2015年1月初三期末数学西城海淀东城朝阳四区整理合卷(带答案)

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末试卷

2015. 1一、选择题(本题共32分，每小题4分)

下面各题均有四个选项，其中只．有一个．．．

是符合题意的． 1．二次函数2(+1)2y x =--的最大值是

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

2

．如图，四边形ABCD 内接于⊙O

，E 为

CD

延长线上一点，如果

∠ADE =120°

，那么∠B 等于

A ．130°

B ．120°

C ．80°

D ．60°

3．下列手机软件图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是

A B C D

4．把抛物线2=+1y x 向右平移3个单位，再向下平移2个单位，得到抛物线

A ．()231y x =+-

B ．()233y x =++

C ．()231y x =--

D ．()233y x =-+

5．△ABC 与△A ′B ′C ′是位似图形，且△ABC 与△A ′B ′C ′的位似比是1∶2，如果△ABC 的面 积是3，那么△A ′B ′C ′的面积等于

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12

6．如果关于x 的一元二次方程21104x x m -+-=有实数根，那么m 的取值范围是

A ．m ＞2

B ．m ≥3

C ．m ＜5

D ．m ≤5

7．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90?，AC =12，BC =5，

CD ⊥AB 于点D ，那么sin BCD ∠的值是

A ．

512 B ．513

C ．1213

D ．125

8．如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正

方形，每个小正方形的顶点称为格点．如果抛物线经过图中

的三个格点，那么以这三个格点为顶点的三角形称为该抛物

线的“内接格点三角形”．设对称轴平行于y 轴的抛物线与网

格对角线OM 的两个交点为A ，B ，其顶点为C ，如果△ABC

是该抛物线的内接格点三角形，AB =A ，B ，C

的横坐标A x ，B x ，C x 满足A x ＜B x ＜C x ，那么符合上述条件的抛物线条数是

A ．7

B ．8

C ．14

D ．16

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．在平面直角坐标系xOy 中，点(2,)A n -在反比例函数6y x =-

的图象上，AB ⊥x 轴于 点B ，那么△AOB 的面积等于 ．

10．如图，将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转某个角度得到

△AB ′C ′，使AB ′∥CB ， CB ，AC ′的延长线相交于点D ，

如果∠D =28°，那么BAC ∠= °．

11．如图，点D 为△ABC 外一点，AD 与BC 边的交点为E ，AE=3，

DE=5，BE =4，要使△BDE ∽△ACE ，且点B ，D 的对应点

为A ，C ，那么线段CE 的长应等于 ．

12．在平面直角坐标系xOy 中，(,0)A m -，(,0)B m （其中

0m >），点P 在以点(3,4)C 为圆心，半径等于2的圆

上，如果动点P 满足90APB ∠=?，（1）线段OP 的长

等于 （用含m 的代数式表示）；（2）m 的最小值

为 ．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．计算：23tan30cos 452sin 60?+?-?． 14．解方程：2410x x -+=．

15．如图，在⊙O 中，点P 在直径AB 的延长线上，PC ，PD

与⊙O 相切，切点分别为点C ，点D ，连接CD 交AB 于

点E ．如果⊙O 的半径等于1tan 2CPO ∠=

，求 弦CD 的长．

16．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个

小正方形的顶点叫做格点．△ABC 的三个顶点A ，B ，C

都在格点上，将△ABC 绕点A 顺时针方向旋转90°得到

△AB C ''．

（1）在正方形网格中，画出△AB C ''；

（2）计算线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积．

（结果保留π）

17．某商店以每件20元的价格购进一批商品，若每件商品售价a 元，则每天可卖出(80010)a -件．如果商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，求每件商品的售价是多少元．

18．如果关于x 的函数2(2)1y ax a x a =++++的图象与x 轴只有一个公共点，求实数a

的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．如图，小明同学在东西方向的环海路A 处，测得海中灯塔P

在它的北偏东60°方向上，在A 的正东400米的B 处，测得

海中灯塔P 在它的北偏东30°方向上．问：灯塔P 到环海路

的距离PC 1.732，结果精确到1米）

20．如图，在正方形ABCD 中，有一个小正方形EFGH ，其中顶点

E ，

F ，

G 分别在AB ，BC ，FD 上．

（1）求证：△EBF ∽△FCD ；

（2）连接DH ，如果BC=12，BF =3，求tan HDG ∠的值．

21．如图，在⊙O 中，弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称．E 为半径OC 上一点，3OC OE =，

连接AE 并延长交⊙O 于点F ，连接DF 交BC 于点M ．

（1）请依题意补全图形；

（2）求证：AOC DBC ∠=∠；

（3）求

BM BC 的值．

22． 已知抛物线C ：2=23y x x +-.

角坐标系中画出抛物线C ；

（2）将抛物线C 上每一点的横坐标变为原来的2倍，

纵坐标变为原来的12

，可证明得到的曲线仍是 抛物线，（记为1C ），且抛物线1C 的顶点是抛物

线C 的顶点的对应点，求抛物线1C 对应的函数

表达式.

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点1(,2)2A ，(3,)B n 在反比例函数m y x

=（m 为常 数）的图象G 上，连接AO 并延长与图象G 的另一个交点为点C ，过点A 的直线l 与 x 轴的交点为点(1,0)D ，过点C 作CE ∥x 轴交直线l 于点E ．

（1）求m 的值及直线l 对应的函数表达式；

（2）求点E 的坐标；

（3）求证：BAE ACB ∠=∠．

24．如图，等边三角形ABC 的边长为4，直线l 经过点A 并与AC 垂直．当点P 在直线l

上运动到某一位置（点P 不与点A 重合）时，连接PC ，并将△ACP 绕点C 按逆时针 方向旋转60?得到△BCQ ，记点P 的对应点为Q ，线段P A 的长为m （0m >）．

（1） ①QBC ∠= ?；

② 如图1，当点P 与点B 在直线AC 的同侧，且3m =时，点Q 到直线l 的距离 等于 ；

（2） 当旋转后的点Q 恰好落在直线l 上时，点P ，Q 的位置分别记为0P ，0Q ．在图2

中画出此时的线段0P C 及△0BCQ ，并直接写出相应m 的值；

（3）当点P 与点B 在直线AC 的异侧，且△P AQ 时，求m 的值．

25．如图1，对于平面上不大于90?的MON ∠，我们给出如下定义：若点P 在MON ∠的内

部或边界上，作PE OM ⊥于点E ，PF ON ⊥于点F ，则称PE PF +为点P 相对于

MON ∠的“点角距离”，记为(),d P MON ∠．

如图2，在平面直角坐标系xOy 中，对于xOy ∠，点P 为第一象限内或两条坐标轴正 半轴上的动点，且满足(),d P xOy ∠=5，点P 运动形成的图形记为图形G ．

（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是 ，图形G 与坐标轴围成图形的面积

等于 ；

（2）设图形G 与x 轴的公共点为点A ，已知(3,4)B ，(4,1)M ，求(),d M AOB ∠的值；

（3）如果抛物线212y x bx c =-++经过（2）中的A ，B 两点，点Q 在A ，B 两点之间 的抛物线上（点Q 可与A ，B 两点重合），求当(),d Q AOB ∠取最大值时，点Q 的坐标．

北京市西城区2014-2015学年度第一学期期末

九年级数学试卷参考答案及评分标准

2015.1 一、选择题（本题共32分，每小题4分）

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．3． 10.28．

11. 4

15

． 12.（1）m ；（2）3. 三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13．解： 23tan30cos 452sin 60?+?-?

2

322?=+- ?? ……………………………………………………… 3分

12

1.2

= ………………………………………………………………………………… 5分 14．解：2410x x -+=

．

∵ 1a =，4b =-，1c =

， ……………………………………………………… 1分

∴ 224

(4)41112b ac -=--??=．……………………………………………… 2分

∴ x == ……………………………………………… 3分 2== ∴ 原方程的解是12x =+22x =…………………………………… 5分

15．解：连接

OC ．（如图1）

∵ PC ，PD 与⊙O

相切，切点分别为点C ，点D ，

∴ OC ⊥PC ，……………………………………………………………………… 1分 PC =PD ，∠OPC=∠OPD ．

∴ CD ⊥OP ，CD =2CE ． …………………………2分

∵ 2

1tan =∠CPO ， ∴ 1tan tan 2

OCE CPO ∠=∠=．……………3分 设 OE=k ，则CE=2k ，OC =．（0k >）

∵ ⊙O 的半径等于

=3k =．

∴ CE=6 ．………………………………………………………………………… 4分 ∴ CD =2CE=12 ．………………………………………………………………… 5分

16．（1）画图见图2． …………………………… 2分

（2）由图可知△ABC 是直角三角形，AC=4，BC=3，

所以AB=5．…………………… 3分

线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域

是一个扇形，且它的圆心角为90°，半径为5．

……………………………………… 4分

∴ 221125ππ5π444

AB B S AB '=?=?=扇形． …………………………………… 5分 所以线段AB 在旋转到AB '的过程中所扫过区域的面积为

25π4． 17．解：根据题意，得(20)(80010)8000a a --=．（20≤a ≤80） …………………… 1分

整理，得 210024000a a -+=．

可得 (40)(60)0a a --=．

解方程，得140a =，260a =．…………………………………………………… 3分 当140a =时，800108001040400a -=-?=（件）．

当260a =时，800108001060200a -=-?=（件）．

因为要使每天的销售量尽量大，所以40a =． ………………………………… 4分 答：商店计划要每天恰好盈利8000元，并且要使每天的销售量尽量大，每件商品的售

价应是40元．……………………………………………………………………… 5分

18．解：（1）当0a =时，函数21y x =+的图象与x 轴只有一个公共点成立．…………1分

（2）当a ≠0时，函数2(2)1y ax a x a =++++是关于x 的二次函数．

∵ 它的图象与x 轴只有一个公共点，

∴ 关于x 的方程 2(2)10ax a x a ++++=有两个相等的实数根． ………2分

∴ 2(2)4(1)0a a a ?=+-+=．………………………………………………3分

整理，得 2340a -=．

解得 a =．…………………………………………………………… 5分 综上，0a =

或

a =

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．解：如图3，由题意，可得∠P AC =30°，∠PBC =60°．

………………………………………… 2分

∴ 30APB PBC PAC ∠=∠-∠=?．

∴ ∠P AC=∠APB ．

∴ PB =AB = 400．…………………………… 3分

在Rt △PBC 中，∠PCB =90°，∠PBC =60°，PB =400，

∴sin 400346.4PC PB PBC =?∠==≈346（米）．………………4分 答：灯塔P 到环海路的距离PC 约等于346米． …………………………………… 5分

20．（1）证明：如图4．

∵ 正方形ABCD ，正方形EFGH ，

∴ ∠B =∠C =90°，∠EFG =90°，

BC =CD ，GH=EF=FG ．

又∵ 点F 在BC 上，点G 在FD 上，

∴ ∠DFC +∠EFB =90°，∠DFC +∠FDC =90°，

∴ ∠EFB =∠FDC ． …………………… 1分

∴ △EBF ∽△FCD ．…………………… 2分

（2）解：∵ BF =3，BC =CD =12，

∴ CF =9

，15DF =． 由（1）得

BE CF BF CD

=． ∴ 399124

BF CF BE CD ??===． …………………………………………… 3分 ∴

154

GH FG EF ==．……………………………………4分 454

DG DF FG =-=． ∴ 1tan 3GH HDG DG ∠==． ………………………………………………… 5分 21．（1）补全图形见图5．…………………………………………1分

（2）证明：∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，

∴ ∠DBC =2∠ABC ． ……………………………2分

又∵2AOC ABC ∠=∠，

∴ AOC DBC ∠=∠．……………………………3分

（3）解：∵

，

∴ ∠A =∠D ．

又∵ AOC DBC ∠=∠，

∴ △AOE ∽△DBM ． 分

∴ OE BM OA BD

=． ∵ 3OC OE =，OA =OC ，

BF=BF

∴ 13

BM OE OE BD OA OC ===． ∵ 弦BC ，BD 关于直径AB 所在直线对称，

∴ BC =BD ．

∴ 13

BM BM BC BD ==．………………………………………………………… 5分 22．解：（1）(1,4)A --，(3,0)B -． ……………………………………………………… 2分

画图象见图6．……………………………………………………………… 3分

（2）由题意得变换后的抛物线1C 的相关点的坐标如下表所示：

设抛物线1C 对应的函数表达式为 2(2)2y a x =+-．（a ≠0）

∵ 抛物线1C 与y 轴交点的坐标为(0, 1.5)-，

∴ 3422a -=-．

解得 18

a =． ∴ 2211

13(2)28822

y x x x =+-=+

-．……… 5分 ∴ 抛物线1C 对应的函数表达式为2113822y x x =+-

说明：其他正确解法相应给分．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题8分，第25题7分）

23．解：（1）∵ 点1(,2)2A 在反比例函数m y x

=（m 为常数）的图象G 上， ∴ 1212

m =?=．………………………………………………………………1分 ∴ 反比例函数m y x =（m 为常数）对应的函数表达式是1y x

=． 设直线l 对应的函数表达式为y kx b =+（k ，b 为常数，k ≠0）．

∵ 直线l 经过点1

(,2)2

A ，(1,0)D ， ∴ 12,20.k b k b ?+=???+=? 解得4,4.k b =-??=?

∴ 直线l 对应的函数表达式为44y x =-+． ………………………………2分

（2）由反比例函数图象的中心对称性可知点C 的坐标为1

(,2)2C --． ………… 3分

∵ CE ∥x 轴交直线l 于点E ，

∴ E C y y =．

∴ 点E 的坐标为3(,2)2E -．………………………………………………… 4分

（3）如图7，作AF ⊥CE 于点F ，与过点B 的y 轴的垂线交于点G ，BG 交AE 于点M ，

作CH ⊥BG 于点H ，则BH ∥CE ，BCE CBH ∠=∠．

∵ 1(,2)2A ，1(,2)2C

--，3(,2)2E -，

∴ 点F 的坐标为1(,2)2

F -．

∴ CF =EF ．

∴ AC =AE ．

∴ ∠ACE =∠AEC ．………………………… 5分

∵ 点(3,)B n 在图象G 上， ∴ 13

n =， ∴ 1(3,)3B ，11(,)23

G ，11(,)23H -． 在Rt △ABG 中，1

223tan 13

32AG ABH BG -∠===-， 在Rt △BCH 中，1223tan 13

32

CH CBH BH +∠===+， ∴ ABH CBH ∠=∠．………………………………………………………… 6分 ∴ BCE ABH ∠=∠．

∵ BAE AMH ABH AEC ABH ∠=∠-∠=∠-∠，ACB ACE BCE ∠=∠-∠，

∴ ∠BAE =∠ACB ． …………………………………………………………… 7分

24．解：（1）①QBC ∠= 90?；………………………………………………………………1分

② m =3时，点Q 到直线l 的距离等于

．……………………………… 2分 （2）所画图形见图8．………………………… 3分

m =

4分 （3）作BG ⊥AC 于点G ，过点Q 作直线l 的垂线交l 于点D ，交BG 于点F ．

∵ CA ⊥直线l ，

∴ ∠CAP =90?．

易证四边形ADFG 为矩形．

∵ 等边三角形ABC 的边长为4，

∴ ∠ACB =60?，122DF AG CG AC ====，1302

CBG CBA ∠=∠=?． ∵ 将△ACP 绕点C 按逆时针方向旋转60?得到△BCQ ，

∴ △ACP ≌△BCQ ．

∴ AP = BQ = m ，∠P AC =∠QBC =90?．

∴ ∠QBF =60?．

在Rt △QBF 中，∠QFB =90?，∠QBF =60?，BQ=m ，

∴

QF =．…………………………………………………………… 5分 要使△P AQ 存在，则点P 不能与点A ，0P 重合，所以点P 的位置分为以下两

种情况：

① 如图9，当点P 在（2）中的线段0P A 上（点P 不与点A ，0P 重合）时，

可得0m <<

，此时点Q 在直线l 的下方． ∴

2DQ DF QF =-=．

∵12APQ S AP DQ ?=?=， ∴

1(2)2m =．

240m -+=．

解得1m =

或2m =

经检验，m =

0m << 7分 ② 如图10，当点P 在（2）中的线段0AP 的延长线上（点P 不与点A ，0P 重

合）时，可得m >，此时点Q 在直线l 的上方． ∴

2DQ QF DF =-=-． ∵

12APQ S AP DQ ?=?=，

∴

.12)2m -=． 整理，得

2330m --=．

解得

m =．

经检验，m =

m >的范围内，符合题意．…………8分

综上所述，m =

32132+时，△P AQ

． 25．解：（1）满足条件的其中一个点P 的坐标是(5,0)；………………………………… 1分

（说明：点(,)P x y 的坐标满足5x y +=， 0≤x ≤5，0≤y ≤5均可）

图形G 与坐标轴围成图形的面积等于252

．…………………………………2分 （2）如图11，作ME ⊥OB 于点E ，MF ⊥x 轴于点F ，则MF =1，作MD ∥x 轴，交

OB 于点D ，作BK ⊥x 轴于点K ．

由点B 的坐标为(3,4)B ，可求得直线OB 对应的函数关系式为43

y x =． ∴ 点D 的坐标为3(,1)4D ，313444DM =-

=． ∴ OB =5，4sin 5

BK AOB OB ∠==， 4sin sin 5

MDE AOB ∠=∠=． ∴ 13413sin 455

ME DM MDE =?∠=?=． ……………………………………… 3分

∴ 1318(,)155

d M AOB ME MF ∠=+=+=． ……………………………………… 4分

（3）∵ 抛物线212

y x bx c =-++经过(5,0)A ，(3,4)B 两点， ∴ 221055,21433.2b c b c ?=-?++????=-?++?? 解得2,5.2b c =???=?? ∴ 抛物线对应的函数关系式为215222y x x =-++．………………………5分

如图12，作QG ⊥OB 于点G ，QH ⊥x 轴于点H ．作QN ∥x 轴，交OB 于点N ．

设点Q 的坐标为(,)Q m n ，其中3≤m ≤5， 则21

5222QH n m m ==-++．

同（2）得 4sin sin 5

QNG AOB ∠=∠=． ∴ 点N 的坐标为3(,)4N n n ，34

NQ m n =-． ∴ 43sin ()54QG NQ QNG m n =?∠=-

4355

m n =-． ∴ 434

(,)5555

d Q AOB QG QH m n n ∠=+=-+= 24215(2)5522

m m m =+-++ 218155

m m =-++ 2121(4)55m =--+． ∴ 当4m =（在3≤m ≤5范围内）时，(),d Q AOB ∠取得最大值（215

）． ………………………………………………………… 6分

此时点Q 的坐标为5(4,)2

．…………………………………………………7分

2014-2015海淀区初三数学第一学期期末练习 2015.1

一、选择题

1．方程2350x x --=的根的情况是

A.有两个不相等的实数根

B.有两个相等的实数根

C.没有实数根

D.无法确定是否有实数根

2.在Rt △ABC 中，∠C =90o，35BC AB ==，，则sin A 的值为 A.35 B.45 C. 34 D. 43

3.若右图是某个几何体的三视图，则这个几何体是

A. 长方体

B. 正方体

C. 圆柱

D. 圆锥

4.小丁去看某场电影，只剩下如图所示的六个空座位供他选择，座位号分

别为1号、4号、6号、3号、5号和2号．若小丁从中随机抽取一个，则抽到

的座位号是偶数的概率是 A. 16 B. 13 C. 12 D. 23

5．如图，△ABC 和△A 1B 1C 1是以点O 为位似中心的位似三角形，若C 1为OC 的中点，AB =4，则A 1B 1的长为

A. 1

B. 2

C. 4

D. 8

6．已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)是反比例函数3=-

y x

的图象上的两点，若x 1＜0＜x 2，则下列结论正确的是

A ．y 1＜0＜y 2

B ．y 2＜0＜y 1

C ．y 1＜y 2＜0

D ．y 2＜y 1＜0

7．如图，AB 是半圆O 的直径，AC 为弦，OD ⊥AC 于D ，过点O 作 OE

∥AC 交半圆O 于点E ，过点E 作EF ⊥AB 于F ．若AC =2，则OF 的长

为

A ． 12

B ．34

C ．1

D ．2 8．如图1，在矩形ABCD 中，AB

E 为线段AC 上的一个动点，连接DE ，BE ，过E 作E

F ⊥BD 于F ．设AE =x ，图1中某条线段的长为y ，若表示y 与x 的函数关系的图象大致如图2所示，则这条线段可能是图1中的

图1 图2

A ．线段EF

B ．线段DE

C ．线段CE

D ．线段BE

二、填空题（本题共16分，每小题4分）

9．若扇形的半径为3cm ，圆心角为120°，则这个扇形的面积为__________ cm 2．

10．在某一时刻，测得一根高为2m 的竹竿的影长为1m ，同时测得一栋建筑物的影长为12m ，那么这栋建筑物的高度为 m.

11．如图，抛物线2

y ax =与直线y ＝bx ＋c 的两个交点坐标分别为()2,4A -，()1,1B ，则关于x 的方程20a x b x c --=的解为

__________．

12．对于正整数n ，定义210()=()10

，，≥n n F n f n n ?

首位数字、末位数字的平方和．例如：2

(6)636F ==，()22(123)1231310F f ==+=．

规定1()()F n F n =，

1()(())k k F n F F n +=（k 为正整数）．例如：()()112312310F F ==，21(123)((123))(10)1F F F F ===．

（1）求：2(4)F =____________，2015(4)F =______________；

（2）若3(4)89m F =，则正整数m 的最小值是_____________．

三、解答题（本题共30分，每小题5分）

13.计算：()()1

2015011sin30 3.142-??-+-π-+ ???. 14.如图，△ABC 中，AB =AC ，D 是BC 中点，

BE ⊥AC 于E . 求证：△ACD ∽△BCE ．

B

15.已知m 是一元二次方程2320x x --=的实数根，求代数式

(1)(1)1m m m

+--的值．

16.抛物线22y x =平移后经过点(0,3)A ，(2,3)B ，求平移后的抛物线的表达式．

17.如图，在平面直角坐标系xOy 中，正比例函数2y x =与反比例函数k y x

=的图象交于A ，B 两点，A 点的横坐标为2，AC ⊥x 轴于点C ，连接BC .

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P 是反比例函数k y x

=图象上的一点，且满足△OPC 与△ABC 的面积相等，请直接写出点P 的坐标．

18.如图，△ABC 中，∠ACB =90°，4sin 5A =

， BC =8，D 是AB 中点，过点B 作直线CD 的垂线，垂足为E ．

（1）求线段CD 的长；

（2）求cos ABE ∠的值．

四、解答题（本题共20分，每小题5分）

19．已知关于x 的一元二次方程()2220mx

m x -++=有两个不相等的实数根12,x x ． （1）求m 的取值范围；

（2）若20x <，且121x x >-，求整数m 的值．

A

20. 某工厂生产的某种产品按质量分为10个档次，据调研显示，每个档次的日产量及相应

为了便于调控，此工厂每天只生产一个档次的产品．当生产质量档次为x 的产品时，当天的利润为y 万元．

（1）求y 关于x 的函数关系式；

（2）工厂为获得最大利润，应选择生产哪个档次的产品？并求出当天利润的最大值．

21.如图，四边形ABCD 是平行四边形，点A ，B ，C 在⊙O 上，AD 与⊙O 相切，射线AO 交BC 于点E ，交⊙O 于点F ．点P 在射线AO 上，且∠PCB =2∠BAF ． （1）求证：直线PC 是⊙O 的切线； （2）若AB AD =2，求线段PC 的长．

22．阅读下面材料：

小明观察一个由11?正方形点阵组成的点阵图，图中水平与竖直方向上任意两个相邻点间的距离都是1．他发现一个有趣的问题：对于图中出现的任意两条端点在点阵上且互相不垂直的线段，都可以在点阵中找到一点构造垂直，进而求出它们相交所成锐角的正切值．

请回答：

（1）如图1，A 、B 、C 是点阵中的三个点，请在点阵中找到点D ，作出线段CD ，使得CD ⊥AB ；

（2）如图2，线段AB 与CD 交于点O ．为了求出AOD ∠的正切值，小明在点阵中找到了点E ，连接AE ，恰好满足AE CD ⊥于F ，再作出点阵中的其它线段，就可以构造相似三角形，经过推理和计算能够使问题得到解决． 请你帮小明计算：OC =_______________；tan AOD ∠=_______________； C

图1 图2

图3

参考小明思考问题的方法，解决问题：

如图3，计算：tan AOD ∠=_______________．

五、解答题（本题共22分，第23题7分，第24题7分，第25小题8分） 23.在平面直角坐标系xOy 中，反比例函数k

y x

=

的图象经过点(1,4)A ，(,)B m n . （1） 求代数式mn 的值；

（2）

若二次函数2(1)y x =-的图象经过点B ，求代数式

32234m n m n mn n -+-的值；

（3） 若反比例函数k

y x

=

的图象与二次函数2(1)y a x =-的图象只有一个交点，且该交点在直

线y x =的下方，结合函数图象，求a 的取值范围.

24．如图1，在△ABC 中，BC =4，以线段AB 为边作△ABD ， 使得AD=BD ， 连接DC ，再以DC 为边作△CDE ，使得DC = DE ，∠CDE =∠ADB =α．

（1）如图2 ，当∠ABC=45°且α=90°时，用等式表示线段

AD ，DE 之间的数量关系；

（2）将线段CB 沿着射线CE 的方向平移，得到线段EF ，

连接BF ，AF ．

① 若α=90°，依题意补全图3， 求线段AF 的长； ②请直接写出线段AF 的长（用含α的式子表示）．

B

B

B

图1

图2 图3 备用图

图3

25. 在平面直角坐标系xOy 中，设点()11,P x y ，()22,Q x y 是图形W 上的任意两点．

定义图形W 的测度面积：若12x x -的最大值为m ，12y y -的最大值为n ，则S m n =

为图形W 的测度面积．

例如，若图形W 是半径为1的⊙O ．当P ，Q 分别是⊙O 与x 轴的交点时，如图1，12x x - 取得最大值，且最大值m =2；当P ，Q 分别是⊙O 与y 轴的交点时，如图2，12y y -取

得最大值，且最大值n =2．则图形W 的测度面积4S mn ==．

（1）若图形W 是等腰直角三角形ABO ，OA =OB =1.

①如图3，当点A ，B 在坐标轴上时，它的测度面积S = ； ②如图4，当AB ⊥x 轴时，它的测度面积S = ； （2）若图形W 是一个边长为1的正方形ABCD ，则此图形测度面积S 的最大值为 ； （3）若图形W 是一个边长分别为3和4的矩形ABCD ，求它的测度面积S 的取值范围．

图1

图2

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