是说,当n=k+1时②式也成立.

根据(A),(B)可知,②式对任何n≥2(n∈N)都成立.即有 2f(x)

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其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.

利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有 [1+2x+…+(n-1)x+nx]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa2]

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其中等号当且仅当a1=a2=…=an时成立.

利用上面结果知,当a=1,x≠0时,因1≠2x,所以有 [1+2x+…+(n-1)x+nx]2≤n[1+22x+…+(n-1)2x+n2xa2]

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