数学运算之牛吃草问题专题

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数学运算之牛吃草问题专题

牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。

由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：

（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；

（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；

（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；

（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。

这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。

核心公式： 草场草量＝（牛数－每天长草量）×天数

基本不变量：单位面积牧场上原有草量不变， 一般用来列方程

每头牛每天吃草量不变， 一般设为“1”

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单位面积牧场上每天新增草量不变，一般设为“x ”

【例1】一片牧草，可供16头牛吃20天，也可以供20头牛吃12天，那么25头牛几天可以吃完？

解法1：原的生长速度=（16×20-20×12）÷（20-12）=10牛/天

原有草量=16×20-10×20=120牛

吃的天数=120÷（25-10）=8天

解法2：设该牧场每天长草量恰可供x 头牛吃一天，这片草场可供25头牛吃n 天。

根据核心公式：(16-x)×20＝（20－x ）×12＝（25－x ）×n

（16－x ）×20＝（20－x ）×12，得x ＝10，代入得n ＝8

【例2】有一块牧场，可供10头牛吃20天，15头牛吃10天，则它可供多少头牛吃4天？

A.20

B.25

C.30

D.35

【答案】C

【解析】设该牧场每天长草量恰可供x 头牛吃一天，这片草场可供n 头牛吃4天

根据核心公式：（10－x ）×20＝（15－x ）×10＝（n －x ）×4

（10－x ）×20＝（15－x ）×10，得x ＝5，代入得n ＝30

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【例3】如果22头牛吃33公亩牧场的草，54天后可以吃尽，17头牛吃28公亩牧场的草，84天可以吃尽，那么要在24天内吃尽40公亩牧场的草，需要多少头牛？

A.50

B.46

C.38

D.35

【答案】D

【解析】设每公亩牧场每天新长出来的草可供x 头牛吃1天，每公亩草场原有牧草量为y ，24天内吃尽40公亩牧场的草，需要n 头牛

根据核心公式：33y ＝（22－33x ）×54，

得y ＝（2－3x ）×18＝36－54x

28y ＝（17－28x ）×84，得y ＝（17－28x ）×3＝51－84x

解方程，得x ＝1/2，y ＝9，

因此，40×9＝（n －20）×24，得n ＝35，选择D

【注释】这里面牧场的面积发生变化，所以每天长出的草量不再是常量。

【例4】由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供20头牛吃5天，或可供15头牛吃6天。照此计算，可供多少头牛吃10天？

【解析】设该牧场每天减草量恰可供X 头牛吃一天，这片牧场可攻N 头牛吃10天。

根据核心公式：（20+X ）*5=（15+X ）*6=（N+X ）*10

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得X=10，N=5.

【例5】一个水池装一个进水管和三个同样的出水管。先打开进水管，等水池存了一些水后，再打开出水管。如果同时打开2个出水管，那么8分钟后水池空；如果同时打开3个出水管，那么5分钟后水池空。那么出水管比进水管晚开多少分钟？

【解析】假设晚开N 分钟，则(2-X)*8=(3-X)*5=X*N

求得X=1/3 N=40分钟

【例6】物美超市的收银台平均每小时有60名顾客前来排队付款，每一个收银台每小时能应付80名顾客付款。某天某时刻，超市如果只开设一个收银台，付款开始4小时就没有顾客排除了，问如果当时开设两个收银台，则付款开始几小时就没有顾客排队了【浙江2006】

A.2小时

B.1.8小时

C.1.6小时

D.0.8小时

【答案】D

【解析】设共需n 小时就无人排队了，（80－60）×4＝（80×2－60）×x ，解得x ＝0.8

【例7】某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？

【解析】等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。

(4—X)*30=(5-X)*20=（7-X ）*n n=12

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【例7】有三块草地，面积分别为5，6和8公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。问：第三块草地可供19头牛吃多少天？

【解析】假设每公顷草地恰可供X 头牛吃1天，每公顷草地原有的草量为Y,8公顷草地可供19头牛吃N 天

5Y=（11-5X ）*10

6Y=（12-6X ）*14

得：X=1.5 Y=7

8Y=（19-8*1.5）*N N=8天

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/9grl.html