MSDC.初中数学.一元一次方程A级.第01讲.学生版

MSDC 模块化分级讲义体系

初中数学.一元一次方程A 级.第01讲.学生版

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内容 基本要求

略高要求

较高要求

方程 知道方程是刻画数量关系的一个有效的数学模型 能够根据具体问题中的数量关

系，列出方程

能运用方程解决有关问题

方程的解 了解方程的解的概念 会用观察、画图等手段估计方程

的解

一元一次方

程 了解一元一次方程的有关

概念 会根据具体问题列出一元一次

方程 能运用整式的加减运算对多项式进行变形，进一步解

决有关问题 一元一次方程的解法 理解一元一次方程解法中

的各个步骤

能熟练掌握一元一次方程的解法；会求含有字母系数(无需讨论)的一元一次方程的解

会运用一元一次方程解决

简单的实际问题

板块一 等式与方程的概念

?等式的概念：

用等号“＝”来表示相等关系的式子，叫做等式．

在等式中，等号左、右两边的式子，分别叫做这个等式的左边、右边．

等式可以是数字算式，可以是公式、方程，也可以是用式子表示的运算律、运算法则．

?等式有如下几种类型(仅做了解)．

恒等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式总能成立．如：数字算式123+=．

条件等式：只能用某些数值代替等式中的字母，等式才能成立．方程56x +=需要1x =才成立． 矛盾等式：无论用什么数值代替等式中的字母，等式都不能成立．如125+=，11x x +=-．

等式由代数式构成，但不是代数式．代数式没有等号．

【例1】 下列各式中，哪些是等式

⑴ 31x - ⑵523-= ⑶212x +< ⑷53x += ⑸()x y z xz yz -=- ⑹1x y +=

?方程和它的解

方程：含有未知数的等式叫方程，如21x +=，它有两层含义：①方程必须是等式；②等式中必须含有未

知数

方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值；只含有一个未知数的方程的解，也叫方程的根。

?关于方程中的未知数和已知数：

例题精讲

中考要求

一元一次方程的概念及解法

MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.一元一次方程A 级.第01讲.学生版 Page 2 of 9 已知数：一般是具体的数值，如50x +=中(x 的系数是1，是已知数．但可以不说)．5和0是已知数，如

果方程中的已知数需要用字母表示的话，习惯上有a 、b 、c 、m 、n 等表示． 未知数：是指要求的数，未知数通常用x 、y 、z 等字母表示．如：关于x 、y 的方程2ax by c -=中，a 、

2b -、c 是已知数，x 、y 是未知数．

【例2】 下列各式中哪些是方程

⑴7887?=? ⑵2345x x ++ ⑶312y y -= ⑷60x =

⑸31x > ⑹1

11x =+ ⑺26x y -= ⑻2430y y -+=

【巩固】判断下列各式是不是方程，如果是，指出已知数和未知数；如果不是，说明理由

⑴373x x -=-+ ⑵223y -= ⑶2351x x -+

⑷112--=- ⑸42x x -=- ⑹152x

y

-=

【例3】 检验下列各数是不是方程315x x -=+的解

⑴ 3x =； ⑵1x =-

【巩固】检验下列各数是不是方程213x y x y ++=--的解

⑴ 23x y =??=-? ⑵1

0x y =??=? ⑶0

2x y =??=-?

【例4】 若2-为关于x 的一元一次方程，713mx +=的解，则m 的值是

【巩固】关于x 的方程320x a +=的根是2，则a 等于

板块二 等式的性质

?等式的性质：

MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.一元一次方程A 级.第01讲.学生版 Page 3 of 9 等式性质1：等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式．

若a b =，则a m b m ±=±；

等式性质2：等式两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是0)或同一个整式，所得结果仍是等式．

若a b =，则am bm =，a b m m

=(0)m ≠ ?注意：

⑴在对等式变形过程中，等式两边必须同时进行．

即：同时加或同时减，同时乘以或同时除以，不能漏掉某一边

⑵等式变形过程中，两边同加或同减，同乘或同除以的数或整式必须相同．

⑶在等式变形中，以下两个性质也经常用到：

对称性，即：如果a b =，那么b a =．

传递性，即：如果a b =，b c =，那么a c =．又称为等量代换

易错点：等号左右互换的时候忘记变符号

【例5】 根据等式的性质填空：

(1)4a b =-，则______a b =+； (2)359x -=，则39x =+ ；

(3)683x y =+，则x =_________； (4)122

x y =+，则x =__________．

【巩固】下列变形中，不正确的是( )

A ．若25x x =，则5x =

B ．若77,x -=则1x =-

C ．若10.2x x -=，则1012x x -=

D ．若x y a a

=，则ax ay =

【巩固】用适当数或等式填空，使所得结果仍是等式，并说明根据的是哪一条等式性质及怎样变形的．

⑴如果23x =+，那么x =____________；根据

⑵如果6x y -=，那么6x =+_________；根据

⑶如果324

x y -=，那么34x y -=______；根据 ⑷如果34x =，那么x =_____________；根据

板块三 一元一次方程的概念

?一元一次方程的概念：

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，系数不等于0的方程叫做一元一次方程，这里的“元”是指未知数，“次”是指含未知数的项的最高次数．

?一元一次方程的形式：

最简形式：方程ax b =(0a ≠，a ，b 为已知数)叫一元一次方程的最简形式．

标准形式：方程0ax b +=(其中0a ≠，a ，b 是已知数)叫一元一次方程的标准形式．

?注意：

⑴任何一元一次方程都可以转化为最简形式或标准形式，所以判断一个方程是不是一元一次方程，可以通过变形（必须为恒等变换）为最简形式或标准形式来验证．如方程22216x x x ++=-是一元一次方程．如果不变形，直接判断就出会现错误．

⑵方程ax b =与方程()0ax b a =≠是不同的，方程ax b =的解需要分类讨论完成

【例6】 下列各式中：⑴3x +；⑵2534+=+；⑶44x x +=+；⑷12x

=；⑸213x x ++=；⑹44x x -=-；⑺23x =；⑻2(2)3x x x x +=++．哪些是一元一次方程？

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【巩固】下列方程是一元一次方程的是( )．

A ．2237x x x +=+

B ．3435322x x -+=+

C ． 22(2)3y y y y +=--

D ．3813x y -=

【巩固】在初中数学中，我们学习了各种各样的方程．以下给出了6个方程，请你把属于一元方程的序号

填入圆圈⑴中，属于一次方程的序号填入圆圈⑵中，既属于一元方程又属于一次方程的序号填入两个圆圈的公共部分．

① 359x +=：②2440x x ++=；③235x y +=：④20x y +=；⑤8x y z -+=：⑥1xy =-．

（2）（1）

⑤

③①②（2）（1） 【例7】 若131m x -=是一元一次方程，那么m =

【巩固】若关于x 的方程1(2)50k k x k --+=是一元一次方程，则k =

【巩固】若关于x 的方程2223x x ax a x a -=-+是一元一次方程，则a = ，方程的解是

【巩固】已知关于x 的方程(21)50n m x --=是一元一次方程，则m 、n 需要满足的条件为

板块四 一元一次方程的解法

?解一元一次方程的一般步骤：

1．去分母：在方程的两边都乘以各分母的 最小公倍数 ．

温馨提示：不要漏乘不含分母的项，分子是个整体，含有多项式时应加上括号．

2．去括号：一般地，先去 小括号，再去 中括号，最后去 大括号．

温馨提示：不要漏乘括号里的项，不要弄错符号．

3．移项：把含有 未知数 的项都移到方程的一边， 不含未知数的项 移到方程的另一边．

温馨提示：⑴移项要变号；⑵不要丢项．

4．合并同类项：把方程化成ax b =的形式．

温馨提示：字母和其指数不变．

5．系数化为1：在方程的两边都除以未知数的系数a (0a ≠ )，得到方程的解 b x a

=． 温馨提示：不要把分子、分母搞颠倒．

【例10】 下列等式中变形正确的是（ ）

A.若31422x x -+=，则3144x x -=-

B. 若31422

x x -+=，则3182x x -+= C. 若31422x x -+=，则3180x -+= D. 若31422

x x -+=，则3184x x -+= 【例11】 122233

x x x -+-=-

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【巩固】解方程：⑴6(1)5(2)2(23)x x x ---=+ ⑵12

225y y y -+

-=-

【巩固】解方程：

(1)3(3)52(25)x x -=--；(2)()()()243563221x x x --=--+； (3) 1

3

5

(3)3(2)36524x x ---=

?先变形、再解方程

本类型题：需要先利用等式的基本性质，将小数化为整数，然后再进行解方程计算

【例12】 解方程：7110.251

0.0240.0180.012x x x --+=-． 解：原方程可化为71

10.251

432x x

x --+=-

去分母，得 ．根据等式的性质( )

去括号，得 ．

移项，得 ．根据等式的性质( )

合并同类项，得 ．

系数化为1，得 ．根据等式的性质( )

【例13】 0.130.41

200.20.5x x +--=

【巩固】解下列方程： ⑴2 1.210.70.3x

x

--=； ⑵0.40.90.10.50.030.020.50.20.03x x x

+-+-=；

MSDC 模块化分级讲义体系 初中数学.一元一次方程A 级.第01讲.学生版 Page 6 of 9 ⑶1(0.170.2)

1

0.70.03x

x --= ⑷0.10.020.10.1

0.30.0020.05x x -+-= ⑸4

2

230%50%x x -+-= ⑹1

(4)

335190.50.125x x x +++=+ ⑺0.20.45

0.0150.010.5 2.50.250.015x x

x ++-=- ⑻0.10.90.210.030.7x

x

--=

?逐层去括号

含有多重括号时，去括号的顺序可以从内向外，也可以从外向内。

【例14】 解方程：111[16]20343x ??

--+= ???

【巩固】解方程：()1

1

1

1

1

[1]3261224x ------=-．

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【例15】 解方程：11110721()3(2)33623x x x x x +-????

--=--????????

【巩固】解方程：11

12(1)(1)223x x x x ??---=-????

【巩固】解下列方程：

(1)[]{}234(51)82071x ----= (2)11111071233223x x x x x +-????

--=-- ? ?????

?整体思想

注意观察方程中，完全一样的整式

【例16】 解方程：1

1

23

(23)(32)11191313x x x -+-+=

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【巩固】方程113(1)(1)2(1)(1)32x x x x +--=--+

【巩固】解方程：11311377325235x x ????

--=-- ? ?????

1.下列各式不是方程的是：( )

A ． 24y y -=

B ． 2m n =

C ． 222p pq q -+

D ． 0x =

2.解方程⑴ 1

1

(4)(3)34y y -=+ ⑵ 31

26x x x +-=-

⑵ 253164x x

---= ⑷4213

2[()]3324x x x

--=

3.解方程：10.50.210.30.30.30.02x x

x

---=

课堂检测

1.解方程：

⑴

12

2

25

y y

y

-+

-=-(2)

122

233

x x

x

-+

-=-

2.解方程：111233 {[]} 234324 x x x x

??

----=+

?

??

3.解方程：0.10.40.21

1

1.20.3

x x

-+

-=

4.求方程

31333

(()()

447167

x x x x

??

---=-

??

??

的解．课后作业

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