9、轴对称与等腰等边三角形复习 - 图文

中小学1对1课外辅导专家

精锐教育学科教师辅导讲义

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学员编号： 年 级：初二 课 时 数： 3 学员姓名：白迪娜 辅导科目：数学 学科教师：张维康 课 题 星级 上课日期及时段 9、轴对称与等腰等边三角形复习 ★★ 2013.11.01 8:00--10:00 教学内容 【知识框架】 【重、难点】 本章重点: 1.能够判断轴对称图形，能按要求作出简单平面图形经过一次二次轴对称后的图形。能利用轴对称设计图案。 2.理解线段垂直平分线的性质和判定，并能够灵活运用。 3.掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定，并能够运用性质和判定进行证明和计算。 4.掌握30?的直角三角形的性质，并能够运用性质进行计算。 本章难点: 1.能够判断轴对称图形，能按要求作出简单平面图形经过一次二次轴对称后的图形。能利用轴对称设计图案。 2.理解线段垂直平分线的性质和判定，并能够灵活运用。 3.掌握等腰三角形、等边三角形的性质和判定，并能够运用性质和判定进行证明和计算。 4.掌握30?的直角三角形的性质，并能够运用性质进行计算。 精锐教育网站：www.1smart.org

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轴对称图形 轴对称 轴对称作图 线段垂直平分线 轴对称 概念 性质 等腰三角形 判定 等边三角形性质判定 30?的直角三角形的性质 中小学1对1课外辅导专家 【知识点梳理】 12.1轴对称 1）轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形。 2）轴对称：把一个图形沿一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称。两个图形关于直线对称也称为轴对称。两个图形中的对应点叫做关于这条直线的对称点，这条直线叫做对称轴。 3）垂直平分线：经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。 4）图形轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。（轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线） 5）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 6）线段垂直平分线的判定：与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 12.2作轴对称图形 12.2.1作轴对称图形 1）归纳1：由一个平面图形可以得到它关于一条直线l成轴对称的图形，这个图形与原图形的形状、大小完全相同； 新图形上的每一点，都是原图形上的某一点关于直线l的对称点； 连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分。 2）归纳2：几何图形都可以看作由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接这些对应点，就可以得到原图形的轴对称图形；对于一些由直线、线段或射线组成的图形，只要作出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形。 12.2.2用坐标表示轴对称 归纳：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标为（x，-y）； 点（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。 12.3等腰三角形 12.3.1等腰三角形 1）等腰三角形：两条边相等的三角形叫做等腰三角形。 2）等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）（2）等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合 3）等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”） 12.3.1等边三角形 1）等边三角形：三条边都相等的三角形叫做等边三角形。 2）等边三角形的性质：等边三角形的三条边都相等，三个角都相等，并且每一个角都等于60?. 3）等边三角形的判定：（1）有一个角是60?的等腰三角形是等边三角形. 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 （2）三个角都相等或三条边都相等的三角形是等边三角形. 4）300直角三角形的性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30?，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 【典型例题回顾】 例1.如图1－6，将矩形纸片ABCD （图①）按如下步骤操作：（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E （如图②）；（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F （如图③）； （3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（ ） 图1－6 A．60° B．67.5° C．72° D．75° 例2. 已知，如图1－11，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，求∠OED的度数． 例3.已知：如图2－3，线段AB． 求作：线段AB的垂直平分线MN． 作法： 图2－3 例4．已知：如图2－4，∠ABC及两点M、N． 求作：点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等． 作法： 图2－4 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 例5．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由． 例6．已知：如图3－7，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点，若A'B＝a. （1）求AP＋PB； （2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：AM＋MB＞AP＋PB． 例7.已知：A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M． （1）如图3－8，在l上求作一点M，使得｜ AM－BM ｜最小； 作法： 图3－8 （2）如图3－9，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大； 作法： 图3－9 （3）如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小． 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 图3－10 例8．（1）如图3－11，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小； 图3－11 （2）如图3－12，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q （点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小． 图3－12 例9．（1）已知：如图3－13，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小； 图3－13 （2）已知：如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小． 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 图3－14 例10 .已知：如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角 （∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论． 图7－9 例11．如图7－10，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答． （1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？ （2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现？请证明你的猜想． （3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系？ 图7－10 例12．已知：如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E． （1）求证：BC＝AE＋BE； （2）探究：若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？试证明之． 图7－11 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 例13．已知：如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形． （1）求证：AD＝CE； （2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系． 图8－4 例14.（1）如图8－7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小； 图8－7 （2）如图8－8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小． 图8－8 精锐教育网站：www.1smart.org

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中小学1对1课外辅导专家 例15.已知△DCE的顶点C在?AOB的平分线OP上，CD交OA于F, CE交OB于G. （1）如图，若CD ? OA, CE? OB, 则图中有哪些相等的线段, 请直接写出你的结论: ； （2）如图2, 若?AOB=120?, ?DCE =?AOC, 试判断线段CF与线段CG的数量关系并 加以证明； （3）若?AOB=?，当?DCE满足什么条件时，你在（2）中得到的结论仍然成立, 请 P 直接写出?DCE满足的条件. A 解:（1）结论: . C （2） F D O G B 图1 E P A C F G 图2 O B D E A P （3） . C O B 备用图

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