北京市朝阳区2011届高三数学第一次综合练习 理

2011高三 一模考试

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学测试题（理工类）

（考试时间120分钟 满分150分）

本试卷分为选择题（共40分）和非选择题（共110分）两部分

第一部分（选择题 共40分）

注意事项：

1．答第一部分前，考生务必将自己的姓名、考试科目涂写在答题卡上.考试结束时，将试题卷和答题卡一并交回.

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，不能答在试题卷上.

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符

合题目要求的一项. 1．若集合M {y|y x, x R}，N {y|y x 2, x R }，则MIN等于

（A） 0,

（B）( , ) （C） （D）{(2, 4)，( 1, 1)}

2

2．某校高三一班有学生54人，二班有学生42人，现在要用分层抽样的方法从两个班抽出16

人参加军训表演，则一班和二班分别被抽取的人数是 （A）8，8 （B）10，6

（C）9，7 （D）12，4

3．极坐标方程 4cos 化为直角坐标方程是

（A）(x 2) y 4 （B）x y 4 （C）x (y 2) 4 （D）(x 1) (y 1) 4

4．已知{an}是由正数组成的等比数列，Sn表示{an}的前n项的和．若a1 3，a2a4 144，

则S10的值是

（A）511

（B） 1023 （C）1533 （D）3069

2

2

2

2

2

2

2

2

5．函数y cos(x

2

2

)的单调增区间是

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（A）(kπ,

ππ

kπ) k Z （B）( kπ, kπ π) k Z 22

（C）(2kπ, π 2kπ)k Z （D）(2kπ π, 2kπ 2π)k Z

6．已知某个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图是等边三

角形，侧视图是直角三角形，俯视图是等腰直角三角形， 则此三棱锥的体积等于

（A）

（B） 123 （D正视图

（C

俯视图

7．如图，双曲线的中心在坐标原点O，A, C 分别是双曲线虚轴的上、下顶点，B是双曲线的左顶点，F为双曲线的左焦点，直线

A

AB与FC相交于点D.若双曲线的离心率

为2，则 BDF的余弦值是 （A）

F

B

O

（B） 77

（C） （D

C

8．定义区间(a, b)，[a, b)，(a, b]，[a, b]的长度均为d b a，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如, (1, 2) [3, 5)的长度d (2 1) (5 3) 3. 用[x]表示不超过

x的最大整数，记{x} x [x]，其中x R. 设f(x) [x] {x}，g(x) x 1，若用d1,d2,d3分别表示不等式f(x) g(x)，方程f(x) g(x)，不等式f(x) g(x)解集区

间的长度，则当0≤x≤2011时，有

（A）d1 1, d2 2, d3 2008 （B）d1 1, d2 1, d3 2009 （C）d1 3, d2 5, d3 2003 （D）d1 2, d2 3, d3 2006

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第二部分（非选择题 共110分）

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.把答案填在题中横线上. 9．复数z1 3 i，z2 1 i，则

10

．在二项式2)的展开式中，第四项的系数是.

11．如右图，在三角形ABC中，D，E分别为BC，AC的中

C E F D

6

z1

等于 . z2

点，F为AB上的点，且AB 4AF. 若AD xAF yAE

，则实数x ，实数y .

12．执行右图所示的程序框图，若输入x 5.2，

则输出y的值为 ．

13．如下图，在圆内接四边形ABCD中, 对角线AC, BD

点E．已知BC CD AE 2EC， CBD 30则 CAB ，AC的长是 ．

A

B

14．对于各数互不相等的整数数组(i1,i2,i3, ,in) (n是不小于3的正整数)，对于任意的

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p,q {1,2,3, ,n}，当p q时有ip iq，则称ip，iq是该数组的一个“逆序”，一

个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，则数组（2，4，3，1）中的逆序数等于 ；若数组(i1,i2,i3, ,in)中的逆序数为n，则数组(in,in 1, ,i1)中的逆序数为 .

三、解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程. 15．（本小题满分13分）

在锐角 ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知cos2C （Ⅰ）求sinC；

（Ⅱ）当c

2a，且b a.

16．（本小题满分13分）

如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为直角梯形，且AD//BC，

3. 4

ABC PAD 90 ，侧面PAD 底面ABCD. 若PA AB BC

1

AD. 2

（Ⅰ）求证：CD 平面PAC；

（Ⅱ）侧棱PA上是否存在点E，使得BE//平面PCD？若存在，指出点E 的位置并证明，

若不存在，请说明理由；

（Ⅲ）求二面角A PD C的余弦值.

17．（本小题满分13分）

在某校教师趣味投篮比赛中,比赛规则是: 每场投6个球，至少投进4个球且最后2个球都投进者获奖；否则不获奖. 已知教师甲投进每个球的概率都是

2． 3

（Ⅰ）记教师甲在每场的6次投球中投进球的个数为X，求X的分布列及数学期望； （Ⅱ）求教师甲在一场比赛中获奖的概率；

（Ⅲ）已知教师乙在某场比赛中，6个球中恰好投进了4个球，求教师乙在这场比赛中获奖的概率；教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的概率相等吗？ 18．（本小题满分13分）

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已知函数f(x)

2

alnx 2 (a 0). x

（Ⅰ）若曲线y f(x)在点P(1,f(1))处的切线与直线y x 2垂直，求函数y f(x)的

单调区间；

（Ⅱ）若对于 x (0, )都有f(x) 2(a 1)成立，试求a的取值范围；

（Ⅲ）记g(x) f(x) x b (b R).当a 1时，函数g(x)在区间[e 1, e]上有两个零点，

求实数b的取值范围.

19．（本小题满分14分）

已知A( 2, 0)，B(2, 0)为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，

B的动点，且

APB面积的最大值为

（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD

为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．

20．（本小题满分14分）

有n个首项都是

1

的等差数列，设第m个数列的第k项为

2,3n,≥n,，公差为,amk(m,k 1, dm，并且a1n,a2n,a3n, ,ann成等差数列．

（Ⅰ）证明dm p1d1 p2d2 （3≤m≤n，p1,p2是m的多项式），并求p1 p2的值； （Ⅱ）当d1 1, d2 3时，将数列{dm}分组如下：

(d1), (d2,d3,d4), (d5,d6,d7,d8,d9), (每组数的个数构成等差数列)．

设前m组中所有数之和为(cm)4(cm 0)，求数列{2mdm}的前n项和Sn． （Ⅲ）设N是不超过20的正整数，当n N时，对于（Ⅱ）中的Sn，求使得不等式

c

1

(Sn 6) dn成立的所有N的值． 50

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数学测试题答案（理工类）

2011.4

一、选择题:

三、解答题：本大题共6小题，共80分. 15．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）由已知可得1 2sinC

因为在 ABC中，

sinC 0， 所以sinC

2

372

.

所以sinC

. 4

8

.

6分 4

1. sinC

2，cosA . （Ⅱ）因为c 2a，所以

sinA

因为 ABC是锐角三角形，所以cosC

所以sinB sin(A C) sinAcosC cosAsinC

a

，所以a . 13分

sinBsinA

由正弦定理可得：

16．（本小题满分13分） 解法一：

（Ⅰ）因为 PAD 90 ，所以PA AD.

又因为侧面PAD 底面ABCD，且侧面PAD 底面ABCD AD， 所以PA 底面ABCD.

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而CD 底面ABCD， 所以PA CD.

在底面ABCD中，因为 ABC BAD 90 ，AB BC

1

AD， 2

所以

AC CD

AD， 所以AC CD. 2

又因为PA AC A， 所以CD 平面PAC. 4分 （Ⅱ）在PA上存在中点E，使得BE//平面PCD，

证明如下：设PD的中点是F， 连结BE，EF，FC，

1

则EF//AD，且EF AD.

2

由已知 ABC BAD 90 ，

1

所以BC//AD. 又BC AD，

2

所以BC//EF，且BC EF，

所以四边形BEFC为平行四边形，所以BE//CF.

因为BE 平面PCD，CF 平面PCD，

所以BE//平面PCD. 8分

（Ⅲ）设G为AD中点，连结CG，

则 CG AD.

又因为平面ABCD 平面PAD， 所以 CG 平面PAD. 过G作GH PD于H，

连结CH，由三垂线定理可知CH PD. 所以 GHC是二面角A PD C的平面角.

设AD 2，则PA AB CG DG

1, DP在 PAD中，

GHDG

，所以GH . PADPCG

，cos GHC . GH6

所以

tan GHC

即二面角A PD

C

13分

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解法二：

因为 PAD 90 ， 所以PA AD.

又因为侧面PAD 底面ABCD， 且侧面PAD 底面ABCD AD， 所以 PA 底面ABCD. 又因为 BAD 90 ，

所以AB，AD，AP两两垂直. 分别以AB，AD，AP为x轴， y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图.

设AD 2，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，P(0,0,1).

（Ⅰ）AP (0,0,1)，AC (1,1,0)，CD ( 1,1,0),

所以 AP CD 0，AC CD 0，所以AP CD，AC CD.

又因为AP AC A， 所以CD 平面PAC. 4分

11

（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E， 则E(0, 0, )，BE ( 1, 0, ).

22

n CD 0,

设平面PCD的一个法向量是n (x,y,z)，则

n PD 0.

因为CD ( 1, 1, 0)，PD (0, 2, 1)，

x y 0,所以 取x 1，则n (1, 1, 2).

2y z 0. 1

所以n BE (1, 1, 2) ( 1, 0, ) 0， 所以n BE.

2

因为BE 平面PCD，所以BE 平面PCD. 8分

（Ⅲ）由已知，AB 平面PAD，所以AB (1, 0, 0)为平面PAD的一个法向量.

由（Ⅱ）知，n (1, 1, 2)为平面PCD的一个法向量. 设二面角A PD C的大小为 ，由图可知， 为锐角，

n AB 所以cos .

nAB

即二面角A PD

C的余弦值为

. 13分 6

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17．（本小题满分13分） 解：（Ⅰ）X的所有可能取值为0，1，2，3，4，5，6.

依条件可知X~B(6，

2

). 3

k

2

P(X k) C

3

k6 1 3

6 k

(k 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)

X

(0 1 1 12 2 60 3 160 4 240 5 192 6 64)= 4. 所以EX 729729

22

或因为X~B(6，)，所以EX 6 4. 即X的数学期望为4． 5分

33

（Ⅱ）设教师甲在一场比赛中获奖为事件A，

123332. 答：教师甲在一场比赛中获奖的概率为81

2

2

4

1

则P(A) C4 () () C4 () ()

1323

5

23

6

32. 81

10分

（Ⅲ）设教师乙在这场比赛中获奖为事件B，

24A4A42

则P(B) . 6

A65

即教师乙在这场比赛中获奖的概率为显然

2

. 5

23232 ，所以教师乙在这场比赛中获奖的概率与教师甲在一场比赛中获奖的58081

13分

概率不相等． 18．（本小题满分13分）

解: (I) 直线y x 2的斜率为1.

函数f(x)的定义域为(0, )，

2a2a

f(1) 1，所以a 1. 所以，

x2x1212x 2

所以f(x) lnx 2. f (x) .

xx2

因为f (x)

由f (x) 0解得x 2；由f (x) 0解得0 x 2.

所以f(x)的单调增区间是(2, ),单调减区间是(0,2). 4分 (II) f (x)

2aax 2 ， x2xx2

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22；由f (x) 0解得0 x . aa22

所以f(x)在区间(, )上单调递增，在区间(0, )上单调递减.

aa22

所以当x 时，函数f(x)取得最小值，ymin f().

aa

由f (x) 0解得x

因为对于 x (0, )都有f(x) 2(a 1)成立， 所以f() 2(a 1)即可.

2a

2222

aln 2 2(a 1). 由aln a解得0 a . aeaa

2

所以a的取值范围是(0, ). 8分

e

则

2x2 x 2

(III)依题得g(x) lnx x 2 b，则g (x) .

xx2

由g (x) 0解得x 1；由g (x) 0解得0 x 1.

所以函数g(x)在区间(0, 1)为减函数，在区间(1, )为增函数.

g(e 1)≥0,

又因为函数g(x)在区间[e 1, e]上有两个零点，所以 g(e)≥0,

g(1) 0.

解得1 b≤

2

e 1. e

2

e 1]. 13分 e

所以b的取值范围是(1, 19．（本小题满分14分）

x2y2解：（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为2 2 1(a b 0)，F(c,0)．

ab

1

2a b 2由题意知

解得b c 1． a 2,

2

a b2

c2. 1x2y2

1，离心率为． 6分 故椭圆C的方程为

243

（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．

证明如下：由题意可设直线AP的方程为y k(x 2)(k 0).

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则点D坐标为(2, 4k)，BD中点E的坐标为(2, 2k)．

y k(x 2),

由 x2y2得(3 4k2)x2 16k2x 16k2 12 0．

1

43

16k2 12设点P的坐标为(x0,y0)，则 2x0 ． 2

3 4k

12k6 8k2

y k(x 2) 所以x0 ，． 10分 00

3 4k23 4k2

因为点F坐标为(1, 0)， 当k

13

时，点P的坐标为(1, )，点D的坐标为(2, 2). 22

直线PF x轴，此时以BD为直径的圆(x 2)2 (y 1)2 1与直线PF相切． 当k

1y04k时，则直线PF的斜率kPF . 22x0 11 4k

所以直线PF的方程为y

4k

(x 1)． 2

1 4k

点E到直线PF

的距离d

1

|BD|． 2

2k 8k31 4k2 2|k|． 1 4k2|1 4k2|

又因为|BD| 4|k| ，所以d

故以BD为直径的圆与直线PF相切．

综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切． 14分 20．（本小题满分14分） 解：（Ⅰ）由题意知amn 1 (n 1)dm．

a2n a1n [1 (n 1)d2] [1 (n 1)d1] (n 1)(d2 d1)，

同理，a3n a2n (n 1)(d3 d2)，a4n a3n (n 1)(d4 d3)， ， ann a(

n1)n

(n 1)(d dn1．) n

又因为a1n,a2n,a3n, ,ann成等差数列，所以a2n a1n a3n a2n ann a(n 1)n. 故d2 d1 d3 d2 dn dn 1，即{dn}是公差为d2 d1的等差数列．

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所以，dm d1 (m 1)(d2 d1) (2 m)d1 (m 1)d2．

令p1 2 m,p2 m 1，则dm p1d1 p2d2，此时p1 p2 1． 4分 （Ⅱ）当d1 1, d2 3时，dm 2m 1 (m N*)．

数列{dm}分组如下：(d1), (d2,d3,d4), (d5,d6,d7,d8,d9), ． 按分组规律，第m组中有2m 1个奇数，

所以第1组到第m组共有1 3 5 (2m 1) m2个奇数． 注意到前k个奇数的和为1 3 5 (2k 1) k2， 所以前m个奇数的和为(m2)2 m4.

即前m组中所有数之和为m，所以(cm)4 m4．

因为cm 0，所以cm m，从而 2mdm (2m 1) 2m(m N*)． 所以 Sn 1 2 3 22 5 23 7 24 (2n 3) 2n 1 (2n 1) 2n.

c

4

2

2Sn 1 22 3 23 5 24 (2n 3) 2n (2n 1) 2n 1.

故 Sn 2 2 22 2 23 2 24 2 2n (2n 1) 2n 1

2(2 22 23 2n) 2 (2n 1) 2n 1

2(2n 1) 2 2 (2n 1) 2n 1 (3 2n)2n 1 6.

2 1

所以 Sn (2n 3)2n 1 6． 9分 （Ⅲ）由（Ⅱ）得dn 2n 1 (n N*)，Sn (2n 3)2n 1 6 (n N).

故不等式

*

1

(Sn 6) bn 就是(2n 3)2n 1 50(2n 1)． 50

n 1

考虑函数f(n) (2n 3)2

50(2n 1) (2n 3)(2n 1 50) 100．

n 1

当n 1,2,3,4,5时，都有f(n) 0，即(2n 3)2 50(2n 1)．

而f(6) 9(128 50) 100 602 0，

注意到当n≥6时，f(n)单调递增，故有f(n) 0.

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因此当n≥6时，(2n 3)2n 1 50(2n 1)成立，即

1

(Sn 6) dn成立． 50

所以,满足条件的所有正整数N 5,6,7, ,20． 14分

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